熱學(xué) 第三章 氣體分子熱運(yùn)動速率和能量分布 20130407

第三章氣體分子熱運(yùn)動速率和能量分布§3.1氣體分子的速率分布律§3.2用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布§3.3玻爾茲曼分布率重力場中微粒按高度的分布§3.4能量按自由度均分定理第一章我們引入了平衡態(tài)和溫度的概念，但在熱力學(xué)范圍內(nèi)不能得到深刻的認(rèn)識。第二章以分子運(yùn)動論為基礎(chǔ)，認(rèn)識了壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)，對平衡態(tài)下分子熱運(yùn)動的規(guī)律有了初步認(rèn)識，我們有一個基本的統(tǒng)計公理（假設(shè)）。這個公理只解決了分子熱運(yùn)動速度方向的幾率問題，并沒有涉及分子熱運(yùn)動速率大小取值的概率，無法作進(jìn)一步的定量分析。分子熱運(yùn)動情況是分子物理的重要研究對象，我們必須討論速率大小取值的概率問題。由于分子數(shù)目如此巨大，速率的取值從0到∞，這個取值區(qū)間非常大，分子在任何一個微小速率范圍內(nèi)的取值其概率都不會大，但到底有多小卻不易判斷。所以，這是一個大數(shù)量偶然微觀運(yùn)動的集體效應(yīng)的問題，既統(tǒng)計的問題，對應(yīng)的規(guī)律就是一個統(tǒng)計規(guī)律。一般地研究這個問題比較復(fù)雜，我們以理想氣體為基礎(chǔ)來開展討論?！?/p>

3－1麥克斯韋氣體速率分布律

對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計的方法..................................................................................

小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律.少數(shù)粒子無規(guī)律性大量粒子的統(tǒng)計分布

統(tǒng)計規(guī)律當(dāng)小球數(shù)N

足夠大時小球的分布具有統(tǒng)計規(guī)律.設(shè)為第格中的粒子數(shù).

概率粒子在第格中出現(xiàn)的可能性大小.歸一化條件

...................................................粒子總數(shù)引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運(yùn)動之中，由于碰撞，每個分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時刻，對某個分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計規(guī)律——?dú)怏w速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世紀(jì)偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的《電磁學(xué)通論》問世，這是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。在氣體動理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律性分子運(yùn)動論從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質(zhì)。其中個別分子的運(yùn)動（在動力學(xué)支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強(qiáng)）人們把這種支配大量粒子綜合性質(zhì)和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性二、氣體分子速率分布律

處于平衡態(tài)的氣體，雖然每個分子在某一瞬時的速度大小、方向都在隨機(jī)地變化著，但是大多數(shù)分子之間存在一種統(tǒng)計相關(guān)性，這種統(tǒng)計相關(guān)性表現(xiàn)為平均說來氣體分子的速率（指速度的大?。┙橛趘到v+dv的概率（即速率分布函數(shù)）是不會改變的。分子速率分布圖:

分子總數(shù)

:

間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.分布函數(shù)物理意義：速率在

v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率歸一化條件f(v)的量綱是什么？應(yīng)注意的問題:分布函數(shù)是一個統(tǒng)計結(jié)果，以上各種討論都是建立在眾多分子微觀運(yùn)動基礎(chǔ)上的，分子的數(shù)目越大，結(jié)論越正確。所以：1）少數(shù)分子談不上概率分布偶然事件少了，或分子數(shù)少了，就不能表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計特性。例如，拋兩分的硬幣，拋的次數(shù)越多，幣制和國徽朝上的次數(shù)才更加接近相等，否者將有很大差異。2）統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)出漲落fluctuation類似方差所謂漲落就是對穩(wěn)定的統(tǒng)計結(jié)果的偏差，統(tǒng)計規(guī)律必然伴隨著漲落。例如，在某一速率v附近dv間隔內(nèi)求出的比值dN/N是0.06，表示有6%的分子，它們的速率取值分布在（v，v+dv）內(nèi)，但并不是說，每時每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601，…等等，但長時間的平均值仍是0.06。3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰當(dāng)?shù)恼f法f

