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文檔簡介
第10講2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課程標準學習目標①掌握兩圓位置關(guān)系的判定的代數(shù)方法與幾何方法。②會應用兩圓的位置關(guān)系求與兩圓有關(guān)的幾何量問題。通過本節(jié)課的學習,會判斷兩圓的位置關(guān)系,會求與兩圓位置有關(guān)的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程,能求與兩圓位置關(guān)系相關(guān)的綜合問題.知識點01:圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交,有兩個公共點;(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切),有一個公共點;(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離),沒有公共點.圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定2.1幾何法設SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0,兩圓的圓心距為SKIPIF1<0.①當SKIPIF1<0時,兩圓相交;②當SKIPIF1<0時,兩圓外切;③當SKIPIF1<0時,兩圓外離;④當SKIPIF1<0時,兩圓內(nèi)切;⑤當SKIPIF1<0時,兩圓內(nèi)含.2.2代數(shù)法設SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0消去“SKIPIF1<0”得到關(guān)于“SKIPIF1<0”的一元二次方程SKIPIF1<0,求出其SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設設SKIPIF1<0相交②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設設SKIPIF1<0相切(內(nèi)切或外切)③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設設SKIPIF1<0相離(內(nèi)含或外離)【即學即練1】(2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習)圓O:SKIPIF1<0與圓C:SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(
)A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【詳解】圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心,半徑SKIPIF1<0的圓,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0改寫成標準方程為SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心,半徑SKIPIF1<0的圓,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=3,所以兩圓外切,故選:SKIPIF1<0.知識點02:圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點,這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0聯(lián)立作差得到:SKIPIF1<0即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出兩交點的坐標,利用兩點間的距離公式求其長.幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出弦長.【即學即練2】(2022秋·高二課時練習)已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0,求兩圓的公共弦所在的直線方程(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【詳解】將兩個圓的方程相減,得3x-4y+6=0.故選:D.知識點03:圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線,圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.(1)兩圓外離時,有2條外公切線和2條內(nèi)公切線,共4條;(2)兩圓外切時,有2條外公切線和1條內(nèi)公切線,共3條;(3)兩圓相交時,只有2條外公切線;(4)兩圓內(nèi)切時,只有1條外公切線;(5)兩圓內(nèi)含時,無公切線.2、公切線的方程核心技巧:利用圓心到切線的距離SKIPIF1<0求解【即學即練3】(2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線的條數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0,半徑為5;圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0,半徑為3,所以兩圓的圓心距為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以兩圓相交,所以兩圓的公切線有2條.故選:B.知識點04:圓系方程(1)以SKIPIF1<0為圓心的同心圓圓系方程:SKIPIF1<0;(2)與圓SKIPIF1<0同心圓的圓系方程為SKIPIF1<0;(3)過直線與圓SKIPIF1<0交點的圓系方程為SKIPIF1<04過兩圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0交點的圓系方程為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,此時圓系不含圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0)特別地,當SKIPIF1<0時,上述方程為一次方程.兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程.【即學即練4】(2022秋·高二單元測試)求過兩圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點,且圓心在直線SKIPIF1<0上的圓的方程.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設圓的方程為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以圓心坐標為SKIPIF1<0,把圓心坐標SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以所求圓的方程為SKIPIF1<0.題型01判斷圓與圓的位置關(guān)系【典例1】(2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習)圓O:SKIPIF1<0與圓C:SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(
)A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【詳解】圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心,半徑SKIPIF1<0的圓,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0改寫成標準方程為SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心,半徑SKIPIF1<0的圓,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=3,所以兩圓外切,故選:SKIPIF1<0.【典例2】(2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(
)A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【詳解】兩圓化為標準形式,可得SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0,可知半徑SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,故兩圓相交,故選:SKIPIF1<0.【典例3】(多選)(2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習)已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0,則下列結(jié)論正確的是(
)A.圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切B.直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切C.直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為2D.若SKIPIF1<0分別為圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上一點,則SKIPIF1<0的最大值為10【答案】ACD【詳解】圓SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0,圓心坐標為SKIPIF1<0,半徑為2,圓SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0,圓心坐標為SKIPIF1<0,半徑為3.因為兩個圓的圓心距為SKIPIF1<0,等于兩個圓半徑的和,所以兩個圓外切,SKIPIF1<0正確.圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0不相切,SKIPIF1<0錯誤.圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為SKIPIF1<0,C正確.若SKIPIF1<0分別為圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上一點,則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0正確.故選:ACD【變式1】(2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為(
