2021年北京市首師大附中高考數學模擬試卷（4月份）（附答案詳解）

2021年北京市首師大附中高考數學模擬試卷(4月份)

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.已知集合”={x|lg(x-1)W0},N={x||x|<2}.則MUN=()

A.0B.(1,2)C.(-2,2]D.{-1,0,1,2}

2.設a,b,c,d是非零實數，則"ad=be”是“a,b,c,d成等比數列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.若實數x,y,z互不相等，且滿足*=3、=log4z,貝式)

A.z>x>yB.z>y>xC.x>y,x>zD.z>x,z>y

4.某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從甲、乙兩地區(qū)分別隨機調查了100個用戶，

根據用戶對產品的滿意度評分，分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分

若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數分別為mrm2；平均數分別為Si，S2,

則下面正確的是()

A.>m2,S1>s2B.>m2,Si<s2

C.m-i<m2>Si<s2D.<m2>s1>s2

5.某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為

()4

32

A.

3側視圖

64

B.~34

128

C.

3

俯視圖

D.128

6.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間(一8,0]上單調遞減，/(1)=-1.設

g(x)=log2(尤+3),則滿足f(x)2g(x)的x的取值范圍是()

A.(-a),-l]B.[-l,+oo)C.(-3,-1]D.(-3,1]

7.已知數列｛而｝滿足an=[Qm3a)n：l°a,"W6N*),若是遞減數列，則

(a,n>6

實數4的取值范圍是()

A.?,1)B,(|)|)C,(|,1)D,(|)|)

8.將正整數1,2,3,4,5,6,7隨機分成兩組，使得每組至少有一個數，則兩組中

各數之和相等的概率是()

A.YB.白C.十D.

21632163

9.空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距

離叫做這個點到這個平面的距離.已知平面a,p,y兩兩互相垂直，點A6a,點A

到氏y的距離都是3,點P是a上的動點，滿足P至4的距離與P到點A的距離相

等，則點尸的軌跡上的點到￡的距離的最小值是()

A.3-V3B.3C.等D.|

10.在平面直角坐標系xOy中,A和8是圓C：(x-I)2+y2=1上的兩點，且4B=V2，

點P(2,l),則2|方一而|的取值范圍是()

A.[V5-V2,V5+V2]B.[V5-1,7^5+1]

C.[6-2V5,6+2V5]D.[7-2710,7+2710]

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

11.復數z="為虛數單位)，則z的虛部為______.

1—21

2

12.雙曲線餐—y2=1的兩條漸近線的方程為.

13.已知(ax+1)5的展開式中第四項的系數是10,則實數a的值是.

14.定義：如果函數/'(%)在[a,b]上存在句，x2(a<xI<x2<b),滿足/'(xj=八不)=

管祥，則稱數為，久2為口3上的“對望數”，函數/'(%)為回勾上的“對望函數”，

給出下列四個命題：

(1)二次函數/(x)=x2+nlx+n在任意區(qū)間a句上都不可能是“對望函數”；

(2)函數/"(>)=5/―/+2是[0,2]上的“對望函數”；

(3)函數/Q)=x+s譏x是成，詈]上的“對望函數”；

第2頁，共21頁

(4)/Q)為［a,句上的“對望函數”，則/(%)在［a,加上不單調

其中正確命題的序號為(填上所有正確命題的序號)

三、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

15.已知C是平面A8O上一點，ABLAD,CB=CD=1.

①若荏=3而，則荏?而=_(1)_;

@AP=AB+AD＜則|都|的最大值為一(2)_.

四、解答題(本大題共6小題，共85.0分)

16.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB.

(I)判斷△ABC的形狀；

191

(口)若/(0=-cos2x--cosx+-,求/'(4)的取值范圍.

17.某銀行的工作人員記錄了3月1號到3月15日上午10：00在該銀行取號后等待辦

理業(yè)務的人數，如圖所示：

從這15天中，隨機選取一天，隨機變量X表示當天上午10：00在該銀行取號后等

待辦理業(yè)務的人數.

