福建省三明市五縣2023-2024學年高一上學期期中聯(lián)合質(zhì)檢考試數(shù)學試題【含答案解析】

2023-2024學年第一學期五縣聯(lián)合質(zhì)檢考試高一數(shù)學試卷考試時間：120分鐘滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級、座號、姓名．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考號、姓名”與考生本人考號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，選出答案后用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效．3．考試結(jié)束，考生只須將答題卡交回．一、單項選擇題：本大題8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個正確答案．1.已知集合，集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】由，解得或，所以或，因為，所以.故選：A.2已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C.奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，然后利用單調(diào)性的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)定義域為R．又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，設，，函數(shù)單調(diào)遞增，設，則在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在R上是減函數(shù).故選：C.3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得且．故選：C4.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，利用冪指數(shù)運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數(shù)，故，又，故．故選：D5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求解即可.【詳解】由分段函數(shù)單調(diào)遞增得，所以.故選：D.6.設函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】考慮，兩種情況，代入函數(shù)解不等式得到答案.【詳解】當時，，即，解得，故；當時，，即，解得，故.綜上所述：.故選：B.7.設函數(shù)，.用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（）A.1 B.3 C.0 D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)題意作出的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求解出的最小值.【詳解】令，解得或，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當時，有最小值，此時，故選：A.【點睛】思路點睛：求解形如（或）的函數(shù)的最小值（或最大值）的步驟：（1）根據(jù)，先求解出兩個圖象交點的橫坐標；（2）根據(jù)圖象的相對位置對圖象進行取舍，由此得到（或）的函數(shù)圖象；（3）直接根據(jù)函數(shù)圖象確定出最大值（或最小值）.8.已知長為，寬為的長方形，如果該長方形的面積與邊長為的正方形面積相等；該長方形周長與邊長為的正方形周長相等；該長方形的對角線與邊長為的正方形對角線相等；該長方形的面積和周長的比與邊長為的正方形面積和周長的比相等，那么、、、大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比較大小即可.【詳解】由題意可得，①，②，③，④，且，由基本不等式的關系可知，，當且僅當時等號成立，由①②得，，所以⑤，因為，所以，當且僅當時等號成立，由②③得，，所以⑥，又，當且僅當時等號成立，由①④得，，所以⑦，綜合⑤⑥⑦可得，.故選：D.二、多項選擇題：本大題4小題，每小題5分，全選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不答得0分．9.已知命題：，，則命題成立的一個充分不必要條件可以是下列選項中的（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，結(jié)合充分不必要條件與集合的關系進行求解即可.【詳解】若命題:，成立，則，解得，故命題成立的充分不必要條件是屬于的真子集，因此選項AD符合要求，故AD正確.故選：AD.10.下列說法正確的是（）A.不等式的解集B.“”是“”成立的充分不必要條件C.命題，則D.“”是“”的必要不充分條件【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法可判斷A，根據(jù)充分性和必要性的判斷可判斷AD，根據(jù)命題的否定可判斷C.【詳解】對于A，由得，解得，所以不等式的解集，故A正確，對于B,由“”不能得到“”，比如，故充分性不成立，故B錯誤，對于C，命題，則，故C正確，對于D，“”是“”的充分不必要條件，所以D錯誤，故選：AC11.已知正實數(shù)滿足，則（）A.的最小值為6B.的最小值為3C.的最小值為D.的最小值為8【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式，結(jié)合一元二次不等式解法判斷AB；由的范圍結(jié)合單調(diào)性判斷C；變形給定等式，利用基本不等式求解判斷D.【詳解】正實數(shù)滿足，對于A，，則，即，解得，當且僅當時取等號，所以的最小值為6，A正確；對于B，，則，解得，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為9，B錯誤；對于C，由選項B知，，，所以當時，取得最小值，C正確；對于D，由，得，而，則，，當且僅當時取等號，由，解得，所以當時，取得最小值，D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.12.對表示不超過x的最大整數(shù)，如，我們把叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯（Gaussian）函數(shù)，也有數(shù)學愛好者形象的稱其為“地板函數(shù)”．在現(xiàn)實生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應用，如停車收費、EXCEL電子表格，在數(shù)學分析中它出現(xiàn)在求導、極限、定積分、級數(shù)等等各種問題之中，以下關于“高斯函數(shù)的命題，其中是真命題有（）A. B.C.，若，則 D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)的值，分析每個選項，A項可以舉出反例，B項可以在中找出存在令命題成立的一對實數(shù)，，C項根據(jù)，可以得到，屬于相同區(qū)間，D項先解出的范圍，再解出的取值范圍.【詳解】對于A，，，所以A為假命題；對于B，，，，所以B為真命題；對于C，因為，所以，，所以，C為真命題；對于D，解不等式，得或，所以不等式的解集為，D為真命題.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖像過點，則______．【答案】16

