2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期月考金牌測試卷名校培優(yōu)版（一）解析版

2021-2022高二上學(xué)期第一次月考金牌測試卷名校培優(yōu)版（一）

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.本試卷共6頁，包含單項選擇題（第1題?第8題，共40分）、多項選擇題（第9題?第12

題，共20分）、填空題（第13題?第16題，共20分）和解答題（第17題?第22題，共70

分）四部分.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡、

試卷和草稿紙的指定位置上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用28鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨水的簽字筆將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷或草稿紙上均無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

5.如需作圖，須用28鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題意要求的

1.已知直線/：》-四，+8"=0上存在點M滿足與4（-1，0）、8（1,0）兩點連線的斜率⑥.與如出之積為3,則

實數(shù)m的取值范圍是（）

A.[-n,而]

【答案】C

【分析】

根據(jù)直線的斜率的概念，以及含參方程有解等價條件的轉(zhuǎn)換即可求解.

設(shè)M（x,y）,由。AA?=3,得y2=3/-3,與直線/聯(lián)立，分類討論，可得實數(shù)，”的取值范圍.

【詳解】

設(shè)M（x,y）,由于輸“3,得言士3,BPy2=3x2-3,(x^±l)

時工駕。唱郎+乎”。(*)

要滿足條件,

、1

即〃之士，

6

解得：m-^-11,m±^-.

663

或攝一3=0時，根=乎時，代入方程（*）解得：x=-l（舍）

機=-40寸，代入方程（*）,解得：x=l（舍），

綜上可知：機士理■或，“4-^^ILm+^-.

663

故選：C

x；+y；=i,+y2=1?占々+乂?=；，則|西+%-1|H+y2Tl

2.已知實數(shù)為、與、%、”滿足：2的

最大值為（）

A.&+石B.2+6C.2+石D.1+G

【答案】A

【分析】

設(shè)A（xi,yi）,B（X2,）2）,可得礪=（xi.yi）,OB=（X2,y2）,根據(jù)向量的數(shù)量積可得三角形OAB為等

lxi+%T"+y2Tl

邊三角形,的幾何意義為點A，8兩點到直線x+y-1=0的距離"與d2之和，根據(jù)點

到直線的距離公式以及兩平行線之間的距離即可求解.

【詳解】

設(shè)A(xi,yi),B(%2.)也)，

OA=(xi,yi),OB=(X2,>'2),

liljci2+yi2=l,X22+.V22=1,x\xi+y\y^^,

可得A,8兩點在圓N+y2=］上，

11.OA,OB=1x1xcos,

即有/AOB=60°,

即三角形0A8為等邊三角形，AB=1,

歸+*-"+"+|一1|的幾何意義為點A,B兩點

V2V2

到直線x+y-1=0的距離4與凌之和，

顯然A,8在第三象限，AB所在直線與宜線x+產(chǎn)1平行,

可設(shè)AS：x+y+r=0,(r>0),

kl

由圓心O到直線A8的距離上屹’

可得2、H=1，解得U亞,

V22

即有兩平行線的距離為1+2_3+6,

V22

即.+二+舊+*4的最大值為&+G,

V2V2

故選：A.

22

3.已知點P是雙曲線5-4=1(a>0,Z?0)右支上一點，凡、/2是雙曲線的左、右焦點，M是

CTh-

2

的內(nèi)心，若S&w/￥|=S&WPF?+~SAA/尸內(nèi)成立，則雙曲線的離心率為()

43

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】D

【分析】

設(shè)圓M與△尸斗鳥的三邊耳鳥，PF、,尸鳥分別相切于點E,F,G,連接ME,MF,MG,易得ME_L斗8,

2

MhPF”MGLPF29設(shè)廠為圓M的半徑，分別計算與.、S.MP乃和由=S5+§入小

可得|對|-|尸曰二成6閭，再結(jié)合雙曲線的定義歸用-|P周二2%可得出%=2c,最后求得離心率即可.

【詳解】

如圖，設(shè)圓M與鳥的三邊片鳥，尸&P鳥分別相切于點E,F,G,連接ME,MF,MG,則

MEYFtF2,MF±PFt,MG1PF2,設(shè)'為耳心內(nèi)切圓M的半徑，

1F*11-

S&W7己=gx|6用x|ME|=]5段

2F,??2廠

；+-5^2,:.-\PFt\=-\PF2\+-x-\FtF2\,

9

化簡得：|尸用-|「用=§忸用，

2

由雙曲線的定義可得：戶用-|P用=2°,內(nèi)周=2c,.-.2a=-x2c,

c3

，離心率6=一=一

a2

故選：D.

