2022屆高考物理總復(fù)習(xí)高中物理解題技巧：數(shù)學(xué)法

數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用

物理要?jiǎng)?chuàng)新，不僅僅光靠物理實(shí)驗(yàn)，還要有數(shù)學(xué)做為理論基礎(chǔ)。

象著名的物理學(xué)家一一牛頓，誰都可能看到蘋果落地，也可想到引力

作用，你推導(dǎo)不出規(guī)律，而他可以推導(dǎo).出萬有引力定律，正因?yàn)樗?/p>

深厚的數(shù)學(xué)功底，并且會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題，而一般人沒有。象

著名的物理學(xué)家一一愛因斯坦，由于他有高深莫測(cè)數(shù)學(xué)理論，導(dǎo)出了

質(zhì)能能方程，提出了相對(duì)論。他們既是物理學(xué)家，又是數(shù)學(xué)家。

然而，一在我們教的學(xué)生中，有很多這樣學(xué)生，數(shù)學(xué)很好，物理

很差，反之，物理很好，數(shù)學(xué)很差。如何做到兩者并進(jìn)呢？就必須有

這樣一本指導(dǎo)性的書，讓他們學(xué)好數(shù)學(xué)，用好物理，因此，今天，我

將自己的《數(shù)學(xué)與物理》一書，提供給大家，希望喜歡。

目錄

第一章、幾何與矢量

一、平面幾何與矢量

二、解析幾何與物理

三、立體幾何在物理中的應(yīng)用

第二章、方程與物理

一、方程與物理

二、判別式的應(yīng)用

第三章、函數(shù)的應(yīng)用

一、函數(shù)圖像的應(yīng)用

二、性質(zhì)的應(yīng)用

第四章、三角與物理

第五章、數(shù)列與物理

第一章、幾何與物理

一、三角形與矢量

矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而實(shí)用。

在矢量的合成和分解中，我們應(yīng)用平行四邊形定則進(jìn)行運(yùn)算，其實(shí)在

運(yùn)算過程中，主要是運(yùn)用三角形性質(zhì)，解決問題。那么，三角形在矢

量中，除了直角三角形（其他資料上，講的比較多，不再講）外，其

他任意三角形，有哪些應(yīng)用？

兩個(gè)三角形相似比的應(yīng)用

例1如圖所示，繩與桿均不計(jì)重力，所承受彈力的最大值一定，A點(diǎn)

正上方（滑輪大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物Po現(xiàn)施拉力T

將B端緩慢上拉（繩、桿均未斷），在桿達(dá)到豎直前，下列說法中正

確的是

A、繩子越來越容易斷B、繩子越來越不容易斷C、桿越

來越容易斷.D、桿越來越不容易斷

分析：OB繩子的拉、物體的重力、AB桿的彈力共點(diǎn)在B點(diǎn)，設(shè)OB=S

（變?。?，AO=H（定量），AB=L（定量）?；喆笮〔挥?jì)，對(duì)B點(diǎn)

受力分析，如圖可知△ABOS^PCB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，貝IJ

T/G=S/H即T=SG/H變小

N/G=L/H即N=LG/H=恒量

可得：B答案正確。

余弦定理的應(yīng)用

例2、物體受到夾角為120°的兩個(gè)共點(diǎn)力作用，它們的大小分別為

ION、20N,則物體合力的大小為多少?

分析：根據(jù)平行四邊形定則，合外力平分的兩個(gè)三角形，不可能是直

角三角形，只能運(yùn)用余弦定理求解，這兩個(gè)三角形中，其中的一個(gè)角

為180°-120°=60°,則有

F=7^7^^-^FKcos60°=^102+202-2x10x20x|=10V3N

余弦定理的應(yīng)用，在二十世紀(jì)80年代，使用的甲種本課本有詳

細(xì)論述。

正弦定理的應(yīng)用

例3、如圖，用兩條繩子拉質(zhì)量為G的物體，平衡時(shí)，兩條繩子跟豎

直方向的夾角分別為4、%,求兩條繩子的拉力？

分析：如圖，根據(jù)平衡條件，由4ABD得

T2_G

sin。］sin(S1+02)

即T,=Gsin優(yōu)

~sin(^+^2)

7；二G

sin%sinG+a)

sin(q+%)