(v)是針對v附近單位速率間隔的，離開速率間隔來談分子數(shù)有多少就沒有意義了。4）氣體由非平衡到平衡的過程是通過分子間的碰撞來實現(xiàn)的。因此，分子間的碰撞是使分子熱運(yùn)動達(dá)到并保持確定分布的決定因素。應(yīng)用1、歸一化

2、速率位于區(qū)間的分子數(shù)速率位于內(nèi)分子數(shù)

速率位于區(qū)間的分子數(shù)

速率位于區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比

二、氣體分子麥克斯韋速率分布律麥?zhǔn)戏植己瘮?shù)

反映理想氣體在熱動平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。（1）麥克斯韋分布適用于平衡態(tài)的氣體。（2）概率密度取極大值時的速率為最概然速率（也稱最可幾速率），以vp表示。

（3）麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計平均的結(jié)果，它與其它的統(tǒng)計平均值一樣，也會有漲落，但當(dāng)粒子數(shù)為大數(shù)時，其相對均方根偏差是微不足道的。

（4）我們只要記住麥克斯韋速率分布的函數(shù)形式，則通過歸一化求出系數(shù)。

（5）利用量綱有助于我們對分布公式的記憶。說明如下幾點(diǎn)：

3、三種統(tǒng)計速率（1）最概然速率根據(jù)分布函數(shù)求得三.用麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多.物理意義（2）平均速率（3）方均根速率三種速率的比較三種速率的比較三種速率統(tǒng)計值有不同的應(yīng)用：

在討論速率分布時，要用到最可幾速率；在計算分子運(yùn)動的平均距離時，要用到平均速率；在計算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。同一溫度下不同氣體的速率分布

N2分子在不同溫度下的速率分布P84習(xí)題3-9根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值。根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解練習(xí)2．下列各式的物理意義分別為:(1)(3)(4)速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)(2)(5)(6)速率在v-v+dv內(nèi)的分子速率總和速率在v1→v2內(nèi)的分子速率總和27練習(xí)3．求速率v1

v2區(qū)間分子的平均速率公式：問：速率0

∞區(qū)間分子的平均速率，怎么求？推廣:任意函數(shù)

(v)對全體分子按速率分布的平均值28長春理工大學(xué)最概然速率平均速率方均根速率總結(jié)：分子速率的三個統(tǒng)計值最概然速率(themostprobablespeed)

物理意義：若把整個速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。令解得vp

隨T升高而增大，隨m增大而減小注：定義：與f(v)極大值相對應(yīng)的速率，稱為最概然速率。同一氣體，不同溫度vP與溫度T的關(guān)系:T1T2曲線的峰值右移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值降低。不同氣體，同一溫度vP與分子質(zhì)量m的關(guān)系:曲線的峰值左移,由于曲線下面積為1不變，所以峰值升高。m2m1練習(xí)5.圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)的是氫氣？解：(1)

T1<

T2(2)紅：氧

白：氫f(v)vT1T2平均速率(theaveragespeed)

由于則有方均根速率(theroot-mean-squarespeed)

最概然速率

平均速率方均根速率三種速率的比較三種速率統(tǒng)計值有不同的應(yīng)用：

在討論速率分布時，要用到最可幾速率；在計算分子運(yùn)動的平均距離時，要用到平均速率；在計算分子的平均平動動能時，要用到方均根速率。

速度空間中的一點(diǎn)，代表一定的速度，由矢徑表示麥克斯韋最早得出的是下面分子速度分布規(guī)律:

四.麥克斯韋速度分布律

（Maxwell

slawofdistributionofvelocities）40“在平衡態(tài)，理想氣體分子的速度分量在

vx

vx+dvx

,vy

vy+dvy,vz

vz+dvz區(qū)間內(nèi)麥?zhǔn)纤俣确植己瘮?shù)為意義：在速度空間中，分布在附近單位速度空間體積內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率;的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為”41直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系

xz球坐標(biāo)r

y這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標(biāo)將（1）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：對于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是

x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：42若分子速度的大小被限制在v

v+dv

內(nèi)，方向可以任意，這些分子的速度矢量端點(diǎn)都在半徑為v,厚度為dv

的球殼內(nèi)。由于在平衡態(tài)時分子速度的方向是均勻分布的，取球殼的體積4

v2dv作為體積元,有討論：可得∴有44——麥克斯韋速度分布律由麥?zhǔn)纤俣确植悸蛇€可推出速度的三個分量的分布函數(shù)的分布函數(shù)，令分別為g(vx)vx0于是有形式相同。45

