高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第四節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 文試題

eq\a\vs4\al\co1(第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例)考點(diǎn)一變量間的相關(guān)關(guān)系1．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析從2006年起，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項(xiàng)正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項(xiàng)正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，即C選項(xiàng)正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項(xiàng)錯誤．故選D.答案D2．(2015·湖北，4)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)解析因?yàn)閥＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負(fù)相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x與z負(fù)相關(guān)．故選C.答案C3．(2014·湖北，6)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0解析由散點(diǎn)圖知b<0，a>0，選A.答案A4．(2013·湖北，4)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析正相關(guān)指的是y隨x的增大而增大，負(fù)相關(guān)指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為①④，故選D.答案D5．(2012·湖南，5)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x，y)C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為解析D選項(xiàng)中，若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重約為：0.85×170－85.71＝58.79kg.故D不正確．答案D6．(2015·北京，14)高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是________；②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是________．解析①由散點(diǎn)圖可知：越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)O名次越好，乙同學(xué)語文成績好，而總成績年級名次靠后；而甲同學(xué)語文成績名次比總成績名次差，所以應(yīng)是乙同學(xué)語文成績名次比總成績名次靠前．②丙同學(xué)總成績年級名次比數(shù)學(xué)成績年級名次差，所以丙同學(xué)成績名次更靠前的是數(shù)學(xué)．答案乙數(shù)學(xué)7．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．22·(yi－)·(yi－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ui－u）（vi－v）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ui－u）2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝v－eq\o(β,\s\up6(^))u.解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（wi－w）－（yi－y）,\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（wi－w）2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(d,\s\up6(^))w＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報(bào)值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費(fèi)為46.24千元時，年利潤的預(yù)報(bào)值最大．8．(2015·重慶，17)隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t＝6)的人民幣儲蓄存款．附：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))tiyi－nty,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))teq\o\al(2,i)－nt2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))t.解(1)列表計(jì)算如下itiyiteq\o\al(2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n＝5，t＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3，y＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝7.2.又ltt＝-n2=55-5×32=10,=-n=120－5×3×7.2＝12，從而b故所求回歸方程為＝eq\f(lty,ltt)＝eq\f(12,10)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))t＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回歸方程為y故所求回歸方程為＝1.2t＋3.6.(2)將t＝6代入回歸方程可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×6＋3.6＝10.8(千億元)．考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)1．(2014·江西，7)某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是()表1性別成績不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正?？傆?jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量解析因?yàn)棣謊q\o\al(2,1)＝eq\f(52×（6×22－14×10）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×82,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×（4×20－16×12）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×1122,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×（8×24－12×8）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×962,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×（14×30－6×2）2,16×36×32×20)＝eq\f(52×4082,16×36×32×20)，則χeq\o\al(2,4)＞χeq\o\al(2,2)＞χeq\o\al(2,3)＞χeq\o\al(2,1)，所以閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大．答案D2．(2011·湖南，5)通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”解析因?yàn)?.8＞6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”．答案A3．(2014·遼寧，18)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；(2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品．現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．附：χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)，P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×（60×10－20×10）2,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生，i＝1，2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生，j＝1，2，3.Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．事件A是由7個基本事件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).4．(2014·安徽，17)某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率；(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879解(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，75人的每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時．又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的．所以每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時453075每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2＝eq\f(300×（45×60－165×30）2,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”．5．(2012·遼寧，19)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為