基于壓縮感知的采樣值檢測方法研究

基于壓縮感知的采樣值檢測方法研究

1信號(hào)檢測任務(wù)的實(shí)現(xiàn)方法壓縮感知，又稱“壓縮感知”（以下簡稱“壓縮感知”），是一種新的信息獲取理論。該理論指出,只要信號(hào)是稀疏的或者在某個(gè)基下可壓縮,就可以利用隨機(jī)測量矩陣把高維空間上的信號(hào)穩(wěn)定嵌入到低維空間上。信號(hào)在低維空間上的投影包含了重構(gòu)信號(hào)所需要的足夠信息,可以用低維空間上的少量采樣值(也稱為“觀測值或測量值”)精確重構(gòu)出原始信號(hào)?；谠摾碚?用于精確重構(gòu)信號(hào)的采樣率可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特(Nyquist)定理要求的采樣率,這給寬帶信號(hào)的采集、傳輸、存儲(chǔ)以及處理帶來極大的便利。目前,在壓縮感知的研究文獻(xiàn)中,多數(shù)是以信號(hào)的精確重構(gòu)為目標(biāo)進(jìn)行相關(guān)研究。然而,在許多信號(hào)處理應(yīng)用中,信號(hào)獲取的最終目的并不是重構(gòu)原始信號(hào),而是為了得到觀測目標(biāo)的某些信息。例如信號(hào)檢測這樣的任務(wù),信號(hào)獲取的目的就是為了從觀測數(shù)據(jù)中提取判決信息,完成一個(gè)檢測決定。如果重構(gòu)原始信號(hào)后再進(jìn)行檢測,顯然是浪費(fèi)資源的,因?yàn)閴嚎s感知的采樣值已經(jīng)保持了原始信號(hào)的結(jié)構(gòu)和相關(guān)信息,在不重構(gòu)原始信號(hào)的條件下,可以直接處理壓縮感知的采樣值完成信號(hào)檢測任務(wù)。文獻(xiàn)[14-15]從理論上證明了基于壓縮感知采樣值進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推理任務(wù)是有效的,可以直接處理壓縮感知的采樣值完成信號(hào)的檢測和估計(jì)等任務(wù)。在基于壓縮感知采樣值進(jìn)行信號(hào)檢測的具體實(shí)現(xiàn)方法方面,文獻(xiàn)提出了一種基于匹配追蹤的信號(hào)檢測算法。該算法在基于匹配追蹤的信號(hào)重構(gòu)算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),將原始信號(hào)在變換域中的最大投影系數(shù)作為判決依據(jù),完成檢測,是一種基于信號(hào)部分重構(gòu)思想的檢測方法。與精確重構(gòu)原信號(hào)后再進(jìn)行檢測相比,使用該方法完成檢測任務(wù)所需要的采樣點(diǎn)數(shù)少,方法的復(fù)雜性低,計(jì)算量小。但是,當(dāng)原始信號(hào)在信噪比較低的環(huán)境中時(shí),該方法的檢測效果不好,主要原因是噪聲在變換域的系數(shù)已經(jīng)接近甚至超過了信號(hào)在變換域的系數(shù),導(dǎo)致檢測失效?；谶@種原因,本文通過分析壓縮感知過程的數(shù)學(xué)模型,獲得了每個(gè)采樣值在相應(yīng)假設(shè)情況下的數(shù)字特征,將實(shí)際采樣值與其在各假設(shè)情況下數(shù)學(xué)期望的偏差作為判決依據(jù),完成檢測任務(wù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的檢測方法提高了低信噪比下信號(hào)的檢測成功率,在相同檢測成功率要求下降低了采樣數(shù)量需求。2基于壓縮傳感器采樣值的信號(hào)檢測2.1壓縮感知基本原理壓縮感知是一種非傳統(tǒng)的采樣方式,與奈奎斯特采樣不同,它的每一個(gè)采樣值是通過信號(hào)在觀測向量上的投影獲得的。