專轉(zhuǎn)本輔導(dǎo)資料318課件

專轉(zhuǎn)本數(shù)學(xué)輔導(dǎo)2012年3月18日考點十二、二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型1.計算二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.偏導(dǎo)數(shù)方法：對求x偏導(dǎo)，就是把y當(dāng)做常數(shù)，此時二元函數(shù)的求導(dǎo)就可以看成一元函數(shù)的求導(dǎo).對x求偏導(dǎo)數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)2.二元隱函數(shù)看成三元函數(shù)方法：對求x偏導(dǎo)，就是把y，z當(dāng)做常數(shù).(2009-10)設(shè)函數(shù)由方程所確定，則(2011-4)設(shè)函數(shù)由方程所確定，則A.B.C.D.3.二階偏導(dǎo)數(shù)先對x求導(dǎo)，再對x求導(dǎo)先對x求導(dǎo)，再對y求導(dǎo)先對y求導(dǎo)，再對x求導(dǎo)先對y求導(dǎo)，再對y求導(dǎo)4.全微分偏微分（1）求在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).（3）計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.例1.(2008-5)函數(shù)在點處的全微分為

A. B. C. D.(2007-11)設(shè)，則全微分

(2010-11)

設(shè)函數(shù)，則

題型2.計算二元(抽象)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)椒▌t)(全導(dǎo)數(shù)公式)1.中間變量是一元函數(shù)的情形2.中間變量是多元函數(shù)的情形口訣：分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)3.中間變量只有一個是多元函數(shù)的情形（2）設(shè)，求例2.（1）設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)(2011-18)

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(2009-19)

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(2010-19)

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(2008-18)

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求(2007-17)

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求考點十三、二重積分的計算題型1.在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算二重積分的計算可以歸結(jié)為求兩次定積分1.若D為

X–型區(qū)域

則上下看

2.若D為Y–型區(qū)域則左右看3.若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有4.若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則(2011-5)

如果二重積分可化為,則積分域D可表示為()A.B.C.D.

(2010-5)

二次積分交換積分次序后得()A.B.C.D.

例3.

y＝1,x＝2y＝x（1）

計算，其中D是直線

及所圍的閉區(qū)域.（2）

計算,其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.及直線（3)交換下列積分順序(2010-19)

計算二重積分，其中D是由曲線，直線及軸所圍成的閉區(qū)域.(2009-18)

計算二重積分，其中(2008-19)

計算二重積分，其中D是由曲線、直線及所圍成的平面區(qū)域.1.極坐標(biāo)的二重積分公式（一般D為圓域、環(huán)域、扇域，或當(dāng)被積函數(shù)為形式.）題型2.在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算2.將二重積分化為二次積分計算（一般先對r，再對積分）（1）極點在D的外部（2）極點在D的內(nèi)部（3）極點在D的內(nèi)部例4.計算，其中

(2007-20)

計算二重積分，其中(2011-19)

計算二重積分，其中D是由曲線、直線及軸所圍成的平面閉區(qū)域.考點十四、一階微分方程求解一階微分方程的形式：題型1.可分離變量方程的求解

轉(zhuǎn)化

兩邊求不定積分

（2）解初值問題例5.

（1）求方程的通解.(2009-12)

微分方程的通解為_______

形如的方程叫做齊次方程

.（變量替換法）（1）令，則（2）兩邊積分,得（3）積分后再用代替u

，得原方程的通解.解法:代入原方程得分離變量題型2.齊次方程的求解

例6.解微分方程(2006-17)

求微分方程的通解.一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:稱為線性齊次微分方程題型3.一階線性微分方程的求解

稱為線性非齊次微分方程1.解線性齊次方程分離變量通解兩邊積分2.解線性非齊次方程方程通解把通解代入原方程解得代入通解故原方程的通解常數(shù)變易法例7.

解微分方程

(2010-24)

設(shè)函數(shù)滿足方程，且，記由曲線與直線及y軸所圍平面圖形的面積為，試求(2007-18)

求微分方程滿足初始條件的特解.(2008-20)

求微分方程的通解.(2011-24)

設(shè)函數(shù)滿足微分方程（其中為正常數(shù)），且，由曲線與直線所圍成的平面圖形記為D

，已知D的面積為，（1）求函數(shù)的表達式；（2）求平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積；（3）求平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.考點十五、二階微分方程求解二階微分方程的基本形式：降階法逐次積分基本解法：第一次積分第二次積分令不含未知函數(shù)令不含自變量（2）求解例8.

（1）求方程的解.考點十六、二階常系數(shù)線性微分方程求解題型1.求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程第一步：寫出特征方程，求出特征根第二步：根據(jù)特征根的情況，寫出方程的通解實根特征根通解根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為二階常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:

是的已知函數(shù)通解

特解待定系數(shù)法題型2.求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程1.若

不是特征方程的根待定系數(shù)法2.若是特征方程的單根3.若

是特征方程的二重根特解形式設(shè)，其中為實數(shù),為次多項式.

