2014年華約自主招生全真模擬-數(shù)學(xué)AAA(含答案以及詳解)

#/99.答：815令u=12，原方程化為(X3.y3)u2+(3x+y)u+—--=0. ①X-y 1A=(3X+y)2—4(X3—y3). x—y=5X2+2xy—3y2=(5X—3y)(x+y).X<y，X<y，國<3或||y|<3,(5x—3y)(x+y)>0,3x+y<0.分，其面積為X<y，|x|<3,|y|<3，點集N所成區(qū)域為圖中陰影部(5x—3y)(x+y)點集N所成區(qū)域為圖中陰影部S=S+SAABO ABCO124.1 _81=_x——x3+—x6x3=—25 2 510.答：2兀16因為三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且4F1PQ的周長是定值8,所以只需求出△F1PQ面積的最大值。設(shè)直線l方程為x二改+1，與橢圓方程聯(lián)立得Qm2+4)y2+6my—9=0，設(shè)P(x,y)，Q(x,y)，則y+y=6m—，11 22 123m2+4y1y2=—3m9+4，于是5"PQ=#/2”y1—y21rO值=12感當(dāng)。因為m2+1= 1 = 1 <1，所以內(nèi)切圓半徑(3m2+4/9m2+15+-^―9m2+9+-^―+616m2+1 m2+1r=巴皿<3,因此其面積最大值是1兀。8 4 16二、解答題解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且內(nèi))在區(qū)間(2,3］上的最大值只能在閉端點取得，故有f(2)Wf(3)=1，從而b>—5且c=—3b―8.若f(x)=0有實根，則A=b2-4c三0，在區(qū)間［一2,2］有」(-)21即|-2WbW2, 1[ 24-2b+c引04+2b+c20：消去。，解出1-4WbW4,bw-4,bW-4,-4WbW4,即b:-4，這時c:4，且A=0?若山):0無實根，則a=b2-4c<0，將c=-3b-8代入解得-8<b<-4*綜上-5wbW-4-所以b2+c2=b2+(-3b-8)2=10b2+48b+64，單調(diào)遞減"故(b2+c2) =32,(b2+c2) =74*min注重分類討論max解：(1)設(shè)c為橢圓的焦半徑，則c4a2 25—=—.——=——。a5c4于是有a=5，b=3。(2)解法一：設(shè)B點坐標(biāo)為(s,t)，P點坐標(biāo)為(x,y)。AB=(s-6，t)AP=(x-6，y)。因為AB1AP，所以有 一 一,(s-6，t)(x-6，y)=(s-6)(x-6)+ty=0。又因為ABP為等腰直角三角形，所以有AB=AP，即(s-6)2+12=(x-6)2+y2。由(A1)推出s6=-y―n(s-6)2=-上匕，代入32)x-6 (x-6)212=(x-6)2從而有y2=(s-6)2，即s=6+y(不合題意，舍去)或s=6-y。代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程于是有(A1)(A2)2525(X—6)2(V—6)2 1 +- = 1。解法二:為設(shè)B（號yj,P（羽V）,|”=r，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程x=6+rcosa。y=rsina設(shè)AB與x軸正方向夾角為0,B點的參數(shù)表示為X=6+rcos0i ，y=rsin0iP點的參數(shù)表示為x=6+rsin0y=—rcosx=6+rsin0y=—rcos0y=rsin(900—0)從上面兩式，得到x=6—yy=x—6

i又由于B點在橢圓上，可得TOC\o"1-5"\h\z(^+(^\i。

9 25此即為P點的軌跡方程。三（I）解：方程X2—（3k+2k）X+3左產(chǎn)二。的兩個根為x=3k，x=2k，1 2(分)S=a+a++a=(3+6+ +3n)+(2+22+ +2n)2n 1 2 2n3n2+3n _= +2n+i—22（分）(II證明:i+ aa34i +aa56(—1)f(n+1)+- ，aa2n—12n所以T1aa121+ aa3，————?：244（分）1 +aa56(―1)f(n+1)aa2n―12n1 +aa56111+——2n（分）同時，T—9-，n24aa561 +aa78(―1)f(n+1).5+- W——一aa242n―12n1 +aa561 +aa7811 +—9121綜上，當(dāng)ngN時，1WT+ 6n分）249F〃v5工——?245<——?

24四、解：橢圓過定點A<3

3聯(lián)立方程Jy四、解：橢圓過定點A<3

3聯(lián)立方程Jy=x(x>0)，解得x-y-<1+b2(1，0)，則a—1,c—11―b2,e—v1—b2,2?-<e2<1，??0<b<3由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y—x（X>0）的交點，就必過橢圓與射線y―—x（x>0）的交點。設(shè)拋物線方程為:設(shè)拋物線方程為:y2――2p(x一m)，p>0,m>1。y2=(1―m)(x―m)代入①得x2+4(m-1)x一4m(m一1)—0，m>1，0<x<2令f(x)—x2+4(m-1)x一4m(m―1)，m>1，0<x<—，2

:f(x)在,，j內(nèi)有根且單調(diào)遞增，f(0)=—4m(m-1)<0 m>1或m<0?,，/111 n，a_75f-=-+2(m—1)—4m(m—1)>0 3"〈m(3±1〔12；4 〔4 4綜上得：1<m<3+"2。4五、(1)由題意知L工的可能取值為0,2,4二0”指的是實驗成功2次，失敗2次TOC\o"1-5"\h\zs 1 1 24P&=0)=C2()3(1--)2二一43 3 81笛二2”指的是實驗成功3次，失敗1次或?qū)嶒灣晒?次，失敗3次.1 1 1 1 40.?.P&=2)=C3()3(1—)+C1()(1—)3=3 3 43 3 81笛二4”指的是實驗成功4次，失敗0次或?qū)嶒灣晒?次，失敗4次.1 1 17Pd=4)=C4()4+C0(1——)4=-43 4、 3 8124 40 17148，E匕=0義一+2義一+4義一=一81 81 81 81故隨機(jī)變量己的數(shù)學(xué)期望為理.81(2)由題意知：“不等式行2-5+1>0的解集是實數(shù)R”為事件A.當(dāng)己二0時，不等式化為1>0,其解集是R,說明事件A發(fā)生；當(dāng)己二2時，不等式化為2x2