該理論2004年由Donoho等人提出,2006年發(fā)表正式論文,是一種建立在信號(hào)稀疏表示、測量矩陣的非相關(guān)性以及逼近理論上的信號(hào)采集和重建理論。該理論指出,只要信號(hào)是稀疏的或者在某個(gè)基下是可壓縮的,就可以通過遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣率獲取信號(hào)的結(jié)構(gòu)和相關(guān)信息,再通過重構(gòu)算法完成信號(hào)的精確重構(gòu)。該理論給寬帶信號(hào)的處理帶來極大的便利。壓縮感知理論主要包括兩個(gè)方面內(nèi)容:將信號(hào)在觀測向量上投影得到采樣值和使用重構(gòu)算法由采樣值重構(gòu)出原始信號(hào)。對(duì)于一個(gè)信號(hào)x∈RN,假設(shè)其稀疏度為k(k<N),那么信號(hào)在觀測向量上的投影可以表示為:式中:φ是一個(gè)滿足限制等距性(restrictedisometryproperty,RIP)的M×N觀測矩陣。y是壓縮感知獲得的采樣值。對(duì)于原始信號(hào)的重構(gòu),首先基于采樣值y獲得x在其變換域ψ上的稀疏表示,然后在此基礎(chǔ)上結(jié)合相應(yīng)的變換基獲得原始信號(hào)。可以看到,尋找信號(hào)在變換域ψ上的稀疏表示是重構(gòu)信號(hào)的關(guān)鍵,相關(guān)學(xué)者指出,這可以通過l0范數(shù)或者與其同解的l1范數(shù)優(yōu)化問題解決,l1范數(shù)的優(yōu)化問題如式(2)所示:由以上分析可以看出,壓縮感知的采樣值y已經(jīng)保持了原始信號(hào)的結(jié)構(gòu)信息。因此,對(duì)于信號(hào)檢測這類信號(hào)處理任務(wù)而言,可以不精確重構(gòu)原始信號(hào),直接處理采樣值y獲取目標(biāo)信息,完成檢測任務(wù)。2.2基于部分重構(gòu)思想的信號(hào)檢測算法本文中檢測目的是在不重構(gòu)原信號(hào)的情況下,通過直接處理壓縮感知采樣值y來區(qū)別下面兩種假設(shè):式中:s∈RN是我們感興趣的已知信號(hào),n是分布滿足n~N(0,σ2IN)的加性高斯白噪聲,φ體現(xiàn)的是壓縮感知過程,數(shù)學(xué)上的表達(dá)是一個(gè)滿足RIP性質(zhì)的M×N的矩陣,其中M<N。為了在不精確重構(gòu)原始信號(hào)的情況下區(qū)別兩種假設(shè),文獻(xiàn)在基于匹配追蹤的信號(hào)重構(gòu)算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),提出了基于匹配追蹤的信號(hào)檢測算法。算法描述如下:令V=φψ,迭代次數(shù)為T,T值應(yīng)小于基于匹配追蹤的信號(hào)精確重構(gòu)算法所需要的迭代數(shù)。1)初始化:余量r0=y,估計(jì)值,迭代次數(shù)t=1。2)在V中選出與余量相關(guān)性最大的列:3)更新所選列的系數(shù)估計(jì)值:4)更新余量:5)t=t+1。如果t<T,回到步驟2;否則,到步驟6)。從算法描述可以看到,該檢測算法與基于匹配追蹤的重構(gòu)算法相比進(jìn)行了兩處修改:1)規(guī)定迭代次數(shù)要小于精確重構(gòu)所需要的迭代次數(shù);2)使用步驟6代替了重構(gòu)算法中基于稀疏系數(shù)向量的原始信號(hào)重構(gòu)步驟。由此可以看出,這是一種基于原始信號(hào)部分重構(gòu)思想的檢測方法。