【解析】【分析】根據(jù)條件先算出冪函數(shù)解析式，然后再求.【詳解】由題意，，解得，故，則.故答案為：14.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：15.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足在為增函數(shù)，且，則不等式的解集為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性得到大概趨勢，則分兩種或討論即可.【詳解】因為函數(shù)為上奇函數(shù)，則，，因為在為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的示意圖如下：由，得或即或，由圖知或或，故不等式的解集為.故答案為：.16.已知函數(shù)（）的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先得到，然后根據(jù)當時，恒成立分離常數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】，當時，單調(diào)遞增，所以當時，恒成立，注意到，所以由得在區(qū)間上恒成立，令，當時，，當時，任取，，其中，，，所以，所以在上遞增，，所以在區(qū)間上，所以，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】含有參數(shù)的分段函數(shù)最值有關的問題，可先考慮沒有參數(shù)的一段函數(shù)的最值，然后再結(jié)合這個最值考慮含有參數(shù)的一段函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)法以及函數(shù)值域的求法可求得參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應位置．17.（1）計算：；（2）解不等式：.【答案】（1）208；（2）.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算化簡求值即可；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）原式.（2）因為即，所以，化簡得，解得或，故原不等式的解集為.18.已知函數(shù)的定義域為集合，集合（1）若，求；（2）在①②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，補充到下面的問題中，并求解．問題：若，求實數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）由已知求得集合,,計算即可得出結(jié)果.（2）選①等價于，分當，，計算即可，選②時，分，，兩類計算可得出結(jié)果.【小問1詳解】因為的定義域需滿足，解得，即，若，則,或.所以【小問2詳解】選①等價于當時，等價于，即當時，等價于，等價于．綜上所述，選②的時候，若，等價于，即．若，等價于即無解．綜上所述，19.已知.（1）當時，若同時成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡，當時，解出，求它們的交集即可；（2）是的充分不必要條件，即所對應的集合所對應的集合，結(jié)合包含關系，即可求.【小問1詳解】當時，，即，，即，若同時成立，則，即實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由（1）知，，，即，①當時，，若是的充分不必要條件，則，解得；②當時，，此時不可能是的充分不必要條件，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.20.已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a、b的值；（2）用定義證明在上為減函數(shù)；（3）若對于任意，不等式恒成立，求k的范圍【答案】（1），（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由可求得；根據(jù)奇函數(shù)定義知，由此構造方程求得a；（2）將函數(shù)整理為，設，可證得，由此可得結(jié)論；（3）根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可將不等式化為恒成立，利用判別式求解即可.【小問1詳解】是定義在上的奇函數(shù)，且，，解得：，，，，解得：；當，時，，，滿足為奇函數(shù)；綜上所述：，；【小問2詳解】由（1）得：；設，則，，，，，在上為減函數(shù)；【小問3詳解】由得：，又為上的奇函數(shù)，，，由（2）知：是定義在上的減函數(shù)，，即恒成立，所以只需，解得，即實數(shù)的取值范圍為.21.為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本為萬元．在年產(chǎn)量不足8萬件時，（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，．每件產(chǎn)品售價為6元．假設小王生產(chǎn)的商品當年全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當時，取得最大值15（萬元）【解析】【分析】根據(jù)年利潤＝銷售額﹣投入的總成本﹣固定成本，分和當兩種情況得到的分段函數(shù)關系式；(2）當時根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求利潤最大值，當時，利用基本不等式來求的最大值，最后綜合即可．【小問1詳解】因為每件產(chǎn)品售價為6元，則x（萬件）商品銷售收入為萬元，依題：當時，當時，，所以；小問2詳解】當時，，此時，當時，取得最大值（萬元）；當時，，當且僅當，即時，等號成立，即當時，取得最大值15（萬元），因為，所以當產(chǎn)量為10（萬件）時，利潤最大，為15萬元.22.設函數(shù)，.（1）求函數(shù)的值域；（2）設函數(shù)，若對，，，求實數(shù)a取值范圍.【答案】（1）（2