高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題18 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式理（含解析）

18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.自主梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：____________________.(2)商數(shù)關(guān)系：______________________________.2．誘導(dǎo)公式(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝________.(6)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝__________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝____________________________________.3．誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法．自我檢測(cè)1．(2010·全國(guó)Ⅰ)cos300°等于()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)2．(2009·陜西)若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值為()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．－23．(2010·福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝eq\f(3,4)，則sinα等于()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)4．cos(－eq\f(17,4)π)－sin(－eq\f(17,4)π)的值是()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．0 D.eq\f(\r(2),2)5．(2011·清遠(yuǎn)月考)已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(2,3)，則sin(α－eq\f(2π,3))＝________.探究點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值例1已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sin2x－cos2x的值；(2)求eq\f(tanx,2sinx＋cosx)的值．變式遷移1已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值．(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.探究點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值例2(2011·合肥模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(5),5)，α∈(0，π)．(1)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),sinπ－α＋cos3π＋α)的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,4)))的值．變式遷移2設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．變式遷移3(2011·安陽模擬)已知△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，(1)求sinA·cosA；(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tanA的值．轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出來，并求其值．多角度審題由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．【答題模板】解(1)聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]∵α是三角形的內(nèi)角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)cosα＝－\f(3,5)))，[4分]∴tanα＝－eq\f(4,3).[6分](2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)，[8分]∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)[10分]＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq\f(25,7).[12分]【突破思維障礙】由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sinα再求cosα.(1)問切化弦即可求．(2)問應(yīng)弦化切，這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在求解sinα，cosα的過程中，若消去cosα得到關(guān)于sinα的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解．1．由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍．2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)．注意“1”的靈活代換．3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2011·荊州模擬)已知△ABC中，eq\f(cosA,sinA)＝－eq\f(12,5)，則cosA等于()A.eq\f(12,13) B.eq\f(5,13)C．－eq\f(5,13) D．－eq\f(12,13)2．已知tanα＝－eq\f(5,12)，且α為第二象限角，則sinα的值等于()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,15)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)3．(2011·許昌月考)已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,cos－π－αtanα)，則f(－eq\f(31,3)π)的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)4．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2002)＝－1，則f(2003)等于()A．－1 B．0 C．1 5．(2010·全國(guó)Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·全國(guó)Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(1,2)，則cosα＝________.7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.8．(2010·東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝________.三、解答題(共38分)9．(12分)已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋π,－tan－α－πsin－π－α).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．10．(12分)化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－α·cos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]·coskπ＋α)(k∈Z)．11．(14分)(2011·秦皇島模擬)已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．(1)求cos3(eq\f(π,2)－θ)＋sin3(eq\f(π,2)－θ)的值；(2)求tan(π－θ)－eq\f(1,tanθ)的值．答案自主梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)eq\f(sinα,cosα)＝tanα2.(1)sinαcosα tanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα (6)cosα－sinα自我檢測(cè)1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝eq\f(1,10)，∴eq\f(1,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1,cos2α＋2sinα·－3sinα)＝eq\f(1,1－7sin2α)＝eq\f(10,3).]3．B4．A[cos(－eq\f(17,4)π)－sin(－eq\f(17,4)π)＝cos(－4π－eq\f(π,4))－sin(－4π－eq\f(π,4))＝cos(－eq\f(π,4))－sin(－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,4)＝eq\r(2).]5．－eq\f(2,3)解析sin(α－eq\f(2π,3))＝－sin(eq\f(2π,3)－α)＝－sin[(eq\f(π,6)－α)＋eq\f(π,2)]＝－cos(eq\f(π,6)－α)＝－eq\f(2,3).課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對(duì)符號(hào)的判斷．解由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)得，1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，則2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，即sinx－cosx<0.則sinx－cosx＝－eq\r(sin2x－2sinxcosx＋cos2x)＝－eq\r(1＋\f(24,25))＝－eq\f(7,5).(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))＝－eq\f(7,25).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5),sinx－cosx＝－\f(7,5)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＝－\f(3,5),cosx＝\f(4,5)))，則tanx＝－eq\f(3,4).即eq\f(tanx,2sinx＋cosx)＝eq\f(－\f(3,4),－\f(6,5)＋\f(4,5))＝eq\f(15,8).變式遷移1解∵sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，∴－sinα＝－2cosα.∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.方法一(直接代入法)：(1)原式＝eq\f(2cosα－4cosα,5×2cosα＋2cosα)＝－eq\f(1,6).(2)原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq\f(8,5).方法二(同除轉(zhuǎn)化法)：(1)原式＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝eq\f(2－4,5×2＋2)＝－eq\f(1,6).(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(8,5).例2解題導(dǎo)引三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋α))的本質(zhì)是：奇變偶不變(對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負(fù)角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．解(1)∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(5),5)，α∈(0，π)，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5).∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),sinπ－α＋cos3π＋α)＝eq\f(－cosα－sinα,sinα－cosα)＝－eq\f(1,3).(2)∵cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，∴sin2α＝－eq\f(4,5)，cos2α＝－eq\f(3,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(3π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)cos2α＋eq\f(\r(2),2)sin2α＝－eq\f(\r(2),10).變式遷移2eq\r(3)解析∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).例3解題導(dǎo)引先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，再利用平方關(guān)系求得cosA．求角時(shí)，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2).解由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB，②))①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±eq\f(\r(2),2).(1)當(dāng)cosA＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.(2)當(dāng)cosA＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(3,4)π，B＝eq\f(5,6)π，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.變式遷移3解(1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，①∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinA·cosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinA·cosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，∴A為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝eq\f(49,25)，又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5)，②∴由①，②得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(4,3).課后練習(xí)區(qū)1．D[∵A為△ABC中的角，eq\f(cosA,sinA)＝－eq\f(12,5)，∴sinA＝－eq\f(5,12)cosA，A為鈍角，∴cosA<0.代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－eq\f(12,13).]2．C[已知tanα＝－eq\f(5,12)，且α為第二象限角，有cosα＝－eq\r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq\f(12,13)，所以sinα＝eq\f(5,13).]3．C[∵f(α)＝eq\f(sinαcosα,－cosαtanα)＝－cosα，∴f(－eq\f(31,3)π)＝－cos(－eq\f(31,3)π)＝－cos(10π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).]4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1，∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝eq\r(1－cos280°)＝eq\r(1－k2).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).]6．－eq\f(2\r(5),5)解析∵tanα＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，∴cosα＝－eq\f(2\r(5),5).7.eq\f(89,2)解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)＝sin21°＋sin22°＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋eq\f(1,2)＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).8.eq\f(16,5)解析原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝3＋eq\f(1,tan2α＋1)＝3＋eq\f(1,5)＝eq\f(16,5).9．解(1)f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋π,－tan－α－πsin－π－α)＝eq\f(sinαcosα－tanα,tanαsinα)＝－cosα.…………(5分)(2)∵α是第三象限角，且cos(α－eq\f(3π,2))＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5)，…………………