單位時間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

小柱體dAvxdtx器壁n各種速度方向、大小的分子都有，怎么辦？用小柱體法！

作如圖的小柱體，處于小柱體內(nèi)的，是速度基本上為的分子，它們都能在dt時間內(nèi)碰到面積

dA

上。

先看對速度為的分子。按速度空間來看，應(yīng)對速度空間積分。48

小柱體內(nèi)的分子數(shù)為n

vxdtdA

如圖小柱體內(nèi)，速度在附近，

速度空間體積元

dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)是小柱體dAvxdtx器壁n它們都能在dt時間內(nèi)碰到面積

dA

上。

我們應(yīng)考慮以dA為底的

各種各樣的小柱體，而且要考慮到有個分布。在速度空間附近麥?zhǔn)纤俣确植己瘮?shù)：單位體積內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率這就要用到麥克斯韋速度分布函數(shù)

:49單位

時間里打到單位面積上的總分子數(shù)為小柱體dAvxdtx器壁n

把各種方向大小的（vxvyvz）分子都考慮進(jìn)來，就要積分：（x,y,z）Г=令dt=1,dA=150積分公式：（x,y,z）=

51單位時間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

化簡一下52例題1：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)。x圖2-3A........

ix

i總結(jié)：麥克斯韋速度分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間~也就是分布在vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為:麥克斯韋速度分布律這個區(qū)間內(nèi)的分子，它們的速度矢量的端點(diǎn)都在一定的體積元dГ＝dvxdvydvz內(nèi)也就是滿足這個條件的速度矢量的端點(diǎn)都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內(nèi)。這個球殼層的體積等于其內(nèi)壁的面積4πv2乘以厚度dv

：

dN(v)＝4πv2dv速度空間用dN(v)＝4πv2dv代替dГ＝dvxdvydvz麥克斯韋速率分布分布律麥克斯韋速率分布律

且：得：記憶這個公式分三部分：第一部分，4pv2dv是“球殼”的體積，而“球殼”全方位的高度對稱性正是分子熱運(yùn)動想各個方向幾率均等的生動表現(xiàn)；第二部分,正是分子熱運(yùn)動速率取值不等幾率的表現(xiàn)，值得注意，這個指數(shù)衰減律的結(jié)果沒有單位，mv2/2是分子熱運(yùn)動的動能，kT既有能量的量綱，所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運(yùn)動的動能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對于大的速率，指數(shù)衰減的速度比v2增加的速度快得多，二者共同影響的結(jié)果，分布函數(shù)值必然較小。第三部分，是歸一化因子，這里也有一個值得注意的問題，指數(shù)衰減部分沒有單位，4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數(shù)的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負(fù)立方的單位。即

應(yīng)該具有速度的量綱，的確如此，正是一個具有統(tǒng)計特性的速率，后面知道，叫最可幾速率。麥克斯韋速率分布函數(shù)m——分子的質(zhì)量T——熱力學(xué)溫度k——玻耳茲曼常量vPvv+dvv面積=dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為dv

的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N。.麥克斯韋速率分布曲線在f(v)~v整個曲線下的面積為1-----歸一化條件。五.誤差函數(shù)誤差函數(shù)（書P64~65)

令其中則速度的x分量介于0到vx范圍內(nèi)的分子數(shù)為

……誤差函數(shù)63或?qū)憺榫毩?xí)9.試求在標(biāo)準(zhǔn)狀況下氮?dú)夥肿铀俣鹊膞分量小于800m/s的分子數(shù)占全部分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比解：得先求273K時氮?dú)夥肿?Mm=0.028kg)的最概然速率查附錄3-2得erf(2)=0.9953，故這種分子所占百分比為49.8%64