(I)請把X的分布列補充完整；

X891011121314

111

P

3515

(口)令〃為*的數學期望，若P(4-7i〈XW〃+n)>0.5,求正整數〃的最小值；

(IE)由圖判斷，從哪天開始的連續(xù)五天上午10：00在該銀行取號后等待辦理業(yè)務

的人數的均值最大？(結論不要求證明)

18.如圖，四邊形488和三角形ACE所在平面互相垂直AB1BC,乙DAB=

60°,AB=AD=4,AE1DE,

AE=DE,平面ABE與平面CDE交于EF.

(I)求證：CD//EF；

(11)若后F=(?。，求二面角A-BC-尸余弦值:

第4頁，共21頁

19.已知函數f(%)=x(lnx+1).

(I)求函數/(%)的單調區(qū)間；

(n)求證：曲線y=/'(%)在點(%0，/(%0))處的切線不經過原點；

(HI)設整數k使得/(x)-｝對xe(0,+8)恒成立，求整數人的最大值.

20.已知橢圓C：5+《=l(a>b>0)的一個焦點為F(l,0)，離心率為為橢圓C

的左頂點，P,。為

橢圓C上異于A的兩個動點，直線AP,A。與直線/：%=4分別交于〃，N兩點.

(I)求橢圓C的方程；

(口)若422尸與4「"尸的面積之比為3,求例的坐標；

(HI)設直線/與x軸交于點R,若尸，F,。三點共線，求證：AMFR=Z.FNR.

21.設數列｛an｝的前〃項和為％,若對任意的正整數〃，總存在正整數“使得%=am,

則稱｛%｝是“H數列”.

(1)若數列｛。"的前"項和為Sn=2n(neN*),證明：｛&｝是“4數列”；

(2)設｛%｝是等差數列，其首項的=1,公差d<0,若｛斯｝是“〃數列”，求d的

值；

(3)證明：對任意的等差數列｛斯｝,總存在兩個數列”｛%｝和｛7｝,使得％=bn+

cn(nGN*)成立.

第6頁，共21頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根據題意，lg(x-1)<0=^0<X-1<1=>1<X<2,

則集合M-{x|lg(x-1)<0}={x|l<x<2},

|x|<2=>-2<x<2,則N={x||x|<2]={x|-2<x<2),

則MUN={x|-2<xW2}=(-2,2]；

故選：C.

求出集合M、N,由并集的定義計算可得答案.

本題考查集合并集的計算，關鍵是掌握集合并集的定義.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等比數列的性質是解決本題的關鍵，屬

于基礎題.

根據充分條件和必要條件的定義結合等比數列的性質進行判斷即可.

【解答】

解：若“，b,c,4成等比數列，則ad=be,

反之數列-1,-1,1,1.滿足一1x1=x1,

但數列-1,—1,1,1不是等比數列，

即“ad=be”是“a,b,c,4成等比數列”的必要不充分條件.

故選：B.

3.【答案】D

y

【解析】解：設2*=3=log4z=k>0,

k

則x=log2k,y=log3/c,z=4,

kk

則易得：4>log2/c,4>log3k,

即z>x,z>y,

故選：D.

kk

由指數、對數值比較大小得：x=log2/c,y=log3/c,z=4,則易得：必>log2/c,4>

log3/c,得解.

本題考查了指數、對數值比較大小，屬簡單題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用頻率分布直方圖求平均數、中位數，考查運算求解能力，是基礎題.

利用頻率分布直方圖分別求出甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數和平均數，由此

能求出結果.

【解答】

解：由頻率分布直方圖得：

甲地區(qū)[40,60)的頻率為：(0.015+0,020)X10=0.35,[60,70)的頻率為0.025X10=

0.25,

???甲地區(qū)用戶滿意度評分的中位數mi=60+琮箸X10=66,

甲地區(qū)的平均數X=45x0.015x10+55x0.020x10+65x0.025x10+75x

0.020x10+85x0.010x10+95x0.010x10=67.

乙地區(qū)[50,70)的頻率為:(0.005+0,020)x10=0.25,[70,80)的頻率為：0.035x10=

0.35,

???乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數62=7。+琮箸x10x77.1,

乙地區(qū)的平均數S2=55x0.005x10+65x0.020x10+75x0.035x10+85x

0.025x10+95x0.015x10=77.5.

???<m29Si<s2.

故選：c.

5.【答案】B

【解析】解：根據三視圖可知幾何體是直三棱柱截去

三棱錐4-DEF所得的幾何體，即Z—BC尸E,

直觀圖如圖所示：

底面△ABC、△DEF是等腰直角三角形，直角邊是4,

BE=4,BC=4V2,AE=AF=4V2.

