4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用一、知識(shí)回顧

思考探究解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？提示解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是選擇和建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.（二）對(duì)于一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)變化的速度有什么不同？例1.人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.二、問(wèn)題探究（1）根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn).根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950～1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型.（2）利用（1）中的模型計(jì)算1951～1958年各年末的人口總數(shù).查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國(guó)在1951～1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.（3）以（1）中的模型作預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)的人口總數(shù)達(dá)到13億？設(shè)置探究問(wèn)題：(1)本例中所涉及的數(shù)量有哪些?答：經(jīng)過(guò)t年后的人口數(shù)y,y0；人口年平均增長(zhǎng)率r；經(jīng)過(guò)的時(shí)間t以及1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù).(2)描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的?確定這種函數(shù)模型需要幾個(gè)因素?答：是；兩個(gè),即y0和r.(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型?答：先求1951～1959年各年的人口增長(zhǎng)率,再求年平均增長(zhǎng)率r,確定y0的值,從而確定人口增長(zhǎng)模型.(4)對(duì)所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)?根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)函數(shù)模型又應(yīng)作出如何評(píng)價(jià)?答:作出人口增長(zhǎng)函數(shù)的圖象,再在同一直角坐標(biāo)系上根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)是否在圖象上.(5)如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測(cè)我國(guó)某個(gè)時(shí)期的人口數(shù),實(shí)質(zhì)是何種計(jì)算方法?答:已知函數(shù)值,求自變量的值.解：（1）由題意知y-0=55196，設(shè)1950～1959年期間我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為r,根據(jù)馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，有67201=55196e9r,由計(jì)算工具得r≈0.021876.因此我國(guó)在1950~1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為：y=55196et，t∈[0,9].（2）分別取t=1,2，…，8，由：y=55196et

可得我國(guó)在1951～1958年間的各年末人口總數(shù)；查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，得到我國(guó)在1951～1958年各年末人口總數(shù)，如表所示：下表是1951～1958年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)/萬(wàn)5641757665589406024361576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬(wàn)5630057482587966026661465628286456365994由表和圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.（3）將y=130000代入y=55196et，由計(jì)算器可t≈39.15.所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第40年（即1990年）我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.例2.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回

報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？問(wèn)題1：你能幫我分析比較三種方案每天回報(bào)的多少情況嗎？探究1：(1)各方案每天回報(bào)的變化情況可用什么函數(shù)模型來(lái)反映？請(qǐng)寫(xiě)出各函數(shù)的解析式.方案一的函數(shù)模型：y=40(x∈N*)；方案二的函數(shù)模型：y=10x(x∈N*)；方案三的函數(shù)模型：y×2x-1(x∈N*).（2）為了直觀表現(xiàn)各方案每天回報(bào)的變化情況可用什么方法表示上述三個(gè)函數(shù)？x/天

方案一

方案二

方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140010

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8…………………3040030010214748364.8107374182.4探究2：（1）根據(jù)例1中表格所提供的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？（2）你能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)圖象，并通過(guò)圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？結(jié)論：投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三.：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？思考1:上表提供的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖大致如何？身高（cm）體重（kg）o思考2:根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，可以選用那個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行擬合，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系？指數(shù)型函數(shù)模型y=a·bx，因?yàn)樗膱D象與散點(diǎn)的變化趨勢(shì)最相似.

身高（cm）體重（kg）o思考3:如何求出函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)a,b？身高（cm）體重（kg）o

將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出函數(shù)圖像，就可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)：擬合程度較好.

這說(shuō)明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系問(wèn)題2:若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的倍為偏胖，低于倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常？（2）將x=175代入yx得y175，由計(jì)算器算得y，所以，這個(gè)男生偏胖.思考4:這個(gè)例題有什么特點(diǎn)？此類(lèi)問(wèn)題由數(shù)據(jù)不能直接得出確定的函數(shù)模型，需要畫(huà)散點(diǎn)圖，通過(guò)圖象特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)模型，再通過(guò)代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出近似模型，再對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出預(yù)測(cè).思考5:你能總結(jié)一下用擬合函數(shù)解決應(yīng)用性問(wèn)題的基本過(guò)程嗎？收集數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題YesNo三、課堂練習(xí)1．某商店某種商品進(jìn)貨價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為50元時(shí)，一個(gè)月能賣(mài)出500件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的單價(jià)每提高1元，則該商品一個(gè)月的銷(xiāo)售量會(huì)減少10件．商店為使銷(xiāo)售商品的月利潤(rùn)最高，應(yīng)將該商品每件定價(jià)為(

)A．70元B．65元

C．60元

D．55元解析：設(shè)該商品每件單價(jià)提高x元，銷(xiāo)售該商品的月利潤(rùn)為y元，則y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000∴當(dāng)x＝20時(shí)，ymax＝9000，此時(shí)每件定價(jià)為50＋20＝70元.A2．以每秒a米的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈，t秒后的高度x米可由x＝at－t2確定，已知5秒后子彈高245米，問(wèn)子彈保持245米以上(含245米)高度共有(

)A．4秒 B．5秒

C．6秒

D．7秒解析：已知x＝at－t2，由條件t＝5秒時(shí)，x＝245米，得a＝，所以x＝t－t2.子彈保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以t－4.9t2≥245.解得5≤t≤10.因此，子彈保持在245米以上的高度有5秒．B3.某企業(yè)決定從甲、乙兩種暢銷(xiāo)產(chǎn)品中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)打入國(guó)際市場(chǎng)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位：萬(wàn)美元)，其中年固定成本與生產(chǎn)件數(shù)無(wú)關(guān)，a為常數(shù)，且4≤a≤8，另外年銷(xiāo)售乙產(chǎn)品x件時(shí)需上交x2萬(wàn)美元的特別關(guān)稅.項(xiàng)目類(lèi)別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)每年最多生產(chǎn)件數(shù)甲產(chǎn)品30a10200乙產(chǎn)品50818120(1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y1，y2與生產(chǎn)件數(shù)x(x∈N)的函數(shù)關(guān)系式；(2)分別寫(xiě)出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)；(3)如何決定投資可獲得大利潤(rùn)？解：由題意，(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，y2＝－x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.(2)∵y1在[0,200]上是增函數(shù)，∴y1max＝200(10－a)－30＝1970－200a.∵y2＝－0.05(x－100)2＋450，∴當(dāng)x＝100時(shí)，y2max