專題11 雙曲線中的參數(shù)及范圍問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁專題11雙曲線中的參數(shù)及范圍問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其離心率為，為上一動點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過點(diǎn)的直線，分別經(jīng)過雙曲線的兩個頂點(diǎn)，已知直線的斜率，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)雙曲線的方程為為上一動點(diǎn)，上頂點(diǎn)下頂點(diǎn)離心率為，即可得直線為直線PA,直線為直線PB,則，，又，，可得，故選：C2．已知雙曲線C：，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為1，則雙曲線的半焦距c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程可知該雙曲線的漸近線方程為：，即，設(shè)，有，因?yàn)辄c(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為1，所以有，把代入化簡得，，故選：D3．已知點(diǎn)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為其上頂點(diǎn)，過作垂直于的實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由雙曲線的對稱性可知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則為銳角，將代入方程可得，取點(diǎn)、，易知點(diǎn)，，，故，即，可得，又因?yàn)?，?故選：B.4．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足：其中，且已知點(diǎn)的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn)，若雙曲線的離心率不大于，則雙曲線實(shí)軸長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)，因，則，又，于是得點(diǎn)的軌跡方程為，由消去y并整理得，而，則，設(shè)，，因以為直徑的圓過原點(diǎn)，則，，于是，從而有，，而離心率，即，整理得，此時，因此，，，所以雙曲線實(shí)軸長的取值范圍為.故選：D5．設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，M是雙曲線C上異于A，B的動點(diǎn)，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，那么，兩式相減得：，整理得：即，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，故，其中，所以故選：D.6．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限的一點(diǎn)，線段過點(diǎn)且，的平分線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，則，則，∴．如下圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接MO，易知，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，且，∴，，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴.故選：C．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，且，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意可知,四邊形為平行四邊形,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為,,設(shè)點(diǎn),則直線方程為,且點(diǎn)到直線的距離.聯(lián)立,解得,∴,∴,設(shè)四邊形的面積為,則,又∵,∴,∴,∴,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,∴,,∴,,∴,又∵,∴,解得,故選:D.8．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，△和△的內(nèi)心分別為M，N，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)圓M與△的三邊分別切于點(diǎn)D，P，E，設(shè)E為，如下圖示：由圓的切線性質(zhì)知：，，，由雙曲線的定義知：，即，故，可得，即，故圓M切x軸于雙曲線的右頂點(diǎn)處，同理圓N也切x軸于雙曲線的右頂點(diǎn)處，又，所以，則，設(shè)，易知：，又分別為和的平分線，所以，，，所以，又，所以.故選：A．二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知為雙曲線上的動點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長分別為，，則（

）A．若，的斜率分別為，，則 B．C．的最小值為 D．的最小值為【解析】由題意雙曲線的漸近線為，即，設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，在漸近線上，則，，，A正確；在雙曲線上，則，，，，∴，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為，C錯誤；漸近線的斜率為，傾斜角為，兩漸近線夾角為，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即最小值為，D正確．故選：ABD．10．雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)關(guān)于另一條漸近線的對稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的動點(diǎn)，則的值可能為A．4 B． C．2 D．【解析】由雙曲線方程得漸近線方程為：，在漸近線上

漸近線方程為，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則

，當(dāng)三點(diǎn)共線且在雙曲線右支上時，最小，，又為雙曲線上的動點(diǎn)

無最大值，選項(xiàng)中的值均大于，選項(xiàng)中的值小于，選項(xiàng)中的值均有可能取得，故選：11．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)P為C右支上一點(diǎn)，P點(diǎn)到直線的距離為d，過的直線l與雙曲線C的右支有兩個交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．C．直線l的斜率的取值范圍是 D．的內(nèi)切圓圓心到y(tǒng)軸的距離為1【解析】A：由題設(shè)及下圖知：當(dāng)與右頂點(diǎn)重合時，最小為，錯；B：令且，則，對；C：由漸近線方程為，過的直線l與雙曲線C的右支有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖知：直線l的斜率的取值范圍為，錯；D：若內(nèi)切圓與三邊相切于，如下圖，則，，，又，即，由，即與右頂點(diǎn)重合，易知的內(nèi)切圓圓心到y(tǒng)軸的距離為1，對.故選：BD12．如圖，已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，兩條漸近線分別為，，過，作的垂線，垂足分別為A，B，若四邊形的面積為8，則以下選項(xiàng)正確的有（