該方法使用較少的迭代次數(shù),雖然不能準(zhǔn)確的獲得原始信號(hào)在變換域的稀疏系數(shù)向量,但是卻能較準(zhǔn)確的獲得稀疏系數(shù)向量中一些較大的分量,這些分量體現(xiàn)的是原始信號(hào)中的一些顯著成分,因?yàn)樵夹盘?hào)中的顯著成分在變換域的系數(shù)就是這些分量,這是由匹配追蹤的算法性質(zhì)決定的。因此,在該算法下,原始信號(hào)中的一些顯著成分實(shí)質(zhì)上已經(jīng)被近似重構(gòu)。在此基礎(chǔ)上,該方法選擇稀疏系數(shù)向量中的一個(gè)最大的分量作為判決依據(jù),當(dāng)該分量大于某一個(gè)閾值γ時(shí),說明存在原始信號(hào)中的最顯著成分(在變換域系數(shù)最大的分量),進(jìn)而說明原始信號(hào)是存在的;反之,當(dāng)該分量小于同一個(gè)閾值γ時(shí),說明不存在原始信號(hào)中的最顯著成分,進(jìn)而說明原始信號(hào)是不存在。由上述分析可以看到,這種基于部分重構(gòu)思想的信號(hào)檢測方法,與精確重構(gòu)信號(hào)后再進(jìn)行檢測相比,其復(fù)雜性低,計(jì)算量小。但是,這種方法對(duì)低信噪比的信號(hào)進(jìn)行檢測時(shí),檢測效果不好。這是因?yàn)?高斯白噪聲在任何變換域都是不稀疏的,當(dāng)噪聲強(qiáng)度較大時(shí),噪聲在變換域上的系數(shù)已經(jīng)接近甚至超過原始信號(hào)中顯著成分在變換域上的系數(shù),導(dǎo)致檢測性能下降。針對(duì)這種情況,本文提出一種基于采樣值數(shù)字特征的信號(hào)檢測方法,通過分析壓縮感知過程的數(shù)學(xué)模型,獲得兩種假設(shè)下每個(gè)采樣值的數(shù)字特征,將真實(shí)采樣值與其在兩種假設(shè)下數(shù)學(xué)期望的偏差做作為判決依據(jù),完成檢測。3基于采樣值數(shù)字特征的信號(hào)檢測方法3.1采樣點(diǎn)的確定—壓縮感知采樣值的數(shù)字特征對(duì)于本文2.2部分式(3)中的兩種假設(shè),現(xiàn)在分析其壓縮感知采樣值的數(shù)字特征:H1情況下,高斯白噪聲的分布滿足n~N(0,σ2IN),感興趣信號(hào)s∈RN,是一個(gè)已知的信號(hào),因此s+n~N(s,σ2IN)。在每次壓縮感知過程中,φ可以認(rèn)為是一個(gè)確定、已知的M×N測量矩陣,那么H1中的過程可以認(rèn)為是一個(gè)N維高斯變量s+n的線性變換過程。由概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)理論可知,N維高斯變量的線性變換仍服從高斯分布,因此,可以獲得采樣值y的數(shù)字特征,即,推導(dǎo)過程如下:同理,H0情況下,y=φn~N(0,φσ2φT)。由于y是一個(gè)M維的變量,因此,可以認(rèn)為壓縮感知的采樣點(diǎn)有M個(gè)。由于y的數(shù)字特征可知,因此每一個(gè)采樣點(diǎn)yi的數(shù)字特征也是可知的,即:式中:φi為矩陣φ的第i行向量。3.2采樣點(diǎn)選取和激勵(lì)約束下的檢測。根據(jù)第一由3.1節(jié)可知,在H1和H0情況下,壓縮感知獲得的采樣值y方差相同,數(shù)學(xué)期望不同。H1情況下的數(shù)學(xué)期望是φs,H0情況下各個(gè)采樣值的數(shù)學(xué)期望均為0,兩種情況下采樣值的數(shù)學(xué)期望均與噪聲強(qiáng)度無關(guān)。因此,可以利用采樣值在不同假設(shè)情況下的數(shù)學(xué)期望不同這一特點(diǎn)進(jìn)行信號(hào)檢測。在本文中,采用的方法是將實(shí)際采樣值與其在兩種假設(shè)情況下數(shù)學(xué)期望的偏差作為判決依據(jù),完成檢測。