三角形在物理中，還有其他的應(yīng)用。不再做一一分析。

二、解析幾何與物理

解析幾何在中學(xué)階段，在物理中的應(yīng)用，很少看到。它究竟有沒

有功用，如何去開發(fā)？根據(jù)本人的理解如下。

確定物體運(yùn)動(dòng)的軌跡

物體運(yùn)動(dòng)軌道，一般都是由物理現(xiàn)象，物理實(shí)驗(yàn)觀察出來，很少

通過理論進(jìn)行推導(dǎo)，例如平拋運(yùn)動(dòng)，我們完全可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得

出平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線。

推導(dǎo)：

在水平方向上有

x=vor(1)

在豎直方向上有

(1)、⑵兩式，顯然是關(guān)于時(shí)間的參數(shù)方程，把時(shí)間化去得

丁=與/從這個(gè)方程中，看到它的軌跡，是一條拋物線。通

過觀察和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，更加加深我們對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的理解。

例1、質(zhì)量數(shù)為m、質(zhì)子數(shù)為q的原子核，在垂直于勻弓金磁場(chǎng)方向的

平面上，由靜止發(fā)生a衰變，變?yōu)樾潞说倪\(yùn)動(dòng)軌跡為/+/=/,求。

粒子運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡？

分析：設(shè)新核的質(zhì)量數(shù)為g，a粒子的質(zhì)量數(shù)為外，根據(jù)動(dòng)量守恒

定律得犯匕⑴

由牛頓第二定律得

對(duì)新核有

2

即也(2)

rr

對(duì)a粒子有

2

2&匕=如工即2&=鷲2(3)

RR

由電荷守恒得

q、=q-2e(4)

由（1）、（2）、（3）、（4）聯(lián)立解得

R=k"r

2e

由左手定則，可知a粒子與新核的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)外切圓，圓心之間的

距離為d=r+R=r+—~—r--r

2e2e

可見，a粒子運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡為

，+y2=（幺「）2

2e

已知軌跡方程求物理量

例2、一帶電粒子，在垂直于磁場(chǎng)方向的平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為

（x-3）2+（y-4）2=4,兩坐標(biāo)軸都以m為單位,粒子運(yùn)動(dòng)的速率為2m/s,

在某時(shí)刻，突然撒去磁場(chǎng)，粒子恰好經(jīng)過原點(diǎn)，求從撒去磁場(chǎng)到粒子

達(dá)到原點(diǎn)的時(shí)間為多少？

分析：撒去磁場(chǎng)時(shí),粒子以2m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開時(shí)，必于原

來的圓軌道相切，圓心、原點(diǎn)、切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，圓心與原

點(diǎn)的距離為d=序不=5加圓的半徑為r=2相根據(jù)勾股定理

得原點(diǎn)與切點(diǎn)的距離為s=7F才=技機(jī)從撒去磁場(chǎng)到粒子達(dá)到原

點(diǎn)的時(shí)間為"￡無論粒子沿軌道順時(shí)針（或逆時(shí)針）運(yùn)動(dòng),

v2

結(jié)果一樣。

三、立體幾何在物理中的應(yīng)用

立體幾何在物理中的應(yīng)用，主要是將立體幾何在數(shù)學(xué)中證明與計(jì)

算的空間思維能力，潛移默化到物理中來，也就是在解決問題時(shí)，將

三維空間轉(zhuǎn)化為二維空間，簡(jiǎn)化解決問題的方法。

例1、如圖，A、B兩質(zhì)點(diǎn)以相同的水平速度%拋出，A在豎直

平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為Pi，B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為外，不計(jì)

阻力，比較小、P2在軸x方向上的遠(yuǎn)近關(guān)系是

A、P1較遠(yuǎn)B、P?較遠(yuǎn)C、0、

P2等遠(yuǎn)D、A、B都可能

分析：A在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，說明A做平拋運(yùn)動(dòng)，則得

水平位移為…。秒

B在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)傾斜角為6,得

沿斜面向下的加速度為a=gsin6

B在斜面做類似平拋運(yùn)動(dòng)，在沿斜面向下的方向有

可知P2較遠(yuǎn)應(yīng)選B

本題主要是將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，也就是數(shù)學(xué)，常用的一

種思路。

例2、如圖，一直角斜槽（兩槽面間夾角為90。，兩槽面跟豎直

面的夾角均為45°）對(duì)水平面的傾角為6,一個(gè)橫截面為正方形的物

塊恰能沿此斜槽勻速下滑，假定兩槽面的材料和槽面的情況相同，求

物塊和槽面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)UO

分析：本是立體問題，將它轉(zhuǎn)化為平.面求解，如圖（1）,正方

形的物塊與直角斜槽。兩個(gè)面接觸，有兩個(gè)大小相等的彈力N,由力

的合成得出它們?yōu)?方向垂直斜槽底邊向上，如圖（2）在垂直

斜槽底邊的方向上有

-jlN=mgcos6（1）

在平行斜槽底邊的方向上有

2Nu=mgsin。⑵

(1)

