量子力學(xué)全套課件

量子力學(xué)量子力學(xué)+周世勛(全套)目錄第一章量子力學(xué)的誕生第二章波函數(shù)和Schrodinger方程第三章一維定態(tài)問題第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量第五章態(tài)和力學(xué)量表象第六章近似方法第七章量子躍遷第八章自旋與全同粒子附錄科學(xué)家傳略量子力學(xué)+周世勛(全套)第一章量子力學(xué)的誕生§1經(jīng)典物理學(xué)的困難§2量子論的誕生§3實(shí)物粒子的波粒二象性量子力學(xué)+周世勛(全套)§1經(jīng)典物理學(xué)的困難(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功

19世紀(jì)末，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段。主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1) 應(yīng)用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體體的運(yùn)動(dòng)，將其用于分子運(yùn)動(dòng)上，氣體分子運(yùn)動(dòng)論，取得有益的結(jié)果。1897年湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個(gè)發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個(gè)牛頓粒子。(2) 光的波動(dòng)性在1803年由楊的衍射實(shí)驗(yàn)有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系把光的波動(dòng)性置于更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）經(jīng)典物理學(xué)的困難但是這些信念，在進(jìn)入20世紀(jì)以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難。（1）黑體輻射問題（2）光電效應(yīng)（3）氫原子光譜量子力學(xué)+周世勛(全套)黑體：能吸收射到其上的全部輻 射的物體，這種物體就 稱為絕對黑體，簡稱黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā) 出的輻射就稱為黑體輻射。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：輻射熱平衡狀態(tài):處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時(shí)，輻射達(dá)到熱平衡狀態(tài)。 熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度T

有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)。能量密度

(104cm)0510量子力學(xué)+周世勛(全套)Wien線能量密度

(104cm)0510Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。量子力學(xué)+周世勛(全套)1.Wien公式

從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：

量子力學(xué)+周世勛(全套)1.Wien公式

Wien線能量密度

(104cm)0510Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）光電效應(yīng)光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：1.臨界頻率v0

只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）原子光譜，原子結(jié)構(gòu)

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個(gè)線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：

量子力學(xué)+周世勛(全套)人們自然會提出如下三個(gè)問題：1. 原子線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制是什么？2. 光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？3. 光譜線公式中能用整數(shù)作參數(shù)來表示這一事實(shí)啟發(fā)我們 思考： 怎樣的發(fā)光機(jī)制才能認(rèn)為原子的狀態(tài)可以用包含整數(shù)值的量來描寫。量子力學(xué)+周世勛(全套)從前，希臘人有一種思想認(rèn)為：

自然之美要由整數(shù)來表示。例如：奏出動(dòng)聽音樂的弦的長度應(yīng)具有波長的整數(shù)倍。這些問題，經(jīng)典物理學(xué)不能給于解釋。首先，經(jīng)典物理學(xué)不能建立一個(gè)穩(wěn)定的原子模型。根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子環(huán)繞原子核運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運(yùn)動(dòng)的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實(shí)世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。除此之外，還有一些其它實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象在經(jīng)典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。總之，新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，暴露了經(jīng)典理論的局限性，迫使人們?nèi)ふ倚碌奈锢砀拍睿⑿碌睦碚?，于是量子力學(xué)就在這場物理學(xué)的危機(jī)中誕生。量子力學(xué)+周世勛(全套)§2量子論的誕生（一）Planck黑體輻射定律（二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論（四）波爾（Bohr）的量子論（三）Compton散射

——光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)量子力學(xué)+周世勛(全套)§2量子論的誕生（一）Planck黑體輻射定律（二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論（四）波爾（Bohr）的量子論（三）Compton散射

——光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）Planck黑體輻射定律究竟是什么機(jī)制使空腔的原子產(chǎn)生出所觀察到的黑體輻射能量分布，對此問題的研究導(dǎo)致了量子物理學(xué)的誕生。 1900年１２月１４日Planck