方法的流程如下:1)在由壓縮感知獲得的M個(gè)采樣點(diǎn)中任意選擇l(l≤M)個(gè)采樣點(diǎn),分別求出每個(gè)采樣點(diǎn)與其在H1情況下數(shù)學(xué)期望的偏差,然后分別平方之后取和:式中:y1,…,yl為從M個(gè)采樣點(diǎn)中任意選擇的l個(gè)采樣點(diǎn)。2)使用相同的l(l≤M)個(gè)采樣點(diǎn),分別求出每個(gè)采樣點(diǎn)與其在H0情況下數(shù)學(xué)期望的偏差,然后分別平方之后取和:3)如果H1Δ<H0Δ,選擇H1;否則,選擇H0。由上述流程可看到,檢測決定是通過比較真實(shí)采樣值與其在兩種假設(shè)情況下數(shù)學(xué)期望的偏差程度完成的。由于壓縮感知采樣值在H1和H0情況下的方差相同,因此,當(dāng)真實(shí)采樣值與壓縮感知采樣值在H1情況下數(shù)學(xué)期望的偏差較小時(shí),就表示該采樣值與H1情況下的數(shù)學(xué)期望較接近,由高斯分布的性質(zhì)可知,這就表明真實(shí)采樣值來自H1情況的概率較高;反之,表明真實(shí)采樣值來自H0情況的概率較高。這種方法較好地克服了低信噪比下檢測效果不好的問題,因?yàn)樵肼暤膹?qiáng)度變化并不會(huì)改變采樣值的數(shù)學(xué)期望,它只會(huì)改變采樣值的方差,而采樣值在H1和H0情況下的方差又是相同的。此外,還可以看到,這種方法可以根據(jù)檢測要求靈活選擇采樣點(diǎn)數(shù)完成檢測?？梢圆恍枰褂盟械牟蓸狱c(diǎn),因?yàn)槊恳粋€(gè)采樣點(diǎn)都有其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,都可以作為檢測判決的依據(jù)。這在信號(hào)處理應(yīng)用中是非常有益的,采集數(shù)據(jù)后,可以先使用部分采樣值完成檢測,確認(rèn)感興趣信號(hào)存在后,再基于所有采樣值完成其他處理,例如參數(shù)估計(jì)等。這就給信號(hào)處理節(jié)省了很多資源。當(dāng)然,從統(tǒng)計(jì)理論的角度而言,在一定信噪比條件下,使用的采樣點(diǎn)數(shù)越多,檢測效果越準(zhǔn)確,具體使用多少采樣點(diǎn)進(jìn)行檢測可以根據(jù)檢測需求及具體的信噪比情況確定。4實(shí)驗(yàn)2不同信噪比下的檢測結(jié)果實(shí)驗(yàn)中,壓縮感知過程通過一個(gè)M×N的觀測矩陣φ實(shí)現(xiàn),在每次檢測實(shí)驗(yàn)中,φ是一個(gè)重新產(chǎn)生的元素滿足高斯分布的矩陣,M為壓縮感知采樣點(diǎn)數(shù)。H1和H0情況出現(xiàn)的先驗(yàn)概率滿足Pr(H0)=Pr(H1)=1/2,檢測成功率為2000次檢測實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。為了證明本文方法的有效性,首先考察一個(gè)基本信號(hào)類型的檢測效果。信號(hào)s的長度N=256,由三個(gè)正弦分量疊加而成,其時(shí)域波形如圖1所示。下面針對(duì)信號(hào)s從兩個(gè)方面考察本文方法(以下簡稱NC檢測算法NumericalCharacteristics)和基于匹配追蹤的信號(hào)檢測算法(以下簡稱MP檢測算法)的檢測效果。實(shí)驗(yàn)一,考察在相同采樣點(diǎn)數(shù)下,NC檢測算法和MP檢測算法在各個(gè)信噪比下的檢測效果。令采樣點(diǎn)數(shù)M=50,信噪比SNR的變化范圍為[-10,5],步進(jìn)為1。NC算法中使用全部采樣點(diǎn)進(jìn)行檢測,即L=50。