由⑴、⑵解得〃身。

第二章、方程與物理

一、方程與物理

方程，在物理中，不僅在推理物理規(guī)律方面，起著關(guān)鍵性作用,

而且在解決物理問題方面，更是必不可缺的資源。

在數(shù)學(xué)中，方程的種類眾多，而在我們中學(xué)階段，應(yīng)用方程解決

物理問題，主要是多元一次方程組，一元二次方程等等。

在解決問題時(shí)，一般都是由物理?xiàng)l件和物理規(guī)律，先建立方程，

后根據(jù)方程求解，得出需求量。

例1、某同學(xué)在斜向上運(yùn)動(dòng)的電梯上，以相對(duì)電梯不變的速度，從二

樓走到一樓，數(shù)得電梯階級(jí)60,從一樓走到二樓，數(shù)得電梯階級(jí)20,

求從一樓到二樓電梯的級(jí)數(shù)。

分析：由于只知上去和下來電梯的級(jí)數(shù)，電梯速度、人相對(duì)地速度、

人相對(duì)電梯速度都不知，要得所求，先建立上去一個(gè)方程，下來一個(gè)

方程，還不夠，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成的等時(shí)性，最后可求。

解:設(shè)從一樓到二樓電梯的級(jí)數(shù)為N,上去時(shí)?，電梯運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)為W,

下來時(shí)，電梯運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)為，可得

上去時(shí)有20+M'=N(1)

下來時(shí)有60-M"=N(2)

根據(jù)等時(shí)性得/M/z=20/60=1/3(3)

聯(lián)立上面方程組解得：N=30

本題還有其他解。

例2、將物體以初速度20m/s,豎直上拋，求物體經(jīng)過離拋出點(diǎn)10m

高處，所用時(shí)間是多少？(g=10m/s2)

分析：因?yàn)槲矬w上升的最大高度為后江=用==20m，所以物體經(jīng)過

2g2x10

10m高處有兩個(gè)解，物體運(yùn)動(dòng)過程是勻減速運(yùn)動(dòng)，利用勻減速運(yùn)動(dòng)規(guī)

律，列一個(gè)一元二次方程，即可求。

解：設(shè)物理經(jīng)過10m高處，一所用時(shí)間為t,得

2

H=v0z-1^即

一―41+2=0

解得：r,=2-72弓=2+/

當(dāng)然，還有其他解法。

關(guān)于運(yùn)用方程解決物理問題，舉不勝舉，就講這么多。

二、判別式的應(yīng)用

一元二次方程有沒有解，是通過判別式來判定，當(dāng)△〉()時(shí)，有

兩個(gè)解；當(dāng)△=()時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)△〈()時(shí)，沒有解。

兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)中相遇的問題，是否能通過判別式來判定呢？下面

即這個(gè)問題進(jìn)行討論。

例1、有一直軌道很長，可以通過兩個(gè)物體A、B不發(fā)生相碰，B在

A前方100m處，A以20m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)B也

以2m/s2的加速度從靜止開始做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，則A、B

物體是否相遇，若相遇，有多少次？

思路：由于同時(shí)出發(fā)，若相遇，所用時(shí)間相同，設(shè)時(shí)間，根據(jù)位移的

關(guān)系建立一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次方程。直接解方程，或利用判別式求解。

解：設(shè)A、B兩物體從出發(fā)到相遇的時(shí)間為t,則

A經(jīng)過的位移為

SA=vt=20t

B經(jīng)過的位移為

S^-at2=t2

B2

依題意得

=SB+100即

/2-20t+100=0（這就是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次方程）

根據(jù)判別式△=（-20）2—4X100X1=0

可知A、B相遇，且只有一次。

若本題變?yōu)椋河幸恢避壍篱L為150m,可以通過兩個(gè)物體A、B

不發(fā)生相碰，B在A前方100m處，A以20m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),