提出： 如果空腔內(nèi)的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對應(yīng)。作為輻射原子的模型，Planck假定：量子力學(xué)+周世勛(全套)該式稱為Planck 輻射定律Planck線能量密度

(104cm)0510（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率v振蕩；（2）黑體只能以E=hv為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。量子力學(xué)+周世勛(全套)對Planck輻射定律的三點(diǎn)討論：（1）當(dāng)v

很大（短波）時(shí)，因?yàn)閑xp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)， 于是 Planck定律化為Wien公式。（2）當(dāng)v

很?。ㄩL波）時(shí)，因?yàn)?/p>

exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，則Planck定律變?yōu)镽ayleigh-Jeans公式。量子力學(xué)+周世勛(全套)對Planck輻射定律的三點(diǎn)討論：（1）當(dāng)v

很大（短波）時(shí)，因?yàn)閑xp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)， 于是 Planck定律化為Wien公式。（2）當(dāng)v

很?。ㄩL波）時(shí)，因?yàn)?/p>

exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，則Planck定律變?yōu)镽ayleigh-Jeans公式。量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）光量子的概念 和光電效應(yīng)理論（1） 光子概念（2） 光電效應(yīng)理論（3） 光子的動(dòng)量量子力學(xué)+周世勛(全套)(1)光子概念第一個(gè)肯定光具有微粒性的是Einstein，他認(rèn)為，光不僅是電磁波，而且還是一個(gè)粒子。根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時(shí)以能量hν的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速

C

傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。由相對論光的動(dòng)量和能量關(guān)系 p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子動(dòng)量

p

與輻射波長λ（=C/v）的關(guān)系。量子力學(xué)+周世勛(全套)（2） 光電效應(yīng)理論用光子的概念，Einstein成功地解釋了光電效應(yīng)的規(guī)律。當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，能量為hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時(shí)的動(dòng)能。其能量關(guān)系可寫為：從上式不難解釋光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)：量子力學(xué)+周世勛(全套)光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)的解釋1.臨界頻率v02.光電子動(dòng)能只決定于光 子的頻率 由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子V=0時(shí)由該式所決定，即 hv-A=0，v0=A/h， 可見，當(dāng)v<v0時(shí)，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產(chǎn)生。 上式亦表明光電子的能量只與光的頻率v有關(guān)，光的強(qiáng)度只決定光子的數(shù)目，從而決定光電子的數(shù)目。這樣一來，經(jīng)典理論不能解釋的光電效應(yīng)得到了正確的說明。量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）光電效應(yīng)光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：1.臨界頻率v0

只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。量子力學(xué)+周世勛(全套)（3） 光子的動(dòng)量光子不僅具有確定的能量E=hv，而且具有動(dòng)量。根據(jù)相對論知，速度為

V運(yùn)動(dòng)的粒子的能量由右式給出：對于光子，速度V=C，欲使上式有意義，必須令

0=0,即光子靜質(zhì)量為零。根據(jù)相對論能動(dòng)量關(guān)系：總結(jié)光子能量、動(dòng)量關(guān)系式如下：把光子的波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系了起來量子力學(xué)+周世勛(全套)雖然愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設(shè)，這一點(diǎn)流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中?！?/p>

總而言之，我們可以說，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問題中，很難找到一個(gè)問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻(xiàn)的，在他的各種推測中，他有時(shí)可能也曾經(jīng)沒有射中標(biāo)的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實(shí)并不能成為過分責(zé)怪他的理由，因?yàn)榧词乖谧罹艿目茖W(xué)中，也不可能不偶爾冒點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)去引進(jìn)一個(gè)基本上全新的概念

”量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）Compton散射

-光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)。（1） Compton效應(yīng)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)不能解釋這種新波長的出現(xiàn)，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為電磁波被散射后，波長不應(yīng)該發(fā)生改變。但是如果把X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應(yīng)很容易得到理解1散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個(gè)新的波長為λ'的X光，且λ'>λ；2波長增量 Δλ=λ’–λ隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為Compton效應(yīng)。X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下2個(gè)特點(diǎn)：量子力學(xué)+周世勛(全套)（2） 定性解釋根據(jù)光量子理論，具有能量E=hν