且4B1平面ACF,

第8頁，共21頁

:該幾何體的體積V=1x4x4x4-ix|x4x4x4=y,

故選:B.

由三視圖知該幾何體是直三棱柱截去一個三棱錐而成，由三視圖求出幾何體的棱長、判

斷出線面的位置關系，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積.

本題考查由三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間

想象能力.

6.【答案】C

【解析】解：根據題意，函數/(x)是定義在R上的奇函數，且在區(qū)間(-8,0］上單調遞

減，

則/'(X)在［0,+8)上也是減函數，

則/(X)在R上為減函數，

又由=則/(-1)=一/(1)=1,

又由g(x)=log2(x+3),有x+3>0,即x>-3,函數的定義域為(一3,+8),在其定

義域上，g(x)為增函數，

設/Q)=f(x)—g(x),其定義域為(-3,+9),

分析易得F(x)在(―3,+8)上為減函數，又由尸(―1)=f(—1)—^(—1)=1—1=0,

F(x)>0=>—3<x<—1,

則/'(x)>g(x)=>F(x)>0=>-3<%<-1,即不等式的解集為

故選：C.

根據題意，由函數奇偶性的性質可得f(x)在R上為減函數以及/(-1)=1,結合對數函

數的性質可得gO)=1。82(%+3)的定義域為(-3,+8),在其定義域上，g(x)為增函數，

設尸(x)=f(x)-g(x),易得尸(x)在(-3,+8)上為減函數，又由尸(一1)=〃一1)一

g(-l)=1-1=0,進而可得F(x)>0=>-3<x<-1,據此分析可得答案.

本題考查函數奇偶性與單調性的判定，涉及對數函數的性質，注意分析函數的定義域,

屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

依題意，斯=[(匕3a)n)l°a，n<6,｛an｝是遞減數列，可知0<a<1,

E，律>6(a6>a7

解之即可得答案.

【解答】

n

解：匕一?：l°Q'"6(neN*),且｛an｝是遞減數列,

(1-3Q<0(Q>：

.?.[O<Q<1,即"vaVl，

解得|va<.

故選D

1-3Q<0

本題考查數列的函數特性，求得0<a<l是關鍵，也是難點，考查理解與轉化能力,

。6〉a7

屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：將正整數1,2,3,4,5,6,7隨機分成兩組，使得每組至少有一個數，

共有分法：6+G+廢=63種；

其中滿足兩組中各數之和相等的分法如下4種：①1,2,4,7；3,5,6.②1,3,4,

6；2,5,7.③1,6,7；2,3,4,5.④1,2,5,6；3,4,7.

???兩組中各數之和相等的概率P=白

故選艮

恰當分組，利用分類加法原理和古典概型的概率計算公式即可得出.

熟練掌握分類加法原理和古典概型的概率計算公式是解題的關鍵.

9.【答案】D

【解析】解：如圖，原題等價于在平面直角坐標

系》?！分校c4(3,3),P是第一象限內的動點，

滿足P到x軸的距離等于點尸到A的距離，則點

P的軌跡上的點到x軸的距離的最小值是多少.

設P(x,y),則y=J(x-3)2+(y-3)2,化簡得

(x-3)2-6y+9=0.

第10頁，共21頁

貝I」6y=(X-3)2+9>9,即y2|.

故點P的軌跡上的點到A的距離的最小值為|.

故選：D.

由題意畫出圖形，原題等價于在平面直角坐標系中，點4(3,3),P是第一象限內的

動點，滿足P到x軸的距離等于點P到A的距離，則點尸的軌跡上的點到x軸的距離的

最小值是多少.設出P點坐標，由題意求得P點軌跡，求得y的范圍得答案.

本題考查軌跡方程的求法，考查數學轉化思想方法，化空間問題為平面問題是關鍵，屬

難題.

10.【答案】A

【解析】解：由于=取A8的中點M,所以CM=底,且

2

延長MA至12，

使得MQ=3MA=誓，

所以2兩—麗=兩+萬一兩=而+而+麗=而+3雨=麗+麗=所，

由于QC=y/MC2+MQ2=V5，

所以。的軌跡是以C為圓心，遍為半徑的圓，

所以PC=J(2-1)2+(1-0)2=y/2,

故國|C[V5-V2,V5+V2]?

