大題考法精研(三)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題

大題考法精研(三)——導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題[標(biāo)桿題]已知函數(shù)f(x)＝ex(lnx－ax)，a∈R.因?yàn)間(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0，即f′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．[內(nèi)化基本解題思維]利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；(3)參變量分離法：由f(x)＝0分離變量得出a＝g(x)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y＝a與函數(shù)y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)問題.[演進(jìn)題1]已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，其中a∈R.(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間；(2)若a>0，且對任意x>0，都有f(x)≥f(1)，證明：方程f(x)＝2有且只有兩個(gè)實(shí)根．

逐級演進(jìn)·練清悟通思維變通升華本題首先把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[演進(jìn)題2](1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在(－1,0)與(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)當(dāng)a≥0時(shí)，若x>0，則f(x)>0，不滿足在(0，＋∞)有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．設(shè)g(x)＝aex＋1－x2＋1，則g′(x)＝aex＋1－2x.當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，g(0)＝ae＋1，g(1)＝ae2<0.綜上，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，g′(x)＝aex＋1－2x，設(shè)h(x)＝g′(x)＝aex＋1－2x，則h′(x)＝aex＋1－2<0，故g′(x)為減函數(shù)．因?yàn)間′(－1)＝a＋2>0，g′(0)＝ae<0，故存在x1∈(－1,0)使得g′(x1)＝0成立，故g(x)在(－1，x1)單調(diào)遞增，在(x1,0)單調(diào)遞減．又g(－1)＝a<0，g(0)＝ae＋1>0，故存在x2∈(－1,0)使得g(x2)＝0成立，故當(dāng)x∈(－1，x2)時(shí)，g(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2,0)時(shí)，g(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．思維變通升華已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的策略(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況估計(jì)出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件．(2)先求導(dǎo)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的