的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)镋’=hν’

顯然有E’<E,從而有ν’<ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據(jù)這一思路，可以證明：式中也包含了Planck常數(shù)h，經(jīng)典物理學(xué)無法解釋它，Compton散射實(shí)驗(yàn)是對光量子概念的一個(gè)直接的強(qiáng)有力的支持。該式首先由Compton提出，后被Compton

和吳有訓(xùn)用實(shí)驗(yàn)證實(shí)，用量子概念完全解釋了Compton效應(yīng)。因?yàn)槭接沂且粋€(gè)恒大于或等于零的數(shù)，所以散射波的波長λ'總是比入射波波長長（λ'>λ）且隨散射角θ增大而增大。量子力學(xué)+周世勛(全套)（3） 證明根據(jù)能量和動(dòng)量守恒定律：代入得：兩邊平方：兩邊平方（2）式—（1）式得：k

k’

mv量子力學(xué)+周世勛(全套)所以最后得：量子力學(xué)+周世勛(全套)（四）波爾（Bohr）的量子論P(yáng)lanck--Einstein

光量子概念必然會促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問題的解決。1913年Bohr

把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動(dòng)作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來（1）波爾假定（2）氫原子線光譜的解釋（3）量子化條件的推廣（4）波爾量子論的局限性量子力學(xué)+周世勛(全套)（1）波爾假定Bohr在他的量子論中提出了兩個(gè)極為重要的概念，可以認(rèn)為是對大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括。1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。2.量子躍遷的概念.

原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量E1,E2,......,En的狀態(tài)。為了具體確定這些能量數(shù)值，Bohr提出了量子化條件：原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個(gè)能級En

躍遷到另一個(gè)較低（高）的能級Em，同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率為：而處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）氫原子線光譜的解釋根據(jù)這兩個(gè)概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)+Fc

vre由量子化條件量子力學(xué)+周世勛(全套)電子的能量與氫原子線光譜的經(jīng)驗(yàn)公式比較根據(jù)Bohr量子躍遷的概念得Rydberg常數(shù)與實(shí)驗(yàn)完全一致量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量L選為廣義動(dòng)量，則θ為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個(gè)電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。量子力學(xué)+周世勛(全套)（4） 波爾量子論的局限性1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對強(qiáng)度）；3.Bohr只能處理周期運(yùn)動(dòng)，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。

波爾量子論首次打開了認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識量子力學(xué)+周世勛(全套)§3實(shí)物粒子的波粒二象性（一）L．DeBroglie關(guān)系（二）deBroglie波（三）駐波條件（四）deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）L．DeBroglie關(guān)系假定：與一定能量E和動(dòng)量p的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：

E=hν

ν=E/hP=h/λ

λ=h/p該關(guān)系稱為de.Broglie關(guān)系。根據(jù)Planck-Einstein光量子論，光具有波動(dòng)粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發(fā)了de.Broglie，他（1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動(dòng)說的發(fā)展史；（2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量m不等于0的粒子）也具有波動(dòng)性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動(dòng)-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）L．DeBroglie關(guān)系假定：與一定能量E和動(dòng)量p的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：

E=hν

ν=E/hP=h/λ

λ=h/p該關(guān)系稱為de.Broglie關(guān)系。根據(jù)Planck-Einstein光量子論，光具有波動(dòng)粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發(fā)了de.Broglie，他（1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動(dòng)說的發(fā)展史；（2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量m不等于0的粒子）也具有波動(dòng)性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動(dòng)-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）deBroglie波因?yàn)樽杂闪Ｗ拥哪芰縀和動(dòng)量p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個(gè)單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：寫成復(fù)數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為deBroglie波deBroglie關(guān)系：ν=E/h

