四邊形培優(yōu)題及答案

1.〔2023河南〕如圖，在菱形ABCD中，AB=2，,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A重合〕，延長(zhǎng)ME交射線(xiàn)CD于點(diǎn)N，連接MD，AN.〔1〕求證：四邊形AMDN是平行四邊形；〔2〕填空并證明：①當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是矩形；②當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是菱形.2.〔2023浙江杭州〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．〔1〕求證：AF=DE；〔2〕假設(shè)∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng)．【答案】〔1〕證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。∵在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。∴△AED≌△DFA〔SAS〕。∴AF=DE。〔2〕解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，那么有BC=HK?！摺螧AD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。∴AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD?！逽梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD=。又∵S△ABE=S△DCF=，∴，解得：?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)?！痉治觥俊?〕根據(jù)等腰梯形和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形SAS的判定證明△AED≌△DFA即可?！?〕如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(zhǎng)。3.〔2023江蘇南京〕如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)〔1〕求證：四邊形EFGH為正方形；〔2〕假設(shè)AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。【答案】〔1〕證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD?！咴谔菪蜛BCD中，AB=DC，∴AC=BD?！郋F=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形。設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M，在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，那么EH∥BD，同理GH∥AC。又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。∴四邊形EFGH是正方形。〔2〕解：連接EG。在梯形ABCD中，∵E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴。在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴，即四邊形EFGH的面積為。【考點(diǎn)】三角形中位線(xiàn)定理，等腰梯形的性質(zhì)，正方形的判定，梯形中位線(xiàn)定理，勾股定理。4.〔2023江蘇南通〕如圖，菱形ABCD中，∠B＝60o，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上．(1)如圖1，假設(shè)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝60o，求證：BE＝DF；(2)如圖2，假設(shè)∠EAF＝60o，求證：△AEF是等邊三角形．【答案】證明：〔1〕連接AC。∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°?！唷鰽BC是等邊三角形?！逧是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC。∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°?！唷螩FE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。∴EC=CF?！郆E=DF。〔2〕連接AC。∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。∴△ABC是等邊三角形?！郃B=AC，∠ACB=60°?！唷螧=∠ACF=60°?！逜D∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。∴∠AEB=∠AFC。在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，∴△ABE≌△ACF〔AAS〕?！郃E=AF?！摺螮AF=60°，∴△AEF是等邊三角形。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】〔1〕連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得△ABC是等邊三角形，又由三線(xiàn)合一，可證得AE⊥BC，從而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，從而證得BE=DF。〔2〕連接AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線(xiàn)與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形。5.〔2023江蘇鹽城〕如圖①所示,、為直線(xiàn)上兩點(diǎn),點(diǎn)為直線(xiàn)上方一動(dòng)點(diǎn),連接、,分別以、為邊向外作正方形和正方形,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).(1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)恰好在直線(xiàn)上時(shí)(此時(shí)與重合),試說(shuō)明；(2)在圖①中,當(dāng)、兩點(diǎn)都在直線(xiàn)的上方時(shí),試探求三條線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)的下方時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系.(不需要證明)【答案】解：〔1〕在正方形中,∵，，∴。又∵,∴。∴。∴。又∵四邊形為正方形，∴。∴。在與中,，∴≌?！?。〔2〕。理由如下：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由〔1〕知：≌，≌。∴,，∴?！?〕?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊?〕由四邊形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用證得≌，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得。6.〔2023四川成都〕如圖，線(xiàn)段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn).(1)假設(shè)BK=KC，求的值；(2)連接BE，假設(shè)BE平分∠ABC，那么當(dāng)AE=AD時(shí)，猜測(cè)線(xiàn)段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=AD()，而其余條件不變時(shí)，線(xiàn)段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．【答案】解：〔1〕∵AB∥CD，BK=KC，∴==.〔2〕如下圖，分別過(guò)C、D作BE∥CF∥DG分別交于AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F、G三點(diǎn)，∵BE∥DG，點(diǎn)E是AD的點(diǎn)，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四邊形CDGF是平行四邊形，∴CD=FG；∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.當(dāng)AE=AD()時(shí)，〔〕AB=BC+CD.7.〔2023福建三明〕正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上〔不含點(diǎn)B〕，∠BPE＝∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．〔1〕當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)〔如圖①〕．求證：△BOG≌△POE；〔2〕通過(guò)觀察、測(cè)量、猜測(cè)：=▲，并結(jié)合圖②證明你的猜測(cè)；〔3〕把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變〔如圖③〕，求的值．【答案】解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°?！逷F⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO?！唷鰾OG≌△POE〔AAS〕?！?〕。證明如下：如圖，過(guò)P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB?！郚B=NP?！摺螹BN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE?！唷鰾MN≌△PEN〔ASA〕?！郆M=PE。∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF?！逷F⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF〔ASA〕?！郆F=