如圖所示：

故選：A.

直接利用向量的線性運算，軌跡方程的應用求出結果。

本題考查的知識要點：向量的線性運算，軌跡方程的應用，主要考查學生的運算能力和

數學思維能力，屬于中檔題。

11.【答案】I

［解析］解.Z=—=(1+0(1+20=--+-i,

L,h1/l1嶺i-2i(l-2i)(l+2i)55'

z的虛部為|.

故答案為：|.

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

12.【答案】x+V3y=0

【解析】解：雙曲線9-y2=1的兩條漸近線的方程為：x±V3y=0.

故答案為：x+V3y=0.

直接利用雙曲線的漸近線的求法，求解即可.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，漸近線的求法，是基礎題.

13.【答案】±1

【解析】解：9彳+1)5的展開式的通項公式為7；+1=很(。刈5-?',

因為(ax+1)5的展開式中第四項的系數是10,

所以或a2=io,解得a=±i.

故答案為：±1.

利用二項展開式的通項公式，求出第四項的系數，列出方程，求解a的值即可.

本題考查了二項式定理，解題的關鍵是掌握二項展開式的通項公式，考查了運算能力,

屬于基礎題.

14.【答案】⑴,(2)

【解析】解：(1)設二次函數/。)=/+小乂+正在區(qū)間口口上是“對望函數”，

(g)

則/'■)=/=2x1+m=2X2+m,：.xr=x2,與定義不符，

故二次函數/(%)=/+mx+n在任意區(qū)間阿b］上都不可能是“對望函數”，(1)正確;

⑵：函數/(%)=^%3-X2+2,

"(X)=%2-2%,f(a)-f(?=f(°)-"2)=2-(〉)=:，

a-b0-20-23

第12頁，共21頁

令/-2%=-［,解得：X1=U,小=勁?

313z3

而0<Vx2V2,

故/(%)是［0,2］上的“對望函數”,(2)正確;

(3)??,函數f(%)=x4-stnx,

膽)_/(瑪)3

???/'(x)=1+COSX,6工_理6=—-1,

6-6

令1+cosx=—■—1,???cosx=—■—2<—1,無解，

57r57T

故〃x)=x+s譏x不是已當］上的“對望函數”，(3)錯誤；

(4)若f(x)為口勾上的“對望函數"，則/"'(%)=0在阿勾上有兩個不相等的實根，

但/'GO在回切可能單調，比如上式(2),故(4)不正確；

其中正確命題的序號為(1),(2),

故答案為：(1),(2).

根據函數的定義結合二次函數性質判斷(1),根據函數的導數判斷(2),根據三角函數的

性質判斷(3),根據定義判斷(4)即可.

本題是一道新定義函數問題，考查對函數性質的理解和應用.解題時首先求出函數

的導函數，再將新定義函數的性質轉化為導函數的性質，進而結合函數的零點情況確定

所滿足的條件，解之即得所求.屬于中檔題.

15.【答案】一:

4

2

【解析】解：①?.?荏=3而，為A3的靠近A的三等分點,

-ADLAB,CD=1,

???Z.ACD=60°,

二值而=|xlxcosl2(T=/

②???CB=CD=1.

??.C位于8。的中垂線上，

.?.當C為B。的中點時，8。取得最大值2.

j\°

VAB1ADr

\AP\=\AB+AD\=\AB-AD\=BD<2.

根據向量的幾何意義作出幾何圖形，得出各點的位置關系，從而得出答案.

本題考查了平面向量的線性運算，結合向量的幾何意義求解，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)法1：asinB—bcosC=ccosB,

由正弦定理可得：sinAsinB—sinBcosC=sinCcosB.