4.已知A（l,石），B（瓜1）兩點,若直線/：>=丘與線段.恒有交點，則k的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】

直線>=依過定點（0,0）,再求它與兩點A（LG），3（后,1）的斜率，即可取得k的取值范圍.

【詳解】

解：?.?直線）=人過定點0（0,0）,41,石）,網(wǎng)有1）,

由圖象可知：kOR<k<k0A,

5.已知點P(-2,-3)在以C(l,l)為圓心的圓C外，且圓C上的動點到點尸距離的最小值為2,直線。尸與圓

C交于A,8兩點(其中。為坐標(biāo)原點)，點。(x,y)在劣弧A8上運動，貝小一2k4|+2x—3y—2的最小值

為()

A.2+30B.2-3夜C.1+3應(yīng)D.1-3夜

【答案】B

【分析】

由題意求得圓半徑r=3,作出圓及直線尸0,交點A3,作直線x-2y-4=0,判斷出劣弧AB上點。(x,y)

的坐標(biāo)代入有x-2y-4<0,可化簡求值式為x-y+2,再作直線*->+2=0,判斷出在此直線上方有

x-y+2<0,下方有x-y+2>0,因此得出要取得最小值，。點在直線x-y+2=0上方，求得與之平行的

圓的切線方程可得結(jié)論.

【詳解】

1Pq=J(1+2)2+(1+3)2=5,因為圓C上的動點到點P距離的最小值為2,

所以圓半徑為r=5-2=3,圓方程為(X-1)2+()，-1)2=9,

直線8方程為尸三-3三3，

如圖，作出圓C,直線OP與圓交于點AB,

作直線x-2y-4=0,劣弧位于宜線x-2y-4=0的上方，因此點Q(x,y)在劣弧AB上運動時，

x-2y-4<0,所以|x-2y-4|+2x—3y—2=—x+2y+4+2x—3y—2=x-y+2,

作直線%-丁+2=0,在直線x-y+2=。上方，有x-y+2v0,在直線x-y+2=0下方，有x-y+2>0,

設(shè)直線x—y+%=0與圓C相切，則卜；向=3,〃?=±30,在直線x—y+2=0上方取m=3夜，即有

72

x-y+3夜=0,

所以x-y+2=2-3a為最小值.

故選：B.

6.若二次函數(shù)了=/+法+C（ACHO）的圖象的頂點坐標(biāo)為與x軸的交點P,。位于）'軸的兩側(cè),

以線段PQ為直徑的圓與y軸交于M（0,T）,則點S,c）所在曲線為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.線段

【答案】B

【分析】

確定以線段尸。為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，利用ICA/HCQI,及二次函數(shù)y=+bx+c（acwO）圖象的頂點坐

標(biāo)，化簡，即可求得點S，c）所在曲線.

【詳解】

解：由題意，以線段PQ為直彳仝的圓的圓心坐標(biāo)為c（-￡,0）,則：

2a

由|CM|=|CQ|,可得與+16=也孚，

4優(yōu)廿

??,二次函數(shù)+圖象的頂點坐標(biāo)為（-?，-：），

2a4a

.4ac-b21

??------=---,

4a4a

b2-4ac=1?

2b~~~1

:.b~2+64?~=1??=——

4c

...^+64X^21=I

/.c24-4b2=4

c2

:.b~+—=1

4

???點仍,C）所在曲線為橢圓.

故選：B.

7.“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”素養(yǎng)］唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬

傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),

先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為

8（-2,0）,若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+2y=3,則“將軍飲馬”的最

短總路程為（）

A.當(dāng)^B.5C.V15D.y

【答案】A

【分析】

設(shè)點3（-2,0）關(guān)于直線x+2y=3的對?稱點為）,根據(jù)該直線是BC的中垂線可列出關(guān)于國和％的方程

組，解出C點坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式求出|AC|即可.

【詳解】

解：如圖所示，設(shè)將軍在河邊。處飲馬，連接AD,BD,則“將軍飲馬'’的總路程為45+3D

設(shè)點B（-2,0）關(guān)于直線x+2y=3的對稱點為C&,y）,

鋁+2售=3

解得%=0,x=4,即C(o,4).