).A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.外離【答案】B【詳解】由題意可得SKIPIF1<0,故兩圓的圓心分別為:SKIPIF1<0,設兩圓半徑分別為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0,故兩圓內(nèi)切.故選:B【變式2】(2023·全國·高三專題練習)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(
)A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離【答案】C【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是相交.故選:C.題型02求兩圓交點坐標【典例1】(2022·高二課前預習)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的交點坐標為(
)A.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以兩圓的交點坐標為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,故選:C【典例2】(2022秋·貴州遵義·高二遵義一中??茧A段練習)圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,則線段SKIPIF1<0的垂直平分線的方程是______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0,則圓心分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩圓相交于SKIPIF1<0兩點,則線段AB的垂直平分線即為直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0【變式1】(2023秋·青海西寧·高二??计谀﹫ASKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點坐標為______.【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0,兩式相減得SKIPIF1<0,將其代入SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,進而得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以交點坐標為SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【變式2】(2022·高二課時練習)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的交點坐標為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】聯(lián)立兩個圓的方程:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0方程帶入SKIPIF1<0,先得到SKIPIF1<0,在聯(lián)立SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,對應的SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,于是得到兩圓交點:SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.題型03由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【典例1】(2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0有公共點,則SKIPIF1<0的取值范圍為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故選:C【典例2】(2023秋·陜西西安·高二長安一中??计谀┮阎獌蓤ASKIPIF1<0和SKIPIF1<0恰有三條公切線,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,圓心SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;兩圓恰有三條公切線,即兩圓外切,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.當且僅當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時等號成立.故選:A【典例3】(2023·河北衡水·衡水市第二中學??既#┤魣ASKIPIF1<0和SKIPIF1<0有且僅有一條公切線,則SKIPIF1<0______;此公切線的方程為______【答案】1SKIPIF1<0【詳解】如圖,
由題意得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相內(nèi)切,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0所以切點的坐標為SKIPIF1<0,故所求公切線的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故答案為:1;SKIPIF1<0【變式1】(2023秋·高二課時練習)若兩圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0相交,則SKIPIF1<0的取值范圍是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交,SKIPIF1<0兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選:B【變式2】(2023秋·高一單元測試)已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切,則SKIPIF1<0的最小值為_______【答案】2【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩圓的圓心距SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩圓內(nèi)切,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.當且僅當SKIPIF1<0時,取得最小值,SKIPIF1<0的最小值為2.故答案為:2.題型04由圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程【典例1】(2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測)已知圓SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0的方程為__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示:過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0,以點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0為端點的線段的垂直平分線為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0,所以圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0【典例2】(2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測)已知圓SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的圓心都在坐標原點,半徑分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0.若圓SKIPIF1<0的圓心在SKIPIF1<0軸正半軸上,且與圓SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均內(nèi)切,則圓C的標準方程為_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解:依題意可知圓心SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,故圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【典例3】(2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習)已知圓SKIPIF1<0(1)若直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0,且與圓SKIPIF1<0相切,求直線SKIPIF1<0的方程;(2)若圓SKIPIF1<0的半徑為3,圓心在直線SKIPIF1<0上,且與圓SKIPIF1<0外切,求圓SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】(1)圓SKIPIF1<0化為標準方程為SKIPIF1<0,所以圓C的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0①若直線SKIPIF1<0的斜率不存在,即直線為SKIPIF1<0,符合題意.②若直線SKIPIF1<0的斜率存在,設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由題意知,圓心SKIPIF1<0到已知直線SKIPIF1<0的距離等于半徑2,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直線方程為SKIPIF1<0綜上,所求直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)依題意,設SKIPIF1<0又已知圓C的圓心為SKIPIF1<0,半徑為2,由兩圓外切,可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以所求圓D的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式1】(2023·全國·高三專題練習)經(jīng)過點SKIPIF1<0以及圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的圓的方程為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點坐標為SKIPIF1<0,設經(jīng)過點SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的圓的方程為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故經(jīng)過點SKIPIF1<0以及圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的圓的方程為SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0【變式2】(2023·高二課時練習)已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0,求過兩圓交點,且面積最小的圓的方程.