=2

ν=2

E/h=E/

λ=h/p

k=1/

=2

/λ=p/

量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質(zhì)的缺陷，deBroglie

把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍于是角動(dòng)量：deBroglie關(guān)系r代入量子力學(xué)+周世勛(全套)deBroglie波在1924年提出后，在1927-1928年由

Davisson和 Germer

以及G.P.Thomson

的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。θ法拉第園筒入射電子注鎳單晶

d衍射最大值公式量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)周世勛《量子力學(xué)教程》： 1.2、1.4曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》： 1.1、1.3量子力學(xué)+周世勛(全套)第二章波函數(shù)

和Schrodinger方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2態(tài)疊加原理§3力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)§4Schrodinger方程§5粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律§6定態(tài)Schrodinger方程量子力學(xué)+周世勛(全套)§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（一）波函數(shù)（二）波函數(shù)的解釋（三）波函數(shù)的性質(zhì)量子力學(xué)+周世勛(全套)

3個(gè)問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。稱為deBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)返回§1

量子力學(xué)+周世勛(全套)電子源感光屏（1）兩種錯(cuò)誤的看法1.波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。 電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。PPOQQO 事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。量子力學(xué)+周世勛(全套)2.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1?

。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。量子力學(xué)+周世勛(全套)經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時(shí)間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn)2.

入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.量子力學(xué)+周世勛(全套)結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是： 許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度

正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目，

正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，

正比于電子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近的幾 率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上

量子力學(xué)+周世勛(全套) 據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn) 動(dòng)的一 種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r)有時(shí)也稱為幾率幅。 這就是首先由Born提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子 力學(xué)的 基本原理。 假設(shè)衍射波波幅用Ψ(r)描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用|Ψ(r)|2

描述，但意義與經(jīng)典波不同。 |Ψ(r)|2的意義是代表電子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r點(diǎn)處，體積元ΔxΔy Δz中 找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅 絕對值 的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）波函數(shù)的性質(zhì) 在t時(shí)刻，r點(diǎn)，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，

其中，C是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）幾率和幾率密度在t時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ量子力學(xué)+周世勛(全套)（2） 平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數(shù)C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ

∞,則C

0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數(shù)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）歸一化波函數(shù) 這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。 因?yàn)樵趖時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。量子力學(xué)+周世勛(全套)歸一化常數(shù)若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那末，exp{iα}Ψ(r,t)

也是歸一化波函數(shù)（其中α是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。量子力學(xué)+周世勛(全套)（4）平面波歸一化IDirac

—函數(shù)定義：或等價(jià)的表示為：對在x=x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f（x）有：

—函數(shù)亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則性質(zhì)：0x0x量子力學(xué)+周世勛(全套)（4）平面波歸一化IDirac

—函數(shù)定義：或等價(jià)的表示為：對在x=x0鄰域連續(xù)的任何函數(shù)f（x）有：

—函數(shù)亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則性質(zhì)：0x0x量子力學(xué)+周世勛(全套)II平面波歸一化寫成分量形式t=0時(shí)的平面波考慮一維積分若取A122

=1，則A1=[2

]-1/2,于是平面波可歸一化為函數(shù)量子力學(xué)+周世勛(全套)三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)補(bǔ)充題量子力學(xué)+周世勛(全套)§2態(tài)疊加原理（一） 態(tài)疊加原理（二） 動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)量子力學(xué)+周世勛(全套)（一） 態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。量子力學(xué)+周世勛(全套)考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。量子力學(xué)+周世勛(全套) 其中C1和C2是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般表述： 若Ψ1，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...一般情況下，如果Ψ1和Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài).量子力學(xué)+周世勛(全套)例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量p運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用deBroglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。

dΨΨp量子力學(xué)+周世勛(全套)（二） 動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)Ψ(r,t)是以坐標(biāo)

r

為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)；C(p,t)

