重難點(diǎn)04（雙）角平分線(xiàn)模型（解析版）

重難點(diǎn)04（雙）角平分線(xiàn)模型【知識(shí)梳理】（雙）角平分線(xiàn)模型1.雙內(nèi)角平分線(xiàn)2.雙外角平分線(xiàn)3.內(nèi)角平分線(xiàn)+外角平分線(xiàn)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.【考點(diǎn)剖析】題型1.雙內(nèi)角平分線(xiàn)例1.如圖，△ABC中，∠B和∠C的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，若∠A＝70°，則∠BOC＝度．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AO交于BC于點(diǎn)D，∵∠B和∠C的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．故答案為：125．例2．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件，求∠BPC的度數(shù)．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝°；（2）從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案為：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案為：90°+∠A．例3.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)I，根據(jù)下列條件求∠BIC的度數(shù)，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，則∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，則∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，則∠A＝；（5）通過(guò)以上計(jì)算，探索出您所發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠A與∠BIC之間的數(shù)量關(guān)系是．【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，則∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，則∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，則∠A＝；（5）請(qǐng)寫(xiě)出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系（不必寫(xiě)出理由）．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），（1）當(dāng)∠ABC＝40°、∠ACB＝50°時(shí)，∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．故答案是：135°；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．故答案是：122°；（3）在△ABC中，∠A＝76°，則∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．故答案是：128°；（4）若∠BOC＝120°，則∠OBC+∠OCB＝60°，∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．故填：60°；（5）設(shè)∠BOC＝α，∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，故∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．題型2.雙外角平分線(xiàn)例5.（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∠A＝40°求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖（2），△A′B′C′外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)．（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？這個(gè)結(jié)論你是怎樣得到的？【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，則∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因?yàn)椤螦的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的兩外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′，根據(jù)三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC與∠B′O′C′互補(bǔ)；證明：當(dāng)∠A＝n°時(shí)，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC與∠B′O′C′互補(bǔ)，∴當(dāng)∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′還具有互補(bǔ)的關(guān)系．例6.（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，△ABC的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線(xiàn)MN與線(xiàn)段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線(xiàn)MN與線(xiàn)段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70°（2）