）A．B．若，則雙曲線方程為C．若，則離心率e的范圍D．延長交于點(diǎn)C，若，則【解析】，∵，∴，，，，故A正確；∵，即

①在中，，即

②聯(lián)立①②解得，，∵b≠0，故無解，故B錯誤；∵且，，，，故C正確；由題知∵，∴，聯(lián)立，聯(lián)立，∴由，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心，的虛半軸長為半徑的圓與的右支恰有兩個交點(diǎn)，記為、，若四邊形的周長為，則的焦距的取值范圍為．【解析】易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，且，由雙曲線的定義可得，由題意可得，可得，則，所以，，所以，，所以，.當(dāng)時，，，此時，即此時以為圓心，的虛半軸長為半徑的圓與的右支恰有兩個交點(diǎn)，合乎題意.因此，的焦距的取值范圍為.14．已知A是拋物線：的準(zhǔn)線上的點(diǎn)，B是x軸上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，直線AB與雙曲線：兩漸近線分別交于不同兩點(diǎn)M，N.若雙曲線的離心率為2，，則的取值范圍為.【解析】設(shè)，，∵,∴，即，∴直線的方程為，其中，即，分別將代入與得點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，∴，∵M(jìn)與N不重合，∴，∴的取值范圍是.15．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)?，且，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為、，過左焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交雙曲線的兩條漸近線于、兩點(diǎn)，若是鈍角，則雙曲線離心率的取值范圍是.【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，點(diǎn)，，且點(diǎn)、，所以，.因?yàn)闉殁g角，則，得，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【解析】（1）依題意，，焦半徑，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；（2）顯然直線不可能與軸平行，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，在條件下，設(shè)，，則，，由，得，即，整理得，代入韋達(dá)定理得，，化簡可消去所有的含的項(xiàng)，解得：或（舍去），則直線的方程為，得，又都在雙曲線的右支上，故有，，此時，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.18．已知圓，定點(diǎn)，N為圓C上一動點(diǎn)，線段MN的中垂線與直線CN交于點(diǎn)P．(1)證明：為定值，并求出點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)若曲線上一點(diǎn)Q，點(diǎn)A，B分別為在第一象限上的點(diǎn)與在第四象限上的點(diǎn)，若，，求面積的取值范圍．【解析】（1）證明：由題意，圓C的圓心，半徑，由點(diǎn)N與M關(guān)于PQ對稱，則，，且，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡為以C，M為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，

設(shè)雙曲線方程為：，，，，，所以雙曲線方程為.（2）由題意知，，分別為雙曲線的漸近線,設(shè)，，由，設(shè)．，，，,

由于P點(diǎn)在雙曲線上，，，,又，同理，設(shè)OA的傾斜角為，則．,函數(shù)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；．19．已知點(diǎn)分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點(diǎn)，的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意可知，所以，，由已知，可得，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理可得所以，解得，由，可得，，原點(diǎn)到直線的距離，所以設(shè)，，易知漸近線方程為，不妨設(shè)在漸近線上，由得，同理，所以，到直線的距離，所以，所以，，則令，則，故的取值范圍是20．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.當(dāng)時，.(1)求雙曲線的方程；(2)若的外心為，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立可得，又，所以，又，所以，故雙曲線方程為；（2）若直線的斜率為0，則直線與雙曲線右支只有一個交點(diǎn)，與已知矛盾，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，，由已知，所以，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，又線段的垂直平分線方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以所以的取值范圍?21．已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由是直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，顯然直線不垂直y軸，點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，所以為定值.

（2）由（1）知，直線的斜率，方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，由消去得，，，而直線的方程為，依題意，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，所以的取值范圍是.22．已知雙曲線的離心率為，且的一個焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，且直線與圓分別交于兩點(diǎn)，記