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設兩圓交點為A、B,則以AB為直徑的圓就是所求的圓.聯(lián)立SKIPIF1<0,可得直線AB的方程為SKIPIF1<0.又圓M的圓心SKIPIF1<0,圓N的圓心SKIPIF1<0所以兩圓圓心連線的方程為SKIPIF1<0.解方程組SKIPIF1<0,可得圓心坐標為SKIPIF1<0.圓心SKIPIF1<0到直線AB的距離為SKIPIF1<0,圓M的半徑為SKIPIF1<0,弦AB的長為SKIPIF1<0,則所求圓的半徑為SKIPIF1<0,所以所求圓的方程為SKIPIF1<0.題型05相交圓的公共弦方程【典例1】(2023·河南·統(tǒng)考二模)若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦SKIPIF1<0的長為1,則直線SKIPIF1<0的方程為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【詳解】將兩圓方程相減可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,且公共弦SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,故選:D.【典例2】(2023春·安徽池州·高三池州市第一中學校考階段練習)已知SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點,過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0,切點為SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0最小時,直線SKIPIF1<0的方程為__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓的方程可化為SKIPIF1<0,則圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,可得點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0與圓相離,依圓的知識可知,四點SKIPIF1<0四點共圓,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,原題意等價于SKIPIF1<0取到最小值,當直線SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0最小.SKIPIF1<0的直線方程為:SKIPIF1<0,與SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0,所以以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,兩圓的方程相減可得:SKIPIF1<0,即直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【變式1】(2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心,則兩圓相交弦的方程為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0的圓心,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,兩圓的方程相減可得相交弦方程為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【變式2】(2023·天津和平·耀華中學??级#﹫ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在的直線方程為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】聯(lián)立SKIPIF1<0,兩式相減得SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0題型06兩圓的公共弦長【典例1】(2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,若兩圓相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,則SKIPIF1<0______【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0①,又圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0②,②-①可得兩圓公共弦所在的直線方程為SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0到直線的距離SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【典例2】(2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末)已知兩圓SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)SKIPIF1<0取何值時兩圓外切?(2)當SKIPIF1<0時,求兩圓的公共弦所在直線SKIPIF1<0的方程和公共弦的長.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)兩圓的公共弦所在直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,兩圓的公共弦的長為SKIPIF1<0【詳解】(1)因為圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0,所以兩圓的圓心分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,半徑分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.當兩圓外切時,圓心距為半徑之和,則SKIPIF1<0,結(jié)合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;(2)當SKIPIF1<0時,圓SKIPIF1<0的一般方程為SKIPIF1<0兩圓一般方程相減得:SKIPIF1<0,所以兩圓的公共弦所在直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故兩圓的公共弦的長為SKIPIF1<0.【變式1】(2023春·福建廈門·高二廈門一中??茧A段練習)已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有兩個公共點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則實數(shù)SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【詳解】對于圓SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0,圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,因為兩圓有兩個公共點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,將兩圓方程作差可得SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0過圓心SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0.因此,SKIPIF1<0.故選:C.【變式2】(2023·浙江·高三專題練習)已知圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0若兩圓相交,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又兩圓相交弦SKIPIF1<0所在直線方程為:SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,則弦長SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.題型07圓的公切線條數(shù)【典例1】(2023·全國·高三專題練習)圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0公切線的條數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【詳解】根據(jù)題意,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,其圓心為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,其圓心為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,兩圓的圓心距SKIPIF1<0,所以兩圓相外切,其公切線條數(shù)有3條.故選:C.【典例2】(2023·山西·校聯(lián)考模擬預測)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的公切線共有(