同時(shí)B也以2m/s2的加速度從靜止開始做勻加速度直線運(yùn)動(dòng)，A、B

物體是否在直軌道內(nèi)相遇？

分析:假設(shè)它們相遇，仍得到/2-20t+100=0若用判別式判斷，顯然

是錯(cuò)的，用求根法判斷，可得到它們不能在直軌道內(nèi)相遇。

這兩題告訴我們，使用判別式時(shí)，要注意物理?xiàng)l件，在條件允許

的情況下，可用，不能亂套數(shù)學(xué)公式。

例2、在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B,質(zhì)量分

別為m和2m,當(dāng)兩球心的距離大于L（L比r大得多）時(shí)，兩球之

間無相互作用力，當(dāng)兩球心間的距離等于或小于L時(shí)，兩球之間存在

相互作用的恒定斥力F,設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度V。沿兩球心連

線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng)，欲使兩球不發(fā)生接觸，V。必須滿足什么

條件？

思路：當(dāng)A進(jìn)入兩球心間的距離等于L時(shí)，B開始做初初速度為零

的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)A也開始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)它們經(jīng)

過t時(shí)間發(fā)生接觸，建立一個(gè)二次方程式，再運(yùn)用判別式求解。

解：設(shè)A進(jìn)入兩球心間的距離等于L時(shí)，到兩球恰好接觸，所用時(shí)

間為t

根據(jù)牛頓第二定律A球加速度為

F

QA=一

m

B球加速度為

F

aB=丁

2m

A球運(yùn)動(dòng)的位移為

F2

五廣V-----------SA---------32r

B球運(yùn)動(dòng)的位移為④國0（J）

2

s=-Zx----LSB

BAm

如圖得

sA+2r=SB+L

2

艮|J^-t—v0^+L-2r=0

4m

由于兩球不接觸，上式?jīng)]有

解，則

3F

△=(-v)2-4x—(L-2r)<0得

04m

3尸(L—2r)

%

m

小結(jié)1、運(yùn)用判別式解決物理問題時(shí)，先要建立一個(gè)關(guān)于某物理

量的二次方程，再求解；2、使用時(shí)要注意物理?xiàng)l件，在條件允許的

情況下，可用，不能亂套數(shù)學(xué)公式。

第三章、函數(shù)的應(yīng)用［

一、函數(shù)圖像的應(yīng)用

物理規(guī)律，大都是運(yùn)用函數(shù)圖像，定性、定量進(jìn)行研究，最后得

出物理規(guī)律。

函數(shù)圖像，在物理中，可以說是遍地開花。它通過數(shù)形結(jié)合，直

觀、形象地反映物理過程。加深人們對(duì)物理規(guī)律的理解，下面談?wù)労?/p>

數(shù)圖像的應(yīng)用。

分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出物理規(guī)律

在物理實(shí)驗(yàn)中，先采取了控制變量法，測(cè)出兩個(gè)物理量的數(shù)據(jù)，

然后，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：一種是計(jì)算法，另一種是圖像法。而后一種更

被人們認(rèn)可，因?yàn)橛行?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，無法通過計(jì)算，得到兩個(gè)量之間的

關(guān)系。只有圖像法，以兩個(gè)量分別為兩條坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)，描

點(diǎn)畫出圖像，就可以通過圖像，定性或定量分析它們之間的關(guān)系，得

出規(guī)律。所以函數(shù)圖像，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，起決定作用。

運(yùn)用函數(shù)圖像解決物理問題

函數(shù)圖像，不光是在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，起決定作用，而且在解決

物理問題中，化難為易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，起到事半功倍的作用。

例1、做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在某一段時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過中點(diǎn)時(shí)

刻的速度跟經(jīng)過中點(diǎn)位置的速度，比較誰大。

分析：假如先設(shè)初、未速度，再根據(jù)經(jīng)過中點(diǎn)時(shí)刻的速度％與經(jīng)過中

點(diǎn)位置的速度叱分別跟初、未速度的關(guān)系，列方程，然后，運(yùn)用不等

式求解，要大費(fèi)周折，才能解決。如果做出速度與時(shí)間的圖像，一看

就知道。如下圖兩種情況，顯然是中點(diǎn)時(shí)刻的速度小于中點(diǎn)位置的速

度。

v.l

小結(jié)：先根據(jù)物理規(guī)律，做出函數(shù)圖像，再根據(jù)圖像性質(zhì)，判斷

兩個(gè)物理量之間的關(guān)系，或求出某個(gè)物理量。

運(yùn)用物理規(guī)律判斷函數(shù)圖像

例3、矩形導(dǎo)線框abed固定在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感線的方向與導(dǎo)線框

