小題基準(zhǔn)考法(二)-概　率

小題基準(zhǔn)考法(二)——概率12目錄3命題點(diǎn)一古典概型命題點(diǎn)二相互獨(dú)立事件、條件概率及全概率公式命題點(diǎn)三正態(tài)分布及其應(yīng)用[真題導(dǎo)向]1．(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

(

)

命題點(diǎn)一古典概型答案：D

2．(2023·全國(guó)甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、

高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為

(

)答案：D

3．(2021·全國(guó)甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

(

)答案：C

4．(2022·全國(guó)甲卷)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_______．②所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對(duì)角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2，也有6種取法．[素養(yǎng)評(píng)價(jià)]1．(2023·鄭州二模)世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費(fèi)馬猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費(fèi)馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費(fèi)馬大定理”.281年過(guò)去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．在不超過(guò)17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為

(

)答案：B

解析：不超過(guò)17的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17，共7個(gè)，2．根據(jù)近五年的資料顯示，某村莊月光照量X(小時(shí))的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(注：月光照量指的是當(dāng)月的陽(yáng)光照射總時(shí)長(zhǎng))以及在適合溫度下，月光照量與草莓花芽分化的概率的關(guān)系，表格如下：X/小時(shí)[160,240)[240,320)[320,400)月份數(shù)271815草莓花芽分化的概率0.900.950.80該村莊現(xiàn)有一批草莓，根據(jù)上表，試估計(jì)在適合溫度下，草莓花芽分化的概率為

(

)A．0.85 B．0.89C．0.91 D．0.95答案：B

3．(2023·南京調(diào)研)袋子中有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，已知3個(gè)球中有白球，則恰好拿到2個(gè)紅球的概率為(

)答案：A

4．將甲、乙等5名志愿者分配到4個(gè)社區(qū)做防詐騙宣傳，要求每名志愿者去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少去一名志愿者，則甲、乙二人去不同社區(qū)的概率為

(

)答案：C

[一站補(bǔ)給]知識(shí)的“盲點(diǎn)”古典概型中分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)思想的“高點(diǎn)”直接求解有困難時(shí)，可考慮對(duì)立事件的概率，注意正難則反即轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用[真題導(dǎo)向]1．(2022·全國(guó)乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則(

)A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大命題點(diǎn)二相互獨(dú)立事件、條件概率及全概率公式答案：D

解析：設(shè)棋手在第二盤(pán)與甲比賽連勝兩盤(pán)的概率為P甲，在第二盤(pán)與乙比賽連勝兩盤(pán)的概率為P乙，在第二盤(pán)與丙比賽連勝兩盤(pán)的概率為P丙，由題意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故選D.2．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)[多選]在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0＜α＜1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0＜β＜1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1) (

)A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案：ABD

解析：由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1－α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1－β.對(duì)于A，發(fā)1收1的概率為1－β，發(fā)0收0的概率為1－α，發(fā)1收1的概率為1－β，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A正確．對(duì)于B，相當(dāng)于發(fā)了1,1,1，收到1,0,1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確．3．(2023·全國(guó)甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰，50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪，70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪．在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為

(

)A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4答案：A

解析：同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為0.5＋0.6－0.7＝0.4.記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件A，“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件B，則P(A)＝0.5，4．(2023·天津高考)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)_______；將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)_______．[素養(yǎng)評(píng)價(jià)]1．(2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)某市地鐵1號(hào)線從A站到G站共有7個(gè)站點(diǎn)，甲、乙二人同時(shí)從A站上車，準(zhǔn)備在B站、D站和G站中的某個(gè)站點(diǎn)下車，若他們?cè)谶@3個(gè)站點(diǎn)中的某個(gè)站點(diǎn)下車是等可能的，則甲、乙二人在不同站點(diǎn)下車的概率為

(

)

答案：C

2．某高校校黨委計(jì)劃開(kāi)展“學(xué)黨史，爭(zhēng)當(dāng)新時(shí)代先鋒”活動(dòng)月，并在活動(dòng)月末舉辦黨史知識(shí)競(jìng)賽．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)院初步推選出2名教師和6名學(xué)生共8名黨史知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀者，并從中隨機(jī)選取5名組成院代表隊(duì)參加學(xué)校黨史知識(shí)競(jìng)賽，則在代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的條件下，教師甲被選中的概率為 (