六.統(tǒng)計規(guī)律性和漲落現(xiàn)象

nf(n)nf(n)01234567附錄3-1（書P81）積分表66補(bǔ)充練習(xí)5．設(shè)某氣體的速率分布函數(shù)求：（3）速率在之間分子的平均速率解：（1）常量a和v0的關(guān)系（2）平均速率（1）歸一化條件vv00為68（2）設(shè)總分子數(shù)為N，（3）則對否？——不對！上式分母上的N應(yīng)為69例題8.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:C(vo>v>0)0(v>vo

)1、作速率分布曲線。2、由N和vo求常數(shù)C。3、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。Cvovo解：補(bǔ)充:氣體分子按平動動能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在

~

+

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。意義：代入上式得思考最概然平動動能是否等于最概然速率所對應(yīng)的平動動能?兩邊微分氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例1求(2)氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，(2)f(v)v有N個粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解例2求(1)由歸一化條件得O(2)因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為

(2N/3)同理

v<v0

的分子數(shù)為

(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為O根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值。根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解例3根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例4證金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個電子，其中電子的最大速率為vm，設(shè)電子速率在v~v+dv

之間的幾率為式中A

為常數(shù)解例5求該電子氣的平均速率因為僅在（0，vm）區(qū)間分布有電子，所以例7.試計算27℃下的氧氣分子的三種速率.解:Mmol=0.032kg/mol,T=273+27=300K可見在相同溫度下:2.麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間~

的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為§1、氣體分子的速率分布律速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間

v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)，

dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實驗規(guī)律：在不同的速率附近，給定的速率間隔dv內(nèi)，比值dN/N是不同的。容易想見，速率間隔越大，dN/N？

dN/N

是

v

的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大），dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)為此，規(guī)定以單位速率間隔為比較標(biāo)準(zhǔn)，即，這樣，比值就反映出了隨速率v的改變而改變。為此我們規(guī)定；速率分布函數(shù)定義：處于一定溫度下的氣體，分布在速率v附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比只是速率v的函數(shù)，稱為速率分布函數(shù)。理解分布函數(shù)的幾個要點(diǎn)：

1.條件：一定溫度（平衡態(tài)）和確定的氣體系統(tǒng)，T和m是一定的；2.范圍：（速率v附近的）單位速率間隔，所以要除以dv；3.數(shù)學(xué)形式：（分子數(shù)的）比例，局域分子數(shù)與總分子數(shù)之比。物理意義：速率在

v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率歸一化條件f(v)的量綱是什么？表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.

物理意義

表示在溫度為的平衡狀態(tài)下，速率在

附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.的物理意義：課堂練習(xí)1．速率分布函數(shù)的物理意義為：（Ａ）具有速率的分子占總分子數(shù)的百分比．（Ｂ）速率分布在附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．（Ｃ）具有速率的分子數(shù)．（Ｄ）速率分布在附近的單位速率間隔中的分子數(shù)．

（Ｂ）

練習(xí)2、下列各式的物理意義分別為:(1)(2)(3)(4)速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)練習(xí)3．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為、分子質(zhì)量為、最可幾速率為，試說明下列各式的物理意義：（１）表示________________；（２）表示______________．分子平動動能的平均值分布在速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率練習(xí)4．已知分子總數(shù)為，它們的速率分布函數(shù)為，則速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率為

（A）（C）

（B）

（D）（B）根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例4證

2、

如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出兩氣體最概然速率.2000解（1）（2）

1

已知分子數(shù)，分子質(zhì)量，分布函數(shù).求（1）速率在間的分子數(shù)；（2）速率在間所有分子動能之和.解例題速度取向的概率問題。速度是矢量，必須解決有關(guān)大小取值的概率問題。首先我們?nèi)菀紫氲竭@樣兩個事實：1。由于分子受到頻繁的碰撞，每個分子熱運(yùn)動的速率是變化的，要某一分子具有多大的運(yùn)動速率沒有意義，所以只能估計在某個速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率；2。哪怕是相同的速率間隔，例如都是100ms-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200ms-1和500-600ms-1有相同的速率間隔，但第一個間隔總的來說速率較低，第二個間隔總的來說速率較大，其概率是不等的。比如，速率接近為0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性則較大。根據(jù)這個兩個事實，我們自然要問，在不同速率間隔取值的概率有沒有規(guī)律？肯定是有的，這個規(guī)律能用一個函數(shù)定量表示出來。為此，我們引入速率分布函數(shù)來描述分子熱運(yùn)動在不同速率間隔取值的概率規(guī)律。已知：