連接。C,AC,BC,則DC=8O,所以AD+3Q=/1O+￡)C2AC,

所以“將軍飲馬”的最短總路程為=

故選：A.

8.已知圓G：（x-iy+（y+l）2=l,圓C2：（x-4『+（y-5）2=9,點M、N分別是圓G、圓C2上的動點,

點/＞為x軸上的動點，則歸川-儼河|的最大值是（）

A.2石+4B.9C.7D.26+2

【答案】B

【分析】

分析可知（|PN|-|PMk=|PC2|-|PC,|+4（設(shè)點G（4,5）關(guān)于“軸的對稱點為c；（4,-5）,可得出

|PC2|=|pc；|,求出"cf—lPGl的最大值，即可得解.

【詳解】

圓G:（x-1）2+（y+1）2=1的圓心為半徑為1,

2

圓C2:（X-4）+（y-5）2=9的圓心為G（4,5）,半徑為3.

???（網(wǎng)一回憶石叫四一伊河島

又|PNL=|PG|+3,

所以，（網(wǎng)-回憶=（|PG|+3HPG|-I）=|PGHPG|+4.

點G（4,5）關(guān)于x軸的對稱點為C；（4,-5）,

所以，（|取|—幟M）2=5+4=9,

故選：B.

二、多項選擇題：（本題共4小題每小題5分，共20分.在每小題給出的選

項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有

選錯的得0分.）

9.下列說法正確的是（）

A.直線xsina+y+2=0的傾斜角。的取值范圍是

L4jL4）

B.“a=-1”是“直線a2x-y+l=0與直線x-ay-2=0互相垂直”的充要條件

C.經(jīng)過點（1,D且在.r軸和V軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0或者x-y=O

D.過（西,另），（程為）兩點的所有直線的方程為

x

）2.n2A

【答案】AC

【分析】

對于A,根據(jù)三角函數(shù)的有限性，以及正切函數(shù)圖象，即可求解；

對于B,根據(jù)垂直的等價條件，進行判斷；

對于C,當(dāng)直線經(jīng)過原點時，經(jīng)過點（1,1）的直線為*-y=O,當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，根據(jù)截距式方程，

即可求解；

對于D,當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時，不滿足條件.

【詳解】

一萬1「3萬A

對于A.直線的斜率氏=-sina,則一14火41,B|J-l<tan^<l,則Oe0,-u，故A正確；

L4jL4）

對于B.當(dāng)〃=0,兩直線方程分別為》=1和x=2,此時也滿足直線垂直，故B錯誤；

對于C.若直線過原點，則直線方程為y=x,若直線不過原點，則直線方程為x-y+2=o此時也滿足條件,

故C正確；

對于D.當(dāng)士=/，或弘=當(dāng)，時直線方程為x=±,或'=,，此時直線方程不成立，故D錯誤，

故選：AC.

10.已知點。是圓M：（x+2y+y2=4上一動點，點N（2,0）,若線段的垂直平分線交直線MQ于點尸,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.點尸的軌跡是橢圓

B.點P的軌跡是雙曲線

C.當(dāng)點P滿足《W_L/W時，APMN的面積〃戶的=3

D.當(dāng)點P滿足時，APMN的面積Sew.6

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)11PMi的結(jié)果先判斷出點尸的軌跡是雙曲線，由此判斷AB選項；然后根據(jù)雙曲線的定義以及垂

直對應(yīng)的勾股定理分別求解出|P”HPN|的值，即可求解出據(jù)此可判斷CD選項.

【詳解】

依題意，|M2|=2,|MN|=4,因線段M2的垂直平分線交直線MQ于點尸，于是得|「。=|叫，

當(dāng)點P在線段MQ的延長線上時，|PM|—|PN|TPM|TPQ|=|Ma=2,

當(dāng)點P在線段QM的延長線上時，|取卜歸M=-|PM|==2,

從而得11PM-|尸訓(xùn)=2<4=眼科由雙曲線的定義知，點M的軌跡是雙曲線，故A錯，B對；

、,2[\iPM\-\PN^=2

選項C,點P的軌跡方程為x2-2_=i,當(dāng)PM1PN時,{J,'2=>\PM\-\PN\=6,

3WM「+|PN『=|MN|2=16

所以2M=g|PM||PM=3，故C對；

\PM\-\PN\=-2

選項D當(dāng)PM'W時，|M_M=M=16-I?I=^

所以Sg“N=g|PM||MN|=6,故D對,

故選：BCD.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓Ci：X2+y2=8與圓Cnx?+y?+2犬+丫-。=()相交于A,B兩點.若

圓G上存在點P,使得A48P為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為()

A.8B.8-2>/5C.8+2后D.6

【答案】ABC

【分析】

先求解出公共弦AB的方程，然后根據(jù)43=90?；騈PB4=90?；騈APB=90。進行分類討論，由此分別求

解出。的可取值.