)答案：B

3．(2023·杭州三模)班級(jí)舉行知識(shí)競(jìng)猜闖關(guān)活動(dòng)，設(shè)置了A，B，C三個(gè)問(wèn)題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對(duì)問(wèn)題A,80%的可能答對(duì)問(wèn)題B,50%的可能答對(duì)問(wèn)題C.記答題者連續(xù)答對(duì)兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答

(

)A．問(wèn)題A

B．問(wèn)題BC．問(wèn)題A，B和C都可以

D．問(wèn)題C答案：D

解析：①若先回答問(wèn)題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，當(dāng)答題順序?yàn)锳，B，C且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.6×0.8×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.8×0.5＝0.4；當(dāng)答題順序?yàn)锳，C，B且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.6×0.5×(1－0.8)＋(1－0.6)×0.5×0.8＝0.22.∴先回答問(wèn)題A，連對(duì)兩題的概率為0.4＋0.22＝0.62.②若先回答問(wèn)題B，則答題順序可能為B，A，C和B，C，A，當(dāng)答題順序?yàn)锽，A，C且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.8×0.6×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.6×0.5＝0.3；當(dāng)答題順序?yàn)锽，C，A且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.8×0.5×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.5×0.6＝0.22.∴先回答問(wèn)題B，連對(duì)兩題的概率為0.3＋0.22＝0.52.③若先回答問(wèn)題C，則答題順序可能為C，A，B和C，B，A，當(dāng)答題順序?yàn)镃，A，B且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.5×0.6×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.6×0.8＝0.3；當(dāng)答題順序?yàn)镃，B，A且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.5×0.8×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.8×0.6＝0.4.∴先回答問(wèn)題C，連對(duì)兩題的概率為0.3＋0.4＝0.7.∵0.7>0.62>0.52，∴要使p最大，應(yīng)先回答問(wèn)題C.4．[多選]已知兩個(gè)事件A，B，滿足P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是

(

)A．若A，B為相互獨(dú)立事件，則P(B)＝P(B|A)B．若P(B|A)＝P(B)，則P(A|B)＝P(A)答案：ABC

答案：ABC

解析：若A，B為相互獨(dú)立事件，則P(AB)＝P(A)P(B)，5．(2023·全國(guó)模擬預(yù)測(cè))為了解高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某市教育局分別從身體形態(tài)、身體機(jī)能、身體素質(zhì)等方面對(duì)該市高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平進(jìn)行綜合測(cè)評(píng)，并根據(jù)2018年版的《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》評(píng)定等級(jí)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，甲校有30%的學(xué)生的等級(jí)為良好，乙校有60%的學(xué)生的等級(jí)為良好，丙校有50%的學(xué)生的等級(jí)為良好，且甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生人數(shù)之比為5∶8∶7.從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，則該學(xué)生的等級(jí)為良好的概率為

(

)A．0.40 B．0.47C．0.49 D．0.55答案：C

[一站補(bǔ)給]思維的“難點(diǎn)”(1)求解條件概率最易混淆的就是P(B|A)與P(A|B)，前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率；(2)如果知道事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)思想的“高點(diǎn)”求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率時(shí)，當(dāng)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想續(xù)表[真題導(dǎo)向]1．(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是

(

)A.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等命題點(diǎn)三正態(tài)分布及其應(yīng)用答案：D

解析：正態(tài)分布的曲線形狀由參數(shù)σ確定，σ越小，曲線越“高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，A正確，D不正確．曲線在x＝10時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，所以在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5，小于9.99與大于10.01的概率相等，B、C正確．故選D.2．(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.答案：0.14解析：因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.[素養(yǎng)評(píng)價(jià)]1．(2023·衡水中學(xué)一模)新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來(lái)備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車的耗電量(單位：kW·h/100km)情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車的耗電量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，則樣本中耗電量不小于14kW·h/100km的汽車大約有

(

)A．180輛

B．360輛C．600輛

D．840輛答案：A

解析：因?yàn)棣巍玁(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，2.(2023·天津三模)某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量(單位：克)分別為X，Y，且X～A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝1答案：D

解析：Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，故A正確；附：若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