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第10講拓展四:空間中距離問題(等體積法與向量法)一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01:用向量法求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點(diǎn),SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0,則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,由勾股定理得:SKIPIF1<02、點(diǎn)到平面的距離如圖,已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn),SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0,交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量,且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0二、題型精講題型01利用向量法求點(diǎn)到直線的距離【典例1】(2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)校考期中)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0,且l過點(diǎn)SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谀┮阎猄KIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【典例3】(2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知點(diǎn)SKIPIF1<0,若點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上,則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為___________.【變式1】(2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末)已知空間內(nèi)三點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是(
).A.SKIPIF1<0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【變式2】(2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中)已知空間中三點(diǎn)SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為__________.題型02點(diǎn)到平面的距離等體積法【典例1】(2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,直三棱柱SKIPIF1<0的體積為6,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.2 D.SKIPIF1<0【典例2】(2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí))如圖,在四棱錐SKIPIF1<0中,已知底面SKIPIF1<0是正方形,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點(diǎn).
(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,證明:SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(2)線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例3】(2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知空間幾何體SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形,SKIPIF1<0是腰長為2的等腰三角形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
(1)作出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線,并說明理由;(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例4】(2023春·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)校考期中)如圖,在四棱錐SKIPIF1<0中,已知棱SKIPIF1<0兩兩垂直且長度分別為1,1,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,證明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式1】(2023春·重慶·高一重慶一中??计谥校┤鐖D所示,在四棱錐SKIPIF1<0中,四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形,SKIPIF1<0.
(1)證明:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0:(2)若SKIPIF1<0,求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式2】(2023·上海·高三專題練習(xí))如圖,在正三棱柱SKIPIF1<0中,已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角正切值(2)求證:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,并求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式3】(2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模)在四棱錐SKIPIF1<0中,四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)證明:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式4】(2023·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,在長方體SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且E為SKIPIF1<0中點(diǎn).求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.題型03點(diǎn)到平面的距離的向量法【典例1】(2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末)如圖所示,在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).
(1)求證:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例2】(2023春·高二單元測試)如圖,四棱錐SKIPIF1<0中,底面SKIPIF1<0為矩形,側(cè)面SKIPIF1<0為正三角形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)(不與SKIPIF1<0重合),平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.
(1)求證:SKIPIF1<0;(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0,求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例3】(2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末)在正方體SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn),過SKIPIF1<0的平面截此正方體,得如圖所示的多面體,SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).
(1)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,試確定動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的位置,并說明理由;(2)若SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心,求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距離.【變式1】(2023春·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)校考期中)在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中,點(diǎn)P在棱SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值大?。?2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式2】(2023春·重慶·高三重慶一中??茧A段練習(xí))如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱,點(diǎn)SKIPIF1<0是半圓弧SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不重合),SKIPIF1<0為弧SKIPIF1<0的中點(diǎn),SKIPIF1<0.
(1)證明:SKIPIF1<0;(2)若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的平面角為SKIPIF1<0,求此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式3】(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測)在如圖所示的圓錐中,已知SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn),SKIPIF1<0為底面的圓心,其母線長為6,邊長為SKIPIF1<0的等邊SKIPIF1<0內(nèi)接于圓錐底面,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.
(1)證明:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn),射線SKIPIF1<0與底面圓周交于點(diǎn)SKIPIF1<0,當(dāng)二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0時(shí),求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.題型04點(diǎn)到平面的距離的探索性問題【典例1】(2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,三棱錐SKIPIF1<0的底面是以SKIPIF1<0為底邊的等腰直角三角形,且SKIPIF1<0,各側(cè)棱長均為3.(1)求證:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn),線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0?若存在,求出此時(shí)SKIPIF1<0的長;若不存在,說明理由.【典例2】(2023春·福建漳州·高二漳州三中??茧A段練習(xí))如圖,四棱
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