p0V

Ap外TN小孔面積

A。求：解：則設(shè)t時刻容器內(nèi)分子數(shù)為N，練習(xí)8.如圖示，p0>>p外，T=const.，體積V，94積分：得例如對氧

氣，設(shè)V=103cm3，

t=62.3s則計算得：T=300K時，

A=0.1mm2，95

*擴(kuò)散法分離同位素多孔膜真空同位素混合氣n1n2同位素豐度：

1>

2

分離系數(shù)

96的U化合物。天然鈾235U的豐度為0.71%，而反應(yīng)堆中要求235U的豐度為3%。因為金屬U要在2500K以上才能成為鈾蒸汽，所以采用UF6，它是唯一在室溫下具有高蒸汽壓為把235U豐度由0.71%提高到3%，需多級分離。把238UF6（質(zhì)量m2）和235UF6（質(zhì)量m1）分離：97生產(chǎn)核武器時235U濃度需高達(dá)90%，此時，這需要占用大量的廠房，消耗大量的電力。設(shè)級聯(lián)數(shù)為

，則：98多級擴(kuò)散器§3.2麥克斯韋速率分布的實驗驗證99

1920.Stern實驗

1934.葛正權(quán)實驗

1955.Milletandkusch

實驗葛正權(quán)實驗O---鉍蒸氣源,

溫度為T

S1,S2,S3---狹縫Q---圓筒,轉(zhuǎn)速可達(dá)

500轉(zhuǎn)/秒G---玻璃薄板實驗的物理思想:設(shè)速率為v

的分子沉積在P’處,飛行時間一定的S

值相應(yīng)于一定的分子速率

v?；￠LPP’

=S分子的v小，沉積處S大。100實驗中,圓筒轉(zhuǎn)動約十幾小時;用測微光度計測定薄玻璃板上各處分子的沉積厚度。分子的沉積厚度隨S的變化關(guān)系實驗結(jié)果：符合麥克斯韋速率分布率。分子數(shù)與速率的關(guān)系1011、實驗裝置O——蒸汽源S——分子束射出方向孔R——長為l、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒D——檢測器，測定通過細(xì)槽的分子射線強(qiáng)度2、實驗原理當(dāng)圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動時，每轉(zhuǎn)動一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達(dá)到D密勒和庫士實驗102圓柱體R實際是一個慮速器，改變角速度ω就可以使不同速率的分子通過實驗結(jié)果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常?。辉谀骋凰俾矢浇姆肿訑?shù)的比率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。103

麥克斯韋速度分布函數(shù)§3.3、玻爾茲曼能量分布律等溫氣壓公式一、玻爾茲曼能量分布律問題：對于更一般的情形，如在外力場中的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動動能分子按速度的分布不受力場的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場的性質(zhì)。玻爾茲曼的推廣用εk+εp

代替εk，用x、y、z、

vx、vy、vz

為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元

dxdydzdvxdvydvz

代替速度空間的體積元dvxdvydvz

玻爾茲曼能量分布律當(dāng)系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為單位體積分子數(shù)nn0為在勢能εp=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。玻爾茲曼分子按能量分布律對所有可能的速度積分，利用麥克斯韋速度分布函數(shù)的歸一化條件分子在坐標(biāo)間隔x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz內(nèi)的分子數(shù)密度為：分子按勢能分布律重力場中粒子按高度的分布(εp=mgh)重力場中，一方面是無規(guī)則的熱運(yùn)動使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達(dá)的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時，氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小；分子質(zhì)量越大，受重力的作用越大，分子數(shù)密度減小得越迅速；對于溫度較高的氣體，分子的無規(guī)則運(yùn)動劇烈。分子數(shù)密度隨高度減小比較緩慢。法國物理學(xué)家佩蘭據(jù)此測量了玻耳茲曼常數(shù)進(jìn)而得到了阿伏伽德羅常數(shù)，于1922年獲得了諾貝爾物理獎。假設(shè)：大氣為理想氣體不同高度處溫度相等利用：p=nkT