【詳解】

由題意知，直線AB為2x+y+8-a=0,

當(dāng)ZPAB=90°或ZPBA=90°時，

設(shè)G到A8的距離為d,

因為△ABP為等腰直角三角形，

所以d=；A8,即4=正彳，

所以d=2,所以歸司=4=2,

V22+l2

解得a=8±2行;

當(dāng)ZAPB=90°時，AB經(jīng)過圓心Ci,

則8—。=0,即a=8.

故選：ABC.

22

12.已知橢圓C:]+方=1(〃>6>0)的右焦點為P,點P在橢圓C上，點。在圓E:(x+3『+(y-4)2=4上,

且圓E上的所有點均在橢圓C外，若|P0-|PF|的最小值為26-6,且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長

相等，則下列說法正確的是()

A.橢圓C的焦距為2B.橢圓C的短軸長為班

C.戶。+|尸產(chǎn)|的最小值為26D.過點尸的圓E的切線斜率為上近

【答案】AD

【分析】

求出。的值，利用橢圓的定義結(jié)合三點共線可求得c的值，進一步求出b的值，可判斷AB選項的正誤；利

用橢圓的定義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項的正誤；設(shè)出切線方程，利用點到直線的距離公式求出切線

的方程，可判斷D選項的正誤.

【詳解】

對于A：因為橢圓C的長軸長與圓E的直徑長相等，所以2a=4,即a=2,

設(shè)橢圓的左焦點F'(-GO),由橢圓的定義可知|PF'|+|PF|=2a=4,

所以|尸。一|尸尸|=戶@一(4-|尸尸|)=儼。|+仍尸'卜4可。尸1一4引功1—2—4=2右一6,

所以怛9|=2石=J(C—3)2+(4-0『,解得c=l或5,

因為c<a=2,所以c=l,即橢圓的焦距為2c=2,故A正確；

對于B：由b=V7=7=亞萬=6,所以橢圓的短軸長為26，故B錯誤;

對于C：\PQ\+|PF|>\QF\>|EF|-\EQ\=^(1+3)2+(0-4)2-2=4x/2-2,故C錯誤；

對于D：若過點尸的直線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心(-3,4)到直線x=l的距離為4,不合乎

題意.

設(shè)過點尸的切線方程為丁=刈》-1),即區(qū)—y—A=0,

則卜3；［1=羋』=2,解得、二毋近,故D正確.

央+1W+i3

故選：AD.

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知直線(2加+l)x+(l-m)y-3(l+m)=0,與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點.當(dāng)△O4B的面

積取最小值時(。為坐標(biāo)原點)，則〃，的值為

【答案】~

【分析】

由題設(shè)可得A(警2,0),3(0,羋型)，進而寫出△Q4B的面積S關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用換元法并結(jié)合

2/n+l

分式及二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷面積取最小的>n值.

【詳解】

由題設(shè)得：4等?,0),8(0,半型)，

2m+1\-m

：.當(dāng)△Q4B的面積S」X3(1皿*3(1+1)=2X_(1曹)_―

22m+1\-m2—2m"+機+1

6=2*=9］

令l+w=,e(3，；),則:一萬］/^"2—］一5、2,9-

2Z-Z(----)n

???當(dāng)f=:即機=一；時，S取得最小值.

故答案為：

22

14.如圖，雙曲線C:￡-g=l(a>0力>0)的左，右焦點分別為入，工，過用作直線與C及其漸近線分

別交于。，尸兩點，且。為「鳥的中點.若等腰三角形「耳心的底邊PE的長等于C的半焦距.則C的離心

【分析】

根據(jù)△P/=；巴為等腰三角形且。為PK的中點，得再由IP工l=c,得到|Q瑪|=].進而由雙曲線的

定義得到1。6I,然后在放AKQG中利用勾股定理求解.