是以動(dòng)量

p

為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象波函數(shù)；二者描寫同一量子狀態(tài)。波函數(shù)Ψ(r,t)可用各種不同動(dòng)量的平面波表示，下面我們給出簡單證明。展開系數(shù)令則Ψ可按Фp展開量子力學(xué)+周世勛(全套)若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的量子力學(xué)+周世勛(全套)量子力學(xué)+周世勛(全套)§3力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)（一）力學(xué)量平均值 （1）坐標(biāo)平均值 （2）動(dòng)量平均值（二）力學(xué)量算符 （1）動(dòng)量算符 （2）動(dòng)能算符 （3）角動(dòng)量算符 （4）Hamilton算符量子力學(xué)+周世勛(全套)（一） 力學(xué)量平均值在統(tǒng)計(jì)物理中知道，當(dāng)可能值為離散值時(shí):一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和；當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分?；诓ê瘮?shù)的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。量子力學(xué)+周世勛(全套)（1）坐標(biāo)平均值為簡單計(jì)，剩去時(shí)間ｔ變量（或者說，先不考慮隨時(shí)間的變化）設(shè)ψ(x)是歸一化波函數(shù)，|ψ(x)|2是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的幾率密度，則對三維情況，設(shè)ψ(r)是歸一化波函數(shù)，|ψ(r)|2是粒子出現(xiàn)在r點(diǎn)的幾率密度，則x的平均值為（2）動(dòng)量平均值一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）力學(xué)量算符簡言之，由于量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫狀態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式（稱為第一次量子化）。（1）動(dòng)量算符 既然ψ(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為c(px)一一對應(yīng)，相互等價(jià)的描述粒子的同一狀態(tài)，那末動(dòng)量的平均值也應(yīng)可以在坐標(biāo)表象用ψ(x)表示出來。但是ψ(x)不含px變量，為了能由ψ(x)來確定動(dòng)量平均值，動(dòng)量px必須改造成只含自變量x的形式，這種形式稱為動(dòng)量px的算符形式，記為量子力學(xué)+周世勛(全套)一維情況：量子力學(xué)+周世勛(全套)比較上面二式得兩點(diǎn)結(jié)論：體系狀態(tài)用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)ψ(r)描寫時(shí)，坐標(biāo)x的算符就是其自身，即說明力學(xué)量在自身表象中的算符形式最簡單。而動(dòng)量px在坐標(biāo)表象（非自身表象）中的形式必須改造成動(dòng)量算符形式：三維情況：量子力學(xué)+周世勛(全套) 由歸一化波函數(shù)ψ(r)求力學(xué)量平均值時(shí)，必須把該力學(xué)量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對全空間積分，即F是任一力學(xué)量算符量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）動(dòng)能算符（3）角動(dòng)量算符量子力學(xué)+周世勛(全套)（4）Hamilton算符量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)補(bǔ)充題量子力學(xué)+周世勛(全套)§4Schrodinger方程（一） 引（二） 引進(jìn)方程的基本考慮（三） 自由粒子滿足的方程（四） 勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程量子力學(xué)+周世勛(全套) 這些問題在1926年Schrodinger提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個(gè)問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。（一） 引量子力學(xué)+周世勛(全套)（二） 引進(jìn)方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t粒子的狀態(tài)r和p。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）量子情況3．第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1．因?yàn)椋瑃=t0時(shí)刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)且只知道這樣一個(gè)初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2．另一方面，ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含ψ,ψ對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開方項(xiàng)。量子力學(xué)+周世勛(全套)（三） 自由粒子滿足的方程 這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E。將Ψ對坐標(biāo)二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：(1)–(2)式量子力學(xué)+周世勛(全套)滿足上述構(gòu)造方程的三個(gè)條件討論：通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式返回量子力學(xué)+周世勛(全套)（四）勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動(dòng)方程。若粒子處于勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做（4）式的算符替換得：量子力學(xué)+周世勛(全套)（五）多粒子體系的Schrodinger方程 設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN

;t)第i個(gè)粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：量子力學(xué)+周世勛(全套)多粒子體系Hamilton量對有Z個(gè)電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個(gè)電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)。例如：量子力學(xué)+周世勛(全套)§5粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）定域幾率守恒 考慮低能非相對論實(shí)物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在t時(shí)刻r點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：量子力學(xué)+周世勛(全套)證：考慮Schrodinger方程及其共軛式：取共軛量子力學(xué)+周世勛(全套)在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量。所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令Eq.（7）τ趨于∞，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（7）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同使用Gauss定理單位時(shí)間內(nèi)通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負(fù)號）τ內(nèi)的幾率S

量子力學(xué)+周世勛(全套)討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1）這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實(shí)現(xiàn)這種變化。（2）以μ乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時(shí)間改變質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)1.由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件1.根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在r點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求ψ(r,t)應(yīng)是r,t的單值函數(shù)且有限。量子力學(xué)+周世勛(全套)式右含有ψ及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）量子力學(xué)基本假定I、II量子力學(xué)基本假定I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基本假定II 波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從Schrodinger方程量子力學(xué)+周世勛(全套)§6定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定態(tài)問題的步驟（四）定態(tài)的性質(zhì)量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）定態(tài)Schrodinger方程現(xiàn)在讓我們討論有外場情況下的定態(tài)Schrodinger方程：令：于是：V(r)與t無關(guān)時(shí)，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與

t,r無關(guān)的常數(shù)量子力學(xué)+周世勛(全套) 該方程稱為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時(shí)刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。 此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關(guān)系可知： E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)?？臻g波函數(shù)ψ(r)可由方程和具體問題ψ(r)應(yīng)滿足的邊界條件得出。量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符二方程的特點(diǎn)：都是以一個(gè)算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。是相當(dāng)?shù)?。這兩個(gè)算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）能量本征值方程 （1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù) 學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程+邊界條件構(gòu)成本征值問題；將改寫成（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方 法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。 常量E稱為算符

H的本征值；Ψ稱為算符

H的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀 態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù) 值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）求解定態(tài)問題的步驟 討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量E。其具體步驟如下：（1）列出定態(tài) Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量E的本征值問題，得：（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第n個(gè)本征值En的定態(tài)波函數(shù)（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)Cn量子力學(xué)+周世勛(全套)（四）定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率密度與時(shí)間無關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無關(guān)量子力學(xué)+周世勛(全套) 綜上所述，當(dāng)Ψ滿足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態(tài)Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無關(guān)。（3）任何不顯含t得力學(xué)量平均值與t無關(guān)量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)周世勛《量子力學(xué)教程》2.2題曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》2.1、2.3題量子力學(xué)+周世勛(全套)第三章一維定態(tài)問題在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四：（1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；（2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；（4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)?！?一維無限深勢阱§2線性諧振子§3一維勢散射問題（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子 體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；量子力學(xué)+周世勛(全套)§1一維無限深勢阱（一）一維運(yùn)動(dòng)（二）一維無限深勢阱（三）宇稱（四）討論量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）一維運(yùn)動(dòng)所謂一維運(yùn)動(dòng)就是指在某一方向上的運(yùn)動(dòng)。此方程是一個(gè)二階偏微分方程。若勢可寫成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，則S-方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化為三個(gè)常微分方程：當(dāng)粒子在勢場V(x,y,z)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其Schrodinger方程為：量子力學(xué)+周世勛(全套)其中量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）一維無限深勢阱求解S—方程分四步：（1）列出各勢域的一維S—方程（2）解方程（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解（4）定歸一化系數(shù)-a0aV(x)IIIIII量子力學(xué)+周世勛(全套)（1）列出各勢域的S—方程方程可簡化為：-a0aV(x)IIIIII勢V(x)分為三個(gè)區(qū)域，用I、II和III表示，其上的波函數(shù)分別為ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。則方程為：

2

2量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數(shù)為零，特別是 ψ(-a)=ψ(a)=0。-a0aV(x)IIIIII

1。單值，成立；2。有限：當(dāng)x

-∞，ψ有限條件要求C2=0。量子力學(xué)+周世勛(全套)使用標(biāo)準(zhǔn)條件3。連續(xù)：2）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)： 在邊界x=-a，勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因?yàn)椋?若ψI(-a)’=ψII(-a)’，則有，0=Aαcos(-αa+δ)