所在平面垂直，規(guī)定磁場(chǎng)的正方向垂直低面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度3隨時(shí)

間變化的規(guī)律如圖所示.若規(guī)定順時(shí)針方向?yàn)楦袘?yīng)電流I的正方向，下

列各圖中正確的是

分析：0—1S。磁感應(yīng)強(qiáng)度變化為8=6/

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有

附S\BSBQ

匕===------=3綜

△tNt\t

，=牛（恒量）平行于t軸，A錯(cuò)。

電磁通量增大，感應(yīng)電流電場(chǎng)與原磁場(chǎng)相反。

根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向，應(yīng)在i軸負(fù)方向。C錯(cuò)。

1—3s同理得感應(yīng)電流大小為：

，=學(xué)（恒量）平行于t軸

R

1—2s時(shí)，磁通量減小，感應(yīng)電流磁場(chǎng)方向跟原磁場(chǎng)方向相同。

根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為順時(shí)針方向。

2—3s時(shí)、磁場(chǎng)方向改變指低外，磁通量增大，感應(yīng)電流磁場(chǎng)方向距

原磁場(chǎng)方向相反。

根據(jù)安培定則，感應(yīng)電流為順時(shí)針方向。B錯(cuò)，D對(duì)。

正確答案為D。

小結(jié)：本類型題，主要是由物理規(guī)律，建立函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)物理?xiàng)l

件，確定函數(shù)定義域和值域，以及方向性，再確定圖像的正確性。

在運(yùn)用函數(shù)圖像時(shí)，必須根據(jù)物理?xiàng)l件、物理規(guī)律，確定函數(shù)定

義域和值域，以及方向性，把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為物理，才能得到內(nèi)化，達(dá)到

新的高度。

二、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

定義域、值域、增減性、最大值、最小值、周期性等等，這些函

數(shù)性質(zhì)，如果在物理中運(yùn)用適當(dāng)，真是如魚得水，妙處無窮。

可見正確地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于哪些物理問題、應(yīng)該運(yùn)用哪些對(duì)應(yīng)的函

數(shù)性質(zhì)解決，既可以使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，又能提高學(xué)生應(yīng)

用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力。

一、運(yùn)用定義域，值域求物理問題的取值范圍

[例1]（88年高考題）初速度為零的離子經(jīng)過電勢(shì)差為U的電

場(chǎng)加速后，從離子槍T中水平射出，經(jīng)過一段路程后進(jìn)入水平放置的

兩平行金屬板MN和PQ之間。離子所經(jīng)空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖1）,不考慮重力作用。

離子的荷質(zhì)比"（q、m分別是離子的電M-------

mT乂xxxxxx

Jvd/2

量與質(zhì)量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打「XXXXYXX]

在金屬板上?

分析：離子通過電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)力作用下，做勻速

圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，假設(shè)離子從進(jìn)入磁場(chǎng)到打在金屬板上某一點(diǎn)的水

平距離為x,只要建立一個(gè)q/m跟x的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)題意確定x

是?定義域，再根據(jù)定義域值域，顯然，q/m得解。

解：當(dāng)離子經(jīng)過電場(chǎng)加速后有

mv2/2=qU(1)

在磁場(chǎng)中受到洛侖茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得

Bvq=k(2)

當(dāng)離子打在金屬板上時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有：

/?2=/+,_五(3)

聯(lián)立(1)、(2)、(3)解得

(4)

導(dǎo)rik2

(4)式就是q/m跟x的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。依題意離子能打在金屬板

上，則x的定義域?yàn)?/p>

dWxW2d(5)

由(4)、(5)解得的值域?yàn)?/p>

32Uq32U

--------------

289dB2~m~25dB?