【詳解】

如圖所示：

連接。耳，由為等腰三.角形口。為「尸2的中點，得。耳，巴"

由|PF/=c知

由雙曲線的定義知I。耳l=2a+],

在初4月。鳥中，(2a+$2+(/2=(2c)2,

/.8a2+4ac-7c2=0,

：.8+4e-7e2=0,

解得e=2±2在,

7

故答案為：2+2后

7

15.已知/，是圓C:*2+y2+4x-2括y+8=0上一動點，P關(guān)于）'軸的對稱點為M,關(guān)于直線丫=、的對稱

點為N,則|MV|的取值范圍是.

【答案】［20,4夜］

【分析】

由已知得圓心為Cp,右），半徑廠=1,設(shè)P（x,y）,則〃（—x,y）,N（y,x）,有|MN|=&|OP|,又由

|oq_rw|oH4|oq+r,|oq=3可求得答案.

【詳解】

解：由題知：圓C:（x+2y+（y-石『=1,圓心為。卜2,方），半徑廠=1,

設(shè)P（x,〉，），則M（―X,y）,N（y,x）,所以=屏+?+（>?=夜.y］x2+y2=0\OP\，

而|OC|-r<\OP\<\OC\+r,\OC\^J（-2『+（石丫=3，所以2410pl44,20<|MW|<4夜，

所以|腦V|的取值范圍是［20,4夜］,

故答案為：［272,472］.

16.設(shè)尸是橢圓+上的任一點，E尸為圓N:Y+（y_2）2=l的任一條直徑，則萬.麗的最大值

為.

【答案】8

【分析】

由題設(shè)，M0,2）且E,F關(guān)于N對稱，設(shè)P（x。,%）,E（x,y）,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及在圓、橢圓

上得到麗?喬關(guān)于先的二次函數(shù)，結(jié)合橢圓的有界性求范圍即可.

【詳解】

則F(-x,4—y),

設(shè)尸（%,先）,則在二。一%,）?-%）,沖=(_xf,4_y_%),

.?.直.而=*-幺+4(y-%)-(V_府=%+丫：-4%-，+(y-2力+4

=X；+y-4%+3=-y；-4%+5=-(%+2)2+9,又為e[-1,1],

PE-PF的最大值為8.

故答案為：8

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：設(shè)點，利用圓的對稱性、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求麗.喬關(guān)于%的函數(shù)，再由橢圓的有界性

求范圍.

四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.已知AABC的重心G（l,l）,B,C在直線X—y—2=0上運動，且BC=3&

(1)求S’ABC；

(2)3點是否存在一個位置，使得AABC的面積被x軸平分，若存在求出B點坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】(1)9；(2)存在；8(-刁，-2).

【分析】

根據(jù)點到直線距離公式，直線方程知識即可求解.

(1)根據(jù)已知條件求得G到BC的距離，即可求得三角形8c邊上的高，從而求得三角形的面積，

(2)假設(shè)存在B滿足條件，設(shè)8(a,a-2),求得C,4的坐標(biāo)，求出A8的直線方程，AB與x軸的交點,

8c與x軸的交點，即可求解.

【詳解】

(1)根據(jù)重心定理知，G到直線x-y-2=0的距離為A到直線x-y-2=0的g,

2

G至U直線x-y-2=0的￡巨離為=正，所以三角形BC邊上的高為3拒,

故Lsc=gx30x3應(yīng)=9.

(2)假設(shè)存在B滿足條件,

設(shè)8（〃，。一2）（。一2v0）,C（3+〃,l+。），A（X,y）,a+3+a+x=3,x=-2a,。-2+I+a+y=3,y=4-2〃，

?4-2。一a+26—3。t2

KAB=----------------=-i—=1一，

-2a-a3aa

A8所在直線的方程為y-a+2=（l-1）（x-a）,令y=0,解得x=0,

直線A8與x軸的交點M（0.0）,

直線x-y-2=0與x軸的交點N（2,0）,

MN=2,

iio95

SgMN=-xA7/Vx（2-a）=-x2x（2-a）=2-a=-,a=2--=~-,

乙乙乙乙乙

所以這時4在x軸上方，滿足題意，

即存在3-|［前足條件.

18.已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=4.