（3）①見(jiàn)解析

②不成立；或【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案為：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②當(dāng)直線(xiàn)MN與線(xiàn)段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立．分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線(xiàn)段AB上，N在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如圖5，當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，N在線(xiàn)段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．題型3.內(nèi)角平分線(xiàn)+外角平分線(xiàn)例7．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分線(xiàn)與∠A2013CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2014，得∠A2014CD，則∠A2014＝．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此類(lèi)推可知∠A2014＝∠A＝°．故答案為：°．例8.（2021秋?利辛縣月考）（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：證明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共8小題）1．（2022春?振興區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為15，20，25，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OD＝OE＝OF，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，∵點(diǎn)O是△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB?OD）：（OE?BC）：（OF?AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積公式．2．（2022秋?黃岡期中）如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)，∠A＝50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°即可求出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?上杭縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°【分析】根據(jù)BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根據(jù)∠BFC＝125°，利用三角形內(nèi)角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，從而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理與角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)分別是9、12、15．其三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【分析】過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：OD＝OE＝OF，利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵△ABC的三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB?DO：BC?EO：AC?OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，三角形的面積，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)求得OD＝OE＝OF是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?冷水灘區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°第6題圖【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根據(jù)∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?新興縣期中）如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，若∠BOC＝140°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．90° C．100° D．140°【分析】先根據(jù)BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù)，進(jìn)而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．7．（2022?峨邊縣模擬）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)BD、CD交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)與平行這兩個(gè)條件可證明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長(zhǎng)為：14，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線(xiàn)與平行這兩個(gè)條件可證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?東光縣校級(jí)月考）如圖，D是△ABC的角平分線(xiàn)BD和CD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作△BCD的高，交BC于點(diǎn)E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，則∠DBE的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．20° D．25°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通過(guò)角平分線(xiàn)的定義得結(jié)論．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分別是∠CBA、∠BCA的平分線(xiàn)，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的定義，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”及角平分線(xiàn)的定義是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）9．（2021秋?岷縣期中）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)EF＝6，CF＝4時(shí)，BE的長(zhǎng)為2．【分析】利用平行和角平分線(xiàn)得到BE＝OE，OF＝CF，可得出結(jié)論EF＝BE+CF，由此即可求得BE的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO；∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE；同理可證CF＝OF，∴EF＝BE+CF，∵EF＝6，CF＝4，∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，∴BE＝OE＝2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?安陸市期中）如圖△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)相交于H，過(guò)點(diǎn)H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四個(gè)結(jié)論①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③點(diǎn)H到△ABC各點(diǎn)的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，△ABC一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為②③④．【分析】①先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；②根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④根據(jù)已知條件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①錯(cuò)誤；②∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H，∴點(diǎn)H是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)H到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④若B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定為等腰三角形，故④正確．故答案為：②③④；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，則△CDE的周長(zhǎng)為2．【分析】延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)N，根據(jù)ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)N∵OB是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE與△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD與△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，EF過(guò)點(diǎn)D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，則EF的長(zhǎng)為7．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)與平行兩個(gè)條件，可證出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，F(xiàn)D＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)與平行兩個(gè)條件，可以證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?長(zhǎng)興縣月考）如圖，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BOC＝122°．【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC與∠ACB的和，再利用角平分線(xiàn)的定義求出∠OBC與∠OCB的和，最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠O．【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝116°．∵OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°．∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O＝180°﹣58°＝122°．故答案為：122°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的定義及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”及角平分線(xiàn)的定義是解決本題的關(guān)鍵．14．（2021秋?天山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1得∠A1，∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分線(xiàn)與∠A2008CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2009，得∠A2009，則∠A2009＝．【分析】讀懂題意，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義找規(guī)律，按規(guī)律作答．利用外角的平分線(xiàn)表示∠ACA1，再根據(jù)角平分線(xiàn)和三角形內(nèi)角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此類(lèi)推，后一個(gè)是前一個(gè)的一半，而2的次數(shù)與腳碼相同．【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴∠A1＝∠A＝α．同理∠A2＝∠A1，…即每次作圖后，角度變?yōu)樵瓉?lái)的．故∠A2009＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．三．解答題（共8小題）15．（2021秋?呼和浩特期中）（1）如圖1，在△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出EF和BE、CF的數(shù)量關(guān)系EF＝BE+CF．（2）如圖2，若將（1）中的“BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB”改為“BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和平行線(xiàn)性質(zhì)推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；根據(jù)BE＝OE，CF＝OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和平行線(xiàn)性質(zhì)推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；根據(jù)BE＝OE，CF＝OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系．【解答】解：（1）EF＝BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE+CF．（2）EF＝BE﹣CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE﹣CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是推出BE＝OE，CF＝OF．16．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當(dāng)BE＝5，CF＝3，則EF＝8；（2）當(dāng)BE＞CF時(shí)，若CO是∠ACB的外角平分線(xiàn)，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義可證BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）與（1）同理可證．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案為：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，利用角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?瑤海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件，求∠BPC的度數(shù)．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝124°；（2）從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：∠BPC＝90°+∠A（用含∠A的式子表示），并說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分線(xiàn)定義得：∠PBC+∠PCB＝56°，從而得出∠BPC的度數(shù)；（2）與（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案為：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案為：90°+∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)的定義，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合，得出內(nèi)角平分線(xiàn)的夾角和外角平角線(xiàn)的夾角與第三個(gè)角的關(guān)系．18．（2021秋?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系：EF＝BE+CF．（2）如圖2，若△ABC中∠ABC的平分線(xiàn)BO與三角形外角平分線(xiàn)CO交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．則EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．【分析】（1）利用角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)證明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)證明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，F(xiàn)C＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案為：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合圖形找到角與邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?永春縣期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線(xiàn)AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)G（不與點(diǎn)C重合）．（1）如圖，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在線(xiàn)段DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)∠A＝α，求∠EGC的度數(shù)（答案可用含α的代數(shù)式表示）．?【分析】（1）由角平分線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得結(jié)果；（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．【解答】解：（1）EF∥BC，∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分線(xiàn)，EG是∠FED的平分線(xiàn)，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，（2）當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)DB上時(shí)，如圖，∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG＝（∠FED+∠ACB）＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠α＝90°+∠α．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．20．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說(shuō)明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線(xiàn)BO與三角形外角平分線(xiàn)CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．【分析】（1）利用角