小結(jié)：已知一個(gè)物理量的取值范圍，確定另一個(gè)物理量的取值范

圍，可利用函數(shù)的定義域，值域求解。

二、運(yùn)用增減性求物理問題的變量

【例2】（93年高考題）如圖2,電子在電

勢(shì)差q的加速電場(chǎng)中由靜止開始運(yùn)動(dòng)，然后

射入電勢(shì)差力的兩塊平行極板間的電場(chǎng)中，

入射方向跟極板平行，整個(gè)裝置處在真空中，

重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條

件下，下述四種情況中，一定能使電子的偏轉(zhuǎn)角。變大的是（）

A、5變大，上變大；

B、〃變小，力變大;

C、q變大，力變??；

D、兄變小，力變小。

分析：當(dāng)電子加速后，進(jìn)入水平放置的兩塊平行極板間受到.電場(chǎng)

力作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)，只要建立一個(gè)。跟■、力的函數(shù)表達(dá)式，通過討

論函數(shù)的增減性，就可知道。變大原因。

解：設(shè)兩平行極板之間的距離為d,長度為L,電子在■電場(chǎng)中加

速后速度為

即v0=m

電子從進(jìn)入到射出平行極板所用時(shí)間為

t=L/=L^m/2U2e

加速度為“，由

U2。曰U2e

--e=ma——

d9md

剛射出平行極板時(shí)，跟電場(chǎng)方向平行的速度大小為

匕=at=川膽Jm/2U、e

md

偏轉(zhuǎn)角度為0，有

V.LU2日nLU2

tge=—=F=，On^arctg—^-

v02U}a2U】d

這是一個(gè)e,跟S、力的函數(shù)表達(dá)式。

討論：根據(jù)物理?xiàng)l件0°W8W90°,

當(dāng)以不變時(shí)，上式為增函數(shù)，故力30t；

當(dāng)見不變時(shí)，上式是減函數(shù)，則G；,eto

顯然B為正確答案。

小結(jié)：已知某一個(gè)（或n個(gè)）物理量的變化，討論另一個(gè)物理量

的變化，可以運(yùn)用函數(shù)的增減性求解。

三、運(yùn)用最大值、最小值求物理問題的極值

【例31如圖3所示，光滑斜面y

與水平面夾角是a。在斜面上放一個(gè)\A

質(zhì)量為m圓球，再用光滑平板A擋-------

住?，F(xiàn)在緩慢地改變板A與斜面的夾—

mgN2

角。，當(dāng)o=一時(shí)，A板對(duì)球的作用力圖3

最小，最小力為

分析：如圖3可知圓球受到三個(gè)力作用，重力mg,斜面對(duì)它的

支持力Nj擋板對(duì)它的壓力N2。以豎直方向?yàn)榭v坐標(biāo)軸，水平方向

為橫坐標(biāo)軸，原點(diǎn)在球心，建立直角坐標(biāo)系。分別將電分解在

x軸、y軸上，根據(jù)平衡條件，確定N?跟。的函數(shù)表達(dá)式，球函數(shù)的

極值問題，就得其解。

解：如圖3知

在X軸上N]sine=N?sin(a+9)(1)

在y軸上N]cosa=mg+N2cos(a+6)(2)

由⑴、(2)得

N_mg_mgsinor

2c，gasin(a+e)-cos(a+6)sing

由于為mgsina恒量，這是一個(gè)N?跟。的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)物理

條件e<0<180°,當(dāng)0=90°時(shí)，sin0=1最大值，故N2有最小值

N2=mgsina。

本題答案應(yīng)為0=90°；N2=mgsina0

小結(jié)：已知某一物理量的變化，引起另一個(gè)物理量取最大或最小

值問題，可以運(yùn)用函數(shù)最大值、最小值求解。

四、運(yùn)用周期性求物理問題的重復(fù)運(yùn)動(dòng)

【例4】如圖4所示，兩根長度都為L的細(xì)線懸掛一小球A,繩

與水平方向夾角為a,使A球垂直于紙面作

擺角小于5°的擺動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過平衡位置瞬

間，有另一小球B,從A球的正上方自由落

下，并擊中A球，則B球距A球的距離是圖4

分析：B小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，A小球做單擺振動(dòng)，只有A小球

運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，同時(shí)B小球也下落到達(dá)此位置，才能擊中。由

于A小球振動(dòng)到平衡位置是周期性出現(xiàn)的，故所用的可能時(shí)間為匹

2

(n=l,2,3…)，與B下落時(shí)間相等，再根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移

公式求解。

解：A小球擺長為Lsina

振動(dòng)周期為T=2萬產(chǎn)吃

振動(dòng)到平衡位置的時(shí)間是

nTLsina/1c->、

t=—=m-------(n=l,2,3??,)

2Vg

B小球下落的距離為

S^-gt2^-7r2n2Lsina(n=l,2,3...)