(1)若直線/過點A(2,3)且被圓C截得的弦長為26，求直線/的方程;

(2)若直線/過點8(1。)與圓C相交于P,Q兩點,求ACPQ的面積的最大值.

【答案】(1)x=2或y=3：(2)ACP。的面積的最大值為2.

【分析】

(1)求出圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,4),半徑R=2,推出圓心C到直線/的距離d=l,①當(dāng)直線/的斜率不存

在時，直線/的方程：x=2,判斷是否滿足題意；②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程：＞-3=%(x-2),

利用點到直線的距離公式求解即可.

(2)設(shè)直線/方程：y=A:(x-l),利用點到直線的距離公式以及三角形面積公式，通過二次函數(shù)的最值求

解即可.

【詳解】

(1)圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,4),半徑R=2,

???直線/被圓C截得的弦長為26,

???圓心C到直線/的距離1=小22-(乎)2=1.

①當(dāng)直線/的斜率不存在時，

直線/的方程：x=2,顯然滿足d=l；

②當(dāng)直線/的斜率存在時，

設(shè)直線/的方程：y-3=k(x-2),^kx-y+3-2k=0,

Ijt-ll

由圓心C到直線/的距離d=l得：4=^==1,解得出=0,

Vl+fc

故直線/的方程：，=3；

綜上所述，直線/的方程為x=2或1=3.

(2)?.?直線與圓相交于尸、。兩點，

.?」的斜率一定存在且不為0，

設(shè)直線/方程；y=&(x—1),即匕一y—%=0,

則圓心C到直線/的距離為d=畢粵，

"1+二

又；KPQ的面積S=gx"x2”-/

=44-笛=J/（4-屋）=J_（42_2）2+4,

二當(dāng)1=夜時，S取最大值2,

此時〃=畢二1=&,得&=1或k=7.

y/1+k2

直線/方程為：x-y-1=0或7x-y-7=0.

19.已知直線/的方程為x-ay+a=0,/與雙曲線方程V-丁=1的左支交于A、5兩點，過弦A8的中點Q

與點P（-2,1）的直線交y軸于（0,3，求當(dāng)?變化時b的取值范圍.

【答案】（F-3-2旬U（3,+8）

【分析】

討論參數(shù)。=0、。力0,然后聯(lián)立雙曲線方程得到關(guān)于x的一元二次方程:

（1）討論方程中二次項系數(shù)為0的情況.

（2）與雙曲線的左支交于兩點，即要滿足方程在內(nèi)有兩個相異的實根.

（3）利用中點坐標(biāo)公式及P、。和（。力）三點共線的幾何條件，結(jié)合。的范圍求b的范圍.

【詳解】

當(dāng)4=0時，宜線/的方程為X=0,不合題意；

當(dāng)ar0時，直線/的方程為y='（x+a）.

a

由〃=［（"+"）,消去），得到（/_1尸-26-2/=0.①

/2-y2=1

由己知條件知，在（-8,-1］內(nèi)方程①有兩個相異的實根玉、X2,

。2一1/0

A=4a2-4（a2-l）（-2a2）>0

于是有――<0,解得

-2a2.

Ia-1

設(shè)。（毛，為），則根據(jù)方程①得到

a-1a"

b—|y-］

由點P、。及點（0,6）三點共線，得”-=?。ǎザ?）.

將％,先代入，解得：+1Y_17,4€(母」)，

??力的取值范圍是(F,-3-20)U(3收).

20.已知圓。：/+產(chǎn)=產(chǎn)什>0)過點A(O,2).

(1)求圓。的面積；

(2)直線/：""-3交y軸于B點，交圓。于P,。兩點，直線AP,4。分別交X軸于點M,N,記4AoM,

△43N的面積分別為邑，求證：S「邑為定值.

【答案】(1)4/；(2)證明見解析.

【分析】

(1)將點代入圓的方程求出「，然后又圓的面積公式求解即可；

(2)設(shè)M(4,0),^(^,0),「(乙,4),Q(x。,%),目.x戶0,々工°，聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立，得到

韋達定理，利用斜率的關(guān)系以及兩點間斜率公式，求出%，馬，然后由三角形的面積公式化簡求解，即可

證明結(jié)論.