與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果Asin(-αa+δ)=0矛盾，二者不能同時(shí)成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。1）波函數(shù)連續(xù)：-a0aV(x)IIIIII量子力學(xué)+周世勛(全套)(1)+(2)(2)-(1)兩種情況：由（4）式量子力學(xué)+周世勛(全套)討論狀態(tài)不存在描寫同一狀態(tài)所以n只取正整數(shù)，即于是：或量子力學(xué)+周世勛(全套)于是波函數(shù)：由（3）式類似I中關(guān)于n=

m的討論可知：量子力學(xué)+周世勛(全套)綜合I、II結(jié)果，最后得：對應(yīng)m=2n對應(yīng)m=2n+1量子力學(xué)+周世勛(全套)能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。量子力學(xué)+周世勛(全套) 由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處，ψ=0。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級，組成分立譜。（4）由歸一化條件定系數(shù)A量子力學(xué)+周世勛(全套)[小結(jié)]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定 未知數(shù)和能量本征值；四、由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)（歸一化系 數(shù)）。量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）宇稱（1）空間反射：空間矢量反向的操作。（2）此時(shí)如果有：稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）；（3）如果在空間反射下，則波函數(shù)沒有確定的宇稱。量子力學(xué)+周世勛(全套)（四）討論一維無限深勢阱中粒子的狀態(tài)（2）n=0,E=0,ψ=0，態(tài)不存在，無意義。而n=±k,k=1,2,...可見，n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。（1）n=1,基態(tài)，與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒有意義的。量子力學(xué)+周世勛(全套)（4）ψn*(x)=ψn(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。（5）定態(tài)波函數(shù)（3）波函數(shù)宇稱量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)周世勛：《量子力學(xué)教程》第二章

2.3、2.4、2.8量子力學(xué)+周世勛(全套)§2線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子（二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（三）實(shí)例量子力學(xué)+周世勛(全套)（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為

的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢V=0點(diǎn)，則量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動(dòng)。簡諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：axV(x)0V0量子力學(xué)+周世勛(全套) 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式： 可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件（4）厄密多項(xiàng)式（5）求歸一化系數(shù)（6）討論量子力學(xué)+周世勛(全套)（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則Schrodinger方程可寫為：為簡單計(jì)，引入無量綱變量ξ代替x，此式是一變系數(shù)二階常微分方程量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]，1.漸近解欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程，波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0，因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：ξ2>>±1量子力學(xué)+周世勛(全套)其中H(ξ)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H(ξ)所滿足的方程：2.H(ξ)滿足的方程量子力學(xué)+周世勛(全套)3.級數(shù)解我們以級數(shù)形式來求解。為此令：用k代替k’量子力學(xué)+周世勛(全套)由上式可以看出：b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)線性獨(dú)立解。可分別令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式：該式對任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為： H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞需要考慮無窮級數(shù)H(ξ)的收斂性為此考察相鄰兩項(xiàng)之比：考察冪級數(shù)exp[ξ2}的展開式的收斂性比較二級數(shù)可知：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。單值性和連續(xù)性二條件自然滿足，只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)，即勢場有跳躍的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。量子力學(xué)+周世勛(全套)所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為： 為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù)H(ξ)必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求H(ξ)從某一項(xiàng)（比如第n項(xiàng)）起以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即bn≠0,bn+2=0.代入遞推關(guān)系)得：結(jié)論基于波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。量子力學(xué)+周世勛(全套)（4）厄密多項(xiàng)式附加有限性條件得到了H(ξ)的一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密多項(xiàng)式，記為Hn(ξ)，于是總波函數(shù)可表示為：由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數(shù)是2n。歸一化系數(shù)Hn(ξ)也可寫成封閉形式：λ=2n+1量子力學(xué)+周世勛(全套)厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系：應(yīng)用實(shí)例例：已知H0=1,H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2下面給出前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(x)的遞推關(guān)系：量子力學(xué)+周世勛(全套)（5）求歸一化系數(shù)

