概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第二章 隨機變量及其分布

第二章隨機變量及其分布§2.1隨機變量與分布函數(shù)§2.2離散型隨機變量的分布§2.3連續(xù)性隨機變量的分布§2.4隨機變量函數(shù)的分布§2.1隨機變量與分布函數(shù)

在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)七月份福州的最高溫度燈泡的使用壽命在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以采用“數(shù)量化”的方法，使實驗結果與數(shù)值相對應。射手射擊擊中目標.拋硬幣實驗這種對應關系在數(shù)學上表現(xiàn)為一種實值函數(shù).w.X(w)R量隨機變對于試驗的每一個樣本點w,都對應著一個實數(shù)X(w),而X(w)是隨著實驗結果不同而變化的一個變量。

隨機變量的定義隨機變量離散型隨機變量非離散型隨機變量有限個或可列個可能值全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.連續(xù)型隨機變量

隨機變量的分類

隨機變量的分布函數(shù)———|——>x設

X

是一個隨機變量，稱為X

的分布函數(shù).F(x)也可記為FX(x).如果將X

看作數(shù)軸上隨機點的坐標，則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.

分布函數(shù)的性質3.右連續(xù):F(x+0)=F(x)已知X的分布函數(shù)為

F(x)，下列各事件的概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X>x)P(x1<X<=x2)P(X<x)P(X=x)P(x1<X<x2)P(x1<=X<=x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)例1：設隨機變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)a,b及概率.§2.2離散型隨機變量的分布

定義1：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，pk是X取值

xk的概率，稱

k=1,2,……

為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.

離散型隨機變量的概率分布分布列Xx1 x2 … xk …Pp1 p2 … pk …其中(k=1,2,…)滿足如下性質：

k=1,2,…（1）（2）例1XP(1)求常數(shù)a;(2)

離散型隨機變量的分布函數(shù)

離散型隨機變量的分布函數(shù)特點1.它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線2.在隨機變量的每一個可能取值點

x=xk(k=1,2,…)處,該圖形都有一個跳躍，其跳躍值為pk

幾種常見的離散型隨機變量的分布兩點分布二項分布泊松分布幾何分布超幾何分布

兩點分布例2.一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量X描述廢品出現(xiàn)的情況(寫出X的分布律)。若隨機變量X的概率分布為：

P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q則稱X服從參數(shù)為p的兩點(或0-1)分布.例3.設射手每一次擊中目標的概率為p，現(xiàn)連續(xù)射擊n次，求擊中次數(shù)X

的概率分布.

二項分布其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)若隨機變量X的概率分布為

對于固定的n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調減少.

泊松分布若隨機變量X的概率分布為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，簡記為泊松定理設隨機變量Xn(n=1,2,..)服從二項分布Xn~B(n,pn)，又設是一個常數(shù)，則有

定理的條件意味著當

n很大時，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當n

很大，p

很小時有以下近似式：其中例1.一批產(chǎn)品的廢品率為2%，從中任意抽取100個，求其中恰好有一個廢品的概率。例2.若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率為0.002,現(xiàn)有2000個這類人參加人壽保險。參加者交納24元保險金，而死亡時保險公司付給其家屬5000元賠償費。計算“保險公司虧本”和“保險公司盈利不少于10000元”的概率。某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是0.4，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的概率分布.

幾何分布

在獨立試驗序列中,若一次伯努利試驗中某事件A發(fā)生的概率為p,只要事件A不發(fā)生,試驗就不斷地重復下去，直到事件A發(fā)生，試驗才停止。設隨機變量X為直到事件A發(fā)生為止所需的試驗次數(shù),則X的概率分布為則稱隨機變量X服從以p為參數(shù)的幾何分布，記作 。

超幾何分布設N個元素分為兩類，有M個屬于第一類，N-M個屬于第二類?，F(xiàn)在從中不重復抽取n個，其中包含的第一類元素的個數(shù)X的分布律為

其中l(wèi)=min{M,n},則稱隨機變量X服從參數(shù)為的超幾何分布，記作

§2.3連續(xù)性隨機變量的分布

對于隨機變量X,如果存在非負函數(shù)f(x)

,使得對任意的實數(shù)x,都有則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或分布密度。

概率密度

概率密度f(x)的性質

f(x)xoof(x)xab密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xo例1:某型號電子管的壽命X(小時）的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x).2.一電子設備內配有3個這樣的電子管，求使用150小時都不需要更換電子管的概率

常見的連續(xù)型隨機變量的分布

均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布

均勻分布例3：設隨機變量X~U[1,6],求二次方程沒有實根的概率。

指數(shù)分布指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.若隨機變量X具有概率密度則稱X服從以為參數(shù)的指數(shù)分布,簡記為X~E().例1：某電子元件的使用壽命X是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為(1)確定常數(shù)C;(2)壽命超過100小時的概率；

(3)已知該元件已正常使用200小時，求它至少還能正常使用100小時的概率。

指數(shù)分布的無記憶特性若隨機變量X，對任意的S>0,T>0滿足

P(X>S+T|X>S)=P(X>T)則稱X的分布具有無記憶性.

“永遠年輕”！例：某機場在任何長為t的時間內飛機來到的數(shù)目X服從參數(shù)為λt的泊松分布，求跑道的“等待時間”即相繼兩架飛機到來的時間間隔Y的概率分布。

X~P(λt),Y~?重點在于理解：相繼兩架飛機到來的時間間隔超過y的事件{Y>y}

等價于在y時間間隔內飛機達到的數(shù)目為0的事件進而將P(Y>y)轉化成P(X=0)若r.vX的概率密度為記作其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

正態(tài)分布

正態(tài)分布的圖形特點

正態(tài)分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.關于正態(tài)分布的密度函數(shù)的相關性質

1.對稱性關于X= 2.最大值在X=，max= 3.拐點，在X= 4.漸近線以X軸為漸進線

5.曲線的變化規(guī)律

設X~,X的分布函數(shù)是

標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系

正態(tài)分布的概率計算X>0時，查表計算；2.若1.若X～N(0,1)例1例2

例.

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,36),問車門高度應如何確定?

分位點X~N(0,1),X關于α=0.05的上側分位點是？X~N(0,1),X關于α=0.05的雙側分位點是？X-2

-1

0

1

2 3Pk0.1 0.15 0.3 0.2 0.1 0.15例1已知X的分布列為a.求Y=2X-1的分布列；b.求Z=X2的分布列

離散型隨機變量函數(shù)的分布§2.4隨機變量函數(shù)的分布如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.一般，若X是離散型r.v，X的概率函數(shù)為則Y=g(X)的分布列為Xg(x1)

g(x2) … g(xn)

Pkp1 p2 … pn Xx1 x2 … xn Pkp1 p2 … pn

連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布例2設X的密度函數(shù)為求Y=2X-1的概率密度.

從分布函數(shù)定義出發(fā)，通過等概率事件的轉化，建立隨機變量X與它的函數(shù)Y的分布函數(shù)之間的關