【詳解】

(I)解：因為圓。過點A,則/=()2+22=4，

所以圓O的面積為S=7vr2=4%：

(2)證明:設(shè)M(x，0),N(%2，。)，2(%，%)，且工尸0,尤2工0，

由題意可知,5(0,-3),4(0,2),

聯(lián)立方程組［4，可得僅2+1)X?—6點+5=0,

所以A=(6幻2-4(1+公卜5>0,解得出

6k5

所以力+%=%(/+%)-6=鼻一6=總，

2

yPyQ=-3)(線-3)=kxpxQ-3k(xp+q)+9

衛(wèi)上』

l+k2\+k2\+k2

-lXp

X[二

%-2

所以，

-2XQ

X2=

yQ-2

則%aS△的=!恒加°孫；根即|可|

Ix2x^^x，x5x-2%

2|%一2|2為一2

lOxpxQ

力%-2（外+%）+4

lOx-^^

1+K

9一4公w

―5—2x----+4

]+k2l+22

50

~9-4k2+\2+4+4k2

所以Ea=2,

故S「S2為定值2.

21.如圖，設(shè)直線4：x=0,l2：3》-4），=0.點4的坐標(biāo)為（1，.過點A的直線/的斜率為上且

與4，4分別交于點M,MM，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)）.

（1）設(shè)4=1,求AMON面積的最小值；

（2）是否存在實數(shù)”，使得成可+加[的值與《無關(guān)？若存在，求出所有這樣的實數(shù)。；若不存在，說明

理由.

【答案】(I)(2)存在；a=2.

【分析】

(1)利用直線的點斜式方程直線/的方程，再利用兩條直線的交點坐標(biāo)得”(。，。一人)和N(看券，牛弁)

yITACJITKJJ

3

再結(jié)合題目條件得火＜一,當(dāng)。=1時，得直線OA的方程為x-y=o,

4

，4%-433

M(O,1-9和N左一、,以及|。4|=夜l，再利用點到直線的距離公式得點M和N到直線OA的距

yQK—D^rK—3)

離，從而得/XMON面積$=亞互，令/=3-4火，則f＞0,從而得S

3-4%

=g[+：+2),再利用基本不等式求最值，計算得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合兩點間的距離公式得|0河|=。-左和2M=若?，計算血+血=若胃，

由2-4＞0得結(jié)論.

【詳解】

(I)因為直線/過點A(l,〃)(“＞；),且斜率為左,

所以直線/的方程為y=%(x—1)+。.

因為直線/與4，，2分別交于點朋，N,所以左聲:，

x=0[x=0/、

因此由,z八得，，即用(0,a-Z,

y=k[x-\)^a[y=a-k'7

_4%-4。

13x-4y=04&_3(4lc-4a3k-3ay

11[v=jt(x-l)+tzf'7'3k-3a，'N[4k-3,4k-3)'

y~4k-3

又因為M,N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，

a-k>0

[a-k>0

所以《3k—3。八，即1,

------>0[4攵-3<0

4^-3

33

而。＞:，因此;女＜二?

44

又因為當(dāng)。=1時，直線04的方程為x-y=0,

火。，1T),陪冷，耘｝且儂=血,

所以點M到直線OA的距離為匕憶夜°，）

V22

必-43k-3

點N到直線0A的距離為4"3-4左-3=回-1|=6（1-卜）,

42~2\4k-3\~2（3-4k）

因此AAOV面積5=3夜［^^+^^卜

令，=3』,則。。且「丁,

所以S的最小值為3,即△MON面積的最小值為攝

（2）存在實數(shù)a=2,使得血+血的值與%無關(guān).

,”,*小,、/4fc-4a3k-3a}[a-k>0

由（1）知：M（0,a-kVx—-----------,且n〈，

、、）（4&-34&-3J[必-3<0

因止匕|QM|=a—左，阿=5仁外,

3—4k

…1113-必4（2-&）

'\OM\\ON\~a-k5（a-k）~5（a-k\

114

又因為2-左>0,所以當(dāng)a=2時，吩可+面|為定值g，

因此存在實數(shù)a=2,使得向+血的值與%無關(guān).

22.（1）試證在中心為O點的橢圓上任取兩點P、Q,使OPLOQ,則研+曲與尸、。點的選取無關(guān).

（2）在（1）的條件下求|PQ|的最小值；并求△PO。面積的最小值.

2ab〃2刃2

【答案】（1）證明見解析：（2）伊。|的最小值是；面積的最小值為坐虧.

y/a'+h2a2+b~

【分析】