可得:每升高10米，大氣壓強(qiáng)降低133Pa。近似符合實際，可粗略估計高度變化。二、重力場中等溫氣壓公式近似估計高度推導(dǎo)壓強(qiáng)公式總結(jié)：玻耳茲曼分布（Boltzmann

sdistribution）一.有外場時分子濃度的分布以重力場為例，設(shè)T=const.

0z+dzzzp

p+dpTnn0S薄層氣體：底面積

S，厚dz，分子質(zhì)量為m，平衡時：109將p=nkT

代入上式，——等溫壓強(qiáng)公式得：每升高10米，大氣壓強(qiáng)降低133Pa。近似符合實際，可粗略估計高度變化。近似估計高度110zx

y0——玻耳茲曼分布律其中n0為

p=0處的分子數(shù)密度（濃度）。有：設(shè)則該體元內(nèi)分子數(shù)為：111已知分子質(zhì)量為m。設(shè)r=0處分子數(shù)密度為n0，例一裝有氣體的容器以角速度

繞豎直軸在水平面內(nèi)均勻旋轉(zhuǎn)。求：氣體分子數(shù)密度沿徑向分布的規(guī)律。

r0解：以容器為參考系，力

m2r作用。分子的離心勢能為：則氣體分子受慣性離心（設(shè)

P（0）=0）分子數(shù)密度則由玻耳茲曼分布，112二.麥克斯韋

玻耳茲曼分布（麥

玻分布）在有外場的情況下，進(jìn)一步考慮速度分布：設(shè)dN為位置在附近體積元內(nèi)，速度在附近速度空間體積元內(nèi)的分子數(shù)，則：——

麥克斯韋

玻耳茲曼分布律113則：—玻耳茲曼分布律玻耳茲曼因子

例

對H原子：（n=1,2,3,

）按量子理論，原子能級是分立的。114E2、

N2E1

、N1

基態(tài)室溫下T=300K，則：即在室溫的平衡態(tài)下，處于激發(fā)態(tài)的極少。原子處于基態(tài)的最多，115一、自由度(DegreeofFreedom)1、物體運(yùn)動的自由度力學(xué)中的自由度：決定一個物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)§3.4能量按自由度均分定理(TheoremofEquipartitionofEnergyaccordingtoDegreeofFreedom)研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質(zhì)點(diǎn)，微觀模型要修改，因為分子有

平動動能，還有轉(zhuǎn)動動能，振動動能。

確定一個物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目，稱為自由度,用i表示

。一．氣體分子運(yùn)動的自由度i

如He,Ne,Ar等……

i=3t

……平動自由度i=t=31.單原子分子能量按自由度均分原理

118質(zhì)心C平動：t=3（x，y，z）2.雙原子分子如：O2，H2，CO…r=2（，）s

=1（l）總自由度：i=t+r+s=6

C(x,y,z)

0zx

y

l軸軸的取向：r……

轉(zhuǎn)動自由度，若是非剛性分子，距離l變：s……振動自由度，平動和轉(zhuǎn)動自由度共有5個。1193.多原子分子如：H2O，NH3，…設(shè)分子中的原子數(shù)為Nr=3（，，）t=3（質(zhì)心坐標(biāo)x，y，z）i=t+r+s=3N應(yīng)

0zx

y

軸C(x,y,z)平動和轉(zhuǎn)動自由度共有6個。s=3N-6振動自由度總自由度：120二、分子能量按自由度均分定理(TheormofEquipartitionofMolecularEnergyaccordingtoDegreeofFreedom)利用積分公式,并整理得同理可得因此,分子每一自由度的平均平動能均為可推廣到振動和轉(zhuǎn)動自由度一個平動自由度對應(yīng)的平均動能為即：……