與特征方程的關(guān)系其中是根據(jù)假設(shè)的m次待定系數(shù)多項式

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為小結(jié)例9.求下列方程的通解(其中為實數(shù)）例10.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.(2010-20)已知函數(shù)和是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個解，試確定常數(shù)的值，并求微分方程的通解.(2011-20)已知函數(shù)是一階線性微分方程的解，求二階常系數(shù)線性微分方程的通解.(2007-12)

設(shè)為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該微分方程為_______.

(2009-20)

求微分方程的通解.(2008-6)微分方程的通解為()

A. B.

C. D.1.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點

M

則設(shè)點M的坐標(biāo)為任意向量r

可用向徑OM

表示.考點十七、向量的坐標(biāo)運算設(shè)則2.利用坐標(biāo)作向量的線性運算（3）向量的模：（2）向量的數(shù)乘：（1）向量的加減法：（4）兩向量平行：（6）兩向量數(shù)量積（點積）：（5）兩向量垂直：（其中為向量的夾角）（7）向量積（叉積）：

的方向按右手法則垂直于所在平面.（8）兩向量的夾角公式

(2011-9)若，則.(2010-10)

設(shè)，若與垂直，則常數(shù)

(2009-9)已知向量，則與的夾角為________

(2008-4)

設(shè)向量，則等于()A.（2，5，4） B.（2，－5，－4） C.（2，5，－4） D.（－2，－5，4）(2007-10)

已知均為單位向量，且，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為_______

考點十八、有關(guān)平面方程與空間直線的運算1.平面方程（1）點法式方程為平面的法向量（2）一般式方程（2）一平面通過兩點和，且垂直于平面，求其方程.∏:x+y+z=0（3）求過點（1,1,1）且垂直于二平面的平面方程.（1）求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.例11.2.空間直線方程（1）

一般式方程（2）點向式方程為直線的方向向量

為直線的點

（3）參數(shù)式方程t為參數(shù)兩平面交線例12.用點向式及參數(shù)式表示直線3.線面間的位置關(guān)系（1）面與面法向量垂直

法向量平行

平面法向量方向向量垂直

方向向量平行

（2）線與線直線方向向量（3）線與面直線方向向量平面法向量(2011-17)求通過軸與直線的平面方程.(2010-17)

求通過點，且與直線垂直，又與平面平行的直線的方程.

(2009-17)

求通過直線且垂直于平面的平面方程.(2008-17)

設(shè)平面經(jīng)過點，求經(jīng)過點且與平面垂直的直線方程.(2007-19)

求過點且垂直于直線的平面方程.考點十九、判別級數(shù)的收斂性題型1.判別數(shù)項級數(shù)的斂散性1.用級數(shù)收斂與發(fā)散的定義第一步先求出級數(shù)的部分和；第二步再看是否存在極限，存在即級數(shù)收斂.（求和：裂項相消法）2.用級數(shù)收斂的必要條件判斷級數(shù)發(fā)散若級數(shù)收斂，則必有逆否命題：若，則級數(shù)發(fā)散.性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)與則級數(shù)也收斂,其和為3.用級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.例13.

判別下列級數(shù)的收斂性.p

級數(shù)級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散幾何級數(shù)級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散三個常用的級數(shù)：題型2.判別正項級數(shù)的斂散性1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.2.比較判別法（調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù)）大的收斂小的收斂小的發(fā)散小的發(fā)散比較判別法的極限形式兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散收斂，收斂發(fā)散，發(fā)散比值判別法設(shè)為正項級數(shù),且級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散不能用此法判定根值判別法級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散不能用此法判定3.比值判別法與根式判別法(中含有階乘、乘冪、多個因子連乘除）(中含有次方形式的因子）必要條件不滿足發(fā)散滿足比值判別法根值判別法收斂發(fā)散不定比較判別法用它法判別部分和極限小結(jié)：（2）判別級數(shù)與的斂散性.（1）證明級數(shù)發(fā)散.例14.（3）討論級數(shù)的斂散性.1.萊布尼茲判別法則交錯級數(shù)收斂題型3.判別交錯級數(shù)的斂散性例15.

判別下列級數(shù)的斂散性2.絕對收斂與條件收斂

絕對收斂條件收斂設(shè)為收斂級數(shù)例16.

證明下列級數(shù)絕對收斂.

(2009-6)設(shè)為非零常數(shù)，則數(shù)項級數(shù)（）A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散 D.斂散性與有關(guān)(2010-4)下列級數(shù)收斂的是()A.B.C.D.(2007-6)下列級數(shù)收斂的是()A.B.C.D.(2006-5)

設(shè)為正項級數(shù)，如下說法正確的是()A.如果，則必收斂B.如果，則必收斂C.如果收斂，則必定收斂D.如果收斂，則必定收斂（2005-6）正項級數(shù)，則下列說法正確的是()A.若（1）發(fā)散、則（2）必發(fā)散B.若（2）收斂、則（1）必收斂C.若（1）發(fā)散、則（2）不定D.若（1）、（2）斂散性相同考點二十、冪級數(shù)的收斂域及展開題型1.求冪級數(shù)的收斂域

1.冪級數(shù)的定義

冪級數(shù)的系數(shù)1)當(dāng)

≠0時,2)當(dāng)

＝0時,3)當(dāng)

＝∞時,若的系數(shù)滿足則其中R是收斂半徑

2.求冪級數(shù)收斂域的方法的