MP算法中的迭代次數(shù)T=6,在每個(gè)信噪比下的檢測閾值選擇策略與文獻(xiàn)所用策略一致,即使用蒙特卡洛方法基于最小檢測誤差選擇閾值,本文中蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為5000次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示,由圖可以看出,在低信噪比條件下,NC檢測算法的檢測效果優(yōu)于MP檢測算法。實(shí)驗(yàn)二,考察在相同信噪比下,NC檢測算法和MP檢測算法在各采樣點(diǎn)數(shù)下的檢測效果。令信噪比SNR=-3,采樣點(diǎn)數(shù)M的變化范圍為,步進(jìn)為5,兩種算法中的參數(shù)選擇策略與實(shí)驗(yàn)一相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示,由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:1)NC檢測算法使用20個(gè)采樣點(diǎn)獲得的檢測成功率為93.45%,高于MP檢測算法使用30個(gè)采樣點(diǎn)獲得的檢測成功率67.255%;2)NC檢測算法使用40個(gè)采樣點(diǎn)獲得的檢測成功率為98.055%,高于MP檢測算法使用50個(gè)采樣點(diǎn)獲得的檢測成功率80.155%。在實(shí)驗(yàn)二的基礎(chǔ)上,改變信噪比參數(shù),繼續(xù)考察兩種算法在其他低信噪比下的檢測效果。限于篇幅,這里只給出在信噪比SNR=-10、-8、-6、-4條件下,NC檢測算法使用30個(gè)采樣點(diǎn)檢測和MP檢測算法使用40個(gè)采樣點(diǎn)檢測的比較結(jié)果以及NC檢測算法使用50個(gè)采樣點(diǎn)檢測和MP檢測算法使用60個(gè)采樣點(diǎn)檢測的比較結(jié)果,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到,在低信噪比條件下,與MP檢測算法相比,NC檢測算法可以使用較少的采樣點(diǎn)數(shù)獲得較高的檢測成功率。為了進(jìn)一步證明本文方法在實(shí)際應(yīng)用方面的有效性,下面針對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)中的實(shí)際問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在雷達(dá)系統(tǒng)中,線性調(diào)頻信號(hào)是一種非常重要的信號(hào)形式,信號(hào)瞬時(shí)頻帶寬的特性雖然提高了雷達(dá)系統(tǒng)的目標(biāo)檢測及識(shí)別能力,卻給信號(hào)采集及數(shù)據(jù)處理帶來極大壓力。在低信噪比下,如何使用較少的采樣點(diǎn)完成信號(hào)檢測是一個(gè)非常重要的信號(hào)處理任務(wù)。本實(shí)驗(yàn)分別應(yīng)用NC檢測算法和MP檢測算法檢測某雷達(dá)信號(hào)。該信號(hào)具有三個(gè)線性調(diào)頻分量,混頻后載波頻率均為0,帶寬分別為300MHz、200MHz、150MHz,幅度分別為0.5、0.2、0.3,時(shí)寬為10μs。采樣點(diǎn)數(shù)M=100,信噪比SNR的變化范圍為[-20,5]。在基于NC檢測算法的檢測中,對(duì)使用部分采樣點(diǎn)和使用全部采樣點(diǎn)的檢測效果均進(jìn)行考察,其中使用部分采樣點(diǎn)檢測時(shí),考察參數(shù)L=80和L=50兩種情況。MP檢測算法的參數(shù)選擇策略與實(shí)驗(yàn)