能量均分定理由于分子碰撞頻繁，平均地說，能量分配沒有任何自由度占優(yōu)勢。在溫度為T的平衡態(tài)下，分子熱運(yùn)動的每一個自由度所對應(yīng)的平均動能都等于能量按自由度均分定理分子看成質(zhì)點(diǎn)時，由分子平均平動動能124

能量按自由度均分定理：

在溫度為T的平衡態(tài)時,物質(zhì)分子每一個自由度都具有相同的平均動能,其大小都為

kT/2。能量均分定理的更普遍的說法是：能量中每具有一個平方項，就對應(yīng)一個（1/2）的平均能量。（對平動、轉(zhuǎn)動、振動都適用）單原子分子(平動）：

每個平動自由度分配平均能量剛性雙原子分子除平動能，還有轉(zhuǎn)動能：每個轉(zhuǎn)動自由度分配平均能量126能量均分定理不僅適用于氣體，也適用于液體和固體，甚至適用于任何具有統(tǒng)計規(guī)律的系統(tǒng)。非剛性雙原子分子除平動能、轉(zhuǎn)動能，還有振動能：振動自由度s=1每個振動自由度分配平均能量振動動能振動勢能總結(jié)：設(shè)平衡態(tài)下，分子平動自由度t，轉(zhuǎn)動自由度r，振動自由度s

，則分子平均能量：128分子能量均分自由度幾點(diǎn)說明：①只有在平衡態(tài)下才能應(yīng)用能量均分定理，非平衡態(tài)不能應(yīng)用能量均分定理。②能量均分定理本質(zhì)上是關(guān)于熱運(yùn)動的統(tǒng)計規(guī)律，是對大量分子求統(tǒng)計平均的結(jié)果，利用統(tǒng)計物理可以作嚴(yán)格的證明。③能量均分定理不僅適用于理想氣體，一般也適用于液體和固體。④對于氣體，能量按自由度均分是通過分子間的頻繁碰撞來實現(xiàn)的。

氣體從非平衡態(tài)演化為平衡態(tài)的過程是通過分子間頻繁的碰撞來實現(xiàn)的。一個在某一自由度上動能較大的分子與另一個動能較小的分子發(fā)生非對心完全彈性碰撞時，一般總要發(fā)生動能從一個分子轉(zhuǎn)移到另一個分子，從一個自由度轉(zhuǎn)移到另一個自由度，從這種形式的自由度轉(zhuǎn)移到另一種形式的自由度的能量上去的過程。氣體就是在分子的頻繁碰撞中發(fā)生不同粒子間、不同自由度間能量的轉(zhuǎn)移，最終實現(xiàn)能量按自由度均分。對液體和固體，能量均分是通過分子間很強(qiáng)的相互作用來實現(xiàn)的。三.理想氣體內(nèi)能內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)部各種形式能量的總和。（不包括系統(tǒng)整體質(zhì)心運(yùn)動的能量,

也不包括分子以下層次的能量）∴內(nèi)能對非理想氣體：

分子有動能，它與氣體溫度有關(guān)。所以就有分子相互作用勢能，它與氣體體積有關(guān)。

分子間有作用力（它與分子之間的距離有關(guān)），對理想氣體：135所以，對理想氣體，設(shè)有N個分子，則內(nèi)能公式：

：氣體系統(tǒng)的摩爾（mol）數(shù)。1361mol理想氣體得內(nèi)能：總結(jié)：理想氣體的內(nèi)能(InternalEnergyandHeatCapacityofIdealGas)一、理想氣體的內(nèi)能(InternalEnergyofIdealGas)質(zhì)量為M千克的理想氣體的內(nèi)能為1mol理想氣體的內(nèi)能為四.理想氣體的熱容量定壓熱容量

定體熱容量

（體積不變）（壓強(qiáng)不變）定義系統(tǒng)(條件)溫度升高1度所吸收的熱量為系統(tǒng)的熱容量，即：定體摩爾熱容139定壓摩爾熱容量

定