)A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為a,所以圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0.圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0,圓心坐標為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,圓心距SKIPIF1<0,所以兩圓相內(nèi)切.所以兩圓的公切線只有1條.故選:B.【典例3】(2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末)若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公共的切線,則SKIPIF1<0的取值范圍為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公共的切線,所以這兩個圓相交,于是有SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,所以m的取值范圍為SKIPIF1<0,故選:A【典例4】(2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學??奸_學考試)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與SKIPIF1<0:SKIPIF1<0恰好有4條公切線,則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與SKIPIF1<0:SKIPIF1<0恰好有4條公切線,所以圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0外離,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選:D.【變式1】(2023·全國·高三專題練習)若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有且僅有3條公切線,則SKIPIF1<0=(
)A.14 B.28 C.9 D.SKIPIF1<0【答案】A【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有且僅有3條公切線,所以兩圓外切,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故選:A.【變式2】(2023秋·上海楊浦·高二復旦附中??计谀﹥蓚€圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與SKIPIF1<0:SKIPIF1<0恰有三條公切線,則SKIPIF1<0的最大值為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.6 D.-6【答案】A【詳解】由已知可得,圓SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0,圓心為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;圓SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0,圓心為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0.因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有三條公切線,所以兩圓外切.所以有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,當且僅當SKIPIF1<0時,等號成立,所以SKIPIF1<0.故選:A.【變式3】(2023·全國·模擬預測)已知圓SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0,則同時與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0相切的直線有(
)A.4條 B.3條 C.2條 D.0條【答案】B【詳解】由圓SKIPIF1<0,則圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;由圓SKIPIF1<0,整理可得SKIPIF1<0,則圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;由SKIPIF1<0,則兩圓外切,同時與兩圓相切的直線有3條.故選:B.【變式4】(2023春·青海西寧·高二校考開學考試)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線條數(shù)為(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【詳解】由圓SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0,可得圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0;由圓SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0,可得圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0.所以,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以兩圓相交,公切線條數(shù)為2.故選:C.題型08圓的公切線方程【典例1】(多選)(2023·高二課時練習)已知圓SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0,則下列是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩圓公切線的直線方程為(
)A.y=0 B.3x-4y=0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】圓M的圓心為M(2,1),半徑SKIPIF1<0.圓N的圓心為N(-2,-1),半徑SKIPIF1<0.圓心距SKIPIF1<0,兩圓相離,故有四條公切線.又兩圓關(guān)于原點O對稱,則有兩條切線過原點O,設切線方程為y=kx,則圓心到直線的距離SKIPIF1<0,解得k=0或SKIPIF1<0,對應方程分別為y=0,4x-3y=0.另兩條切線與直線MN平行,而SKIPIF1<0,設切線方程為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,切線方程為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選:ACD.【典例2】(2023·全國·高三專題練習)已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公切線,則滿足題意的一個SKIPIF1<0的取值為____;此時公切線的方程為__________.【答案】5(答案不唯一)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(答案與前空的答案有關(guān)聯(lián))【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為5.因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公切線,所以圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交.即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以可取SKIPIF1<0(答案不唯一.滿SKIPIF1<0即可).此時SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為5,SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為5,所以可設公切線的方程為SKIPIF1<0,且與兩圓圓心所在的直線平行,解得SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0是公切線,所以圓心到直線距離等于半徑,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.所以當SKIPIF1<0時,公切線的方程為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故答案為:5;SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例3】(2023·全國·高三專題練習)寫出與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(三條中任寫一條即可)【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0;圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0;SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,所以兩圓外切.過SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0.由圖可知,直線SKIPIF1<0是兩圓的公切線,由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,設兩圓的一條公切線方程為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以兩圓的一條公切線方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0兩式相減并化簡得SKIPIF1<0,所以兩圓的公切線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(三條中任寫一條即可)【變式1】(2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末)已知圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0相內(nèi)切,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公切線方程為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【詳解】圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0,圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則其圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0
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