(分步積分)該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與exp[-ξ2]的乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項(xiàng)為零。繼續(xù)分步積分到底因?yàn)镠n的最高次項(xiàng)ξn的系數(shù)是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。于是歸一化系數(shù)則諧振子波函數(shù)為：(I)作變量代換，因?yàn)棣?αx，所以dξ=αdx；(II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。量子力學(xué)+周世勛(全套)（6）討論3.對應(yīng)一個(gè)諧振子能級只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。1。上式表明，Hn(ξ)的最高次項(xiàng)是(2ξ)n。所以： 當(dāng)n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)；當(dāng)n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)。2.ψn具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項(xiàng)式Hn(ξ)決定為n宇稱。量子力學(xué)+周世勛(全套)n=0n=1n=24.波函數(shù)然而，量子情況與此不同對于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn)(|αx|=1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢能等于總能量，動(dòng)能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。

-3-2-10123E0E1E2量子力學(xué)+周世勛(全套)分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒有節(jié)點(diǎn)。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11

-22-44|

10|2

5.幾率分布量子力學(xué)+周世勛(全套)（三）實(shí)例解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿足如下三個(gè)方程：因此，設(shè)能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫成則必有：量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）簡并度 當(dāng)N確定后，能量本征值確定，但是對應(yīng)同一N值的n1,n2,n3

有多種不同組合，相應(yīng)于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡并。其簡并度可決定如下： 當(dāng)n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了，不增加不同組合的數(shù)目。故對給定N，{n1,n2,n3}可能組合數(shù)即簡并度為：量子力學(xué)+周世勛(全套)解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例2.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場

的作用，其勢場為：（1）解題思路 勢V(x)是在諧振子勢上疊加上-q

x項(xiàng)，該項(xiàng)是x的一次項(xiàng)，而振子勢是二次項(xiàng)。如果我們能把這樣的勢場重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結(jié)果。量子力學(xué)+周世勛(全套)（2）改寫V(x)量子力學(xué)+周世勛(全套)（3）Hamilton量進(jìn)行坐標(biāo)變換：則Hamilton量變?yōu)椋毫孔恿W(xué)+周世勛(全套)（4）Schrodinger方程該式是一新坐標(biāo)下一維線性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結(jié)果得：新坐標(biāo)下Schrodinger方程改寫為：本征能量本征函數(shù)量子力學(xué)+周世勛(全套)作業(yè)周世勛《量子力學(xué)教程》2.5曾謹(jǐn)言3.8、3.9、3.12量子力學(xué)+周世勛(全套)§3一維勢散射問題 (一）引言 （二）方程求解 （三）討論 （四）應(yīng)用實(shí)例量子力學(xué)+周世勛(全套)(一）引言勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運(yùn)動(dòng)問題。典型勢壘是方勢壘，其定義如下：現(xiàn)在的問題是已知粒子以能量E沿x正向入射。0aV(x)V0IIIIIIE量子力學(xué)+周世勛(全套)（二）方程求解（1）E>V0情況因?yàn)镋>0,E>V0,所以k1>0,k2>0.上面的方程可改寫為：上述三個(gè)區(qū)域的Schrodinger方程可寫為：量子力學(xué)+周世勛(全套) 定態(tài)波函數(shù)ψ1,ψ2,ψ3分別乘以含時(shí)因子exp[-iEt/

]即可看出：式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在x>a的III區(qū)沒有反射波，所以C'=0，于是解為：利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。首先，解單值、有限條件滿足。1.波函數(shù)連續(xù)綜合整理記之2.波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)波函數(shù)意義量子力學(xué)+周世勛(全套)3.求解線性方程組4.透射系數(shù)和反射系數(shù)求解方程組得:為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。I透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數(shù)D=JD/JIII反射系數(shù)：

反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù)R=JR/JI其物理意義是：描述貫穿到x>a的II