22

小結(jié)：關(guān)于振動(dòng)或者波動(dòng)問題，一般運(yùn)用函數(shù)周期性分析。

第四章.三角與物理

數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、三角方程、三角公式、三角恒等式的證明等

等，在物理中，有哪些應(yīng)用，下面即這個(gè)問題，進(jìn)行探索。

一、三角恒等式的方法遷移

例1、如圖所示，一物體自傾角歸之、

為。的固定斜面頂端沿水平方

向拋出后落在斜面上。物體與'

斜面接觸時(shí)速度與水平方向的夾角0滿足

A.tan0=sin8B.tanO=cos8C.tanO=tan8D.tan@

=2tan8

分析：根據(jù)四個(gè)答案，明顯是屬于三角的恒等問題，要想得到證明,

先要知道物體落在斜面上，水平位移與斜面的夾角跟傾角。相等，設(shè)

初速度為%,時(shí)間為t,則

水平位移為x=vor

豎直位移為y=；g產(chǎn)

二口

得tan^=—=-——=—

xvot2v0

根據(jù)速度的關(guān)系得

tantan夕

%

答案是：D

注意：數(shù)學(xué)的三角恒等證明，是由三角公式的不斷轉(zhuǎn)化，而達(dá)到證明。

物理求三角的關(guān)系，是通過物理規(guī)律，構(gòu)建等式，尋找量之間的關(guān)系,

而達(dá)到求解三角之間的關(guān)系。

二、三角方程的運(yùn)用

例2、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固

定在空間的O點(diǎn)，假定繩是不可伸長的，柔軟且無彈性。今把質(zhì)點(diǎn)

的正上方離O點(diǎn)的距離為的。1點(diǎn)以水平的速度%質(zhì)拋出，如

圖所示。求輕繩就將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為多少？

Oi

o

分析：從題問開始，要求夾角，必須建立一個(gè)三角方程，要建方程，

須根據(jù)質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移為：x=W豎直位移為：y=gg產(chǎn)

再由直角三角形的性質(zhì)得出，豎直方向的關(guān)系為：Rcos6=；gJ

水平方向的關(guān)系為：Rsin6=%f聯(lián)立兩式就得一個(gè)三角方程，把已知

量代入，可得夕=90。（。表示繩與豎直方向的夾角）。

關(guān)于三角函數(shù)、三角公式的運(yùn)用，請(qǐng)看《函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用》例3,

不再作分析。

第五章、數(shù)列與物理

通頂公式的應(yīng)用

例1、（1989年高考題）圖（3）

中實(shí)線是一列簡(jiǎn)諧波在某一刻的

波形圖線，虛線是0.2秒后它的

圖3

波形圖線。這列波可能的傳播速度是O

分析1、已知這列波從實(shí)線波形傳到虛線波形所用的時(shí)間為4

t=0.2秒，關(guān)鍵是求出這段時(shí)間波的傳播距離(即從實(shí)線波形到虛線

波形中振動(dòng)相同的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離)。

解1、選波峰A為研究質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)波向正方向的傳播距離可能是

AB=1或AC=l+4米等等，可得它們通式為Sn=l+4n米(n=.0,1,2...)：

當(dāng)波向反向傳播時(shí)，波的傳播距離可能是AD=3米或3+4米等等，可

得它們的通式為S”=3+4〃米/秒(n=0,l,2…)可見波速為：向正向傳

1+4〃

播一5+20〃米/秒。(n=0,l,2-)向反向傳播

0.2

丫反==3+4"=15+20〃(n-0,1,2???)

<20.2

分析2：如圖已知波長為2=4米。由于波的傳播周期跟波形中任

一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同只要求出某一質(zhì)點(diǎn)的周期即可。

解2如圖選M做為研究質(zhì)點(diǎn)；當(dāng)波向正向傳播時(shí);M先向上振動(dòng),

振動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)是反復(fù)出現(xiàn)的所以需要的時(shí)間通式為:

；(+nT-,-0.2

得：T]=--—秒(n=0,l,2…)

15+20〃

當(dāng)波向反向傳播時(shí)M先向下振動(dòng)，振動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)也是反復(fù)出現(xiàn)

的所需的時(shí)間通式：

3

—7^+nT2—0.2

得：1\=——-——秒(n=0,l,2…)

215+20〃

波速為：丫正=一=——-——

7；4

5+20〃

=5+20n米/秒(n=0,1,2…)

“4=_f_