即sinasinB=sinCcosB+cosCsinB,

???sin(C+8)=sinAsinB,

?:在△48C中，A+B+C=%,即C+8=TT—A,

???sin(C+B)=sinA=sinAsinBf又H0,

TT

???sinB=1,即8=

則448c為B=抻直角三角形；

法2：???asinB—bcosC=ccosB,

由余弦定理可得asE4=b.青+c.安,

整理得：asinB=a,

???QH0,???sinB=1,

???在△ABC中，8=]

則4ABC為B=]的直角三角形；

2

(kn)Vf\(x/)—2-cos2x-3-cosx+-2=cos%-3-cosx

第14頁，共21頁

=(C0SX-i)2-i,

???f(A)=(COSA-1)2-i,

???△ABC為B=三的直角三角形，

■■■0<A<^,且0<cosA<1,

.?.當cos4=［時,/(A)有最小值是-

則/(4)的取值范圍是［一§》

【解析】(I)法1：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函

數公式及誘導公式變形，根據sinA不為0,可得出sinB=l,利用特殊角的三角函數值

得到8為直角，即可判斷出三角形A8C為直角三角形；

法2：利用余弦定理化簡已知的等式，整理后根據。不為0,得到sinB=l,利用特殊

角的三角函數值得到B為直角，即可判斷出三角形ABC為直角三角形；

(11)把/(為解析式第一、三項結合，利用二倍角的余弦函數公式化簡，得到關于cosx

的二次函數，配方后利用二次函數的性質及余弦函數的值域，即可得到/(A)的范圍.

此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，余

弦函數的定義域與值域，以及二次函數的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.

17.【答案】解：(/)根據題意知，把X的分布列補充完整如下；

X891011121314

1211211

P

315515151515

................(4分)

(n)由(/)可得x的數學期望為

1211211

E(X)=8xi+9x—+10x-+llx-!-+12x—4-13x—+14x—=10,

V7315515151515

所以〃=10;

因為P(10-1<X<1O+1)=^=|<0.5,

P(10-2<X<10+2)=廿二*=Y|>0.5,

所以n=2；................(10分)

(HI)由圖判斷，從第10日或第11日開始的連續(xù)五天上午10：00,

在該銀行取號后等待辦理業(yè)務的人數均值最大.（13分）

【解析】(/)根據題意把X的分布列補充完整即可；

(n)計算x的數學期望，求出〃、〃的值；

(巫)由圖中數據分析即可得出結論.

本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是綜合題.

18.【答案】(I)證明:因為AB//CD,

ABu平面ABE,CDC平面A8E,所

以CD〃平面ABE,

因為平面4BEn平面COE=EF,

CDu平面CDE,所以CD〃E尸；

(口)解：過C作CM〃4D,交AB于

M,因為4B〃CD,所以四邊形AMC。為平行四邊形，

所以MC=AD=4,所以NCMB=Z.DAB=60°,于是MB=MC=2,

取中點O,8c中點N,連接ON交于H,連接F”、FN,

所以CD//ON//AB,CD=OH,OELAD,

又因為平面ABC。J"平面ADE,平面ABC。n平面ADE=AD,所以OEJ■平面A8C￡),

因為CE〃EF,EF=CD,所以EF〃OH,EF=OH,所以四邊形EFH。為平行四邊形,

所以FH〃OE,FH=OE=^-AD=2,于是FH1平面ABC。，

因為4B1BC,所以HN1BC,

因為"V為FN在平面ABC。內投影，所以BC1FN,

所以NFNH為二面角A-BC-F的平面角，

因為尸N=>JFH2+NH2=V22+I2=V5,

所以二面角4-BC-尸余弦值為黑=%=￡

FNV55

【解析】(I)先證明CO平行于平面ABE,再證明CO平行于平面ABE與平面CDE交

于EF；(II)尋找二面角的平面角，再解直角三角形求解.

本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題.

19.【答案】解：(/)函數的導數為/(%)=2+Inx,由尸(x)=。得x=e-2,

由f'(x)>0?得x>eR所以/(x)在(e-2,+8)上單調遞增，

由((x)<0.得0<x<e~2,所以/Q)在(0,e-2)上單調遞減.

第16頁，共21頁

(口)由(1)得曲線y=/(%)在點(&/(&))處的切線為y-<(&)=/(&)(%-&)，其中

%0>0，

假設y=f(%)在點(%o，/(&))處的切線經過原點.

則有0一f(%o)=/(xo)(O一g),即一％。(仇々)+1)=(2+)%o)(-%o),

整理得&=0與&>0矛盾，

則曲線y=/(%)在點(%0，/(々)))處的切線不經過原點；

(IH)f(x)>k(x-》對％G(0,+8)恒成立等價于“當X>0時，/(x)-k(x-|)>0恒成

立.

令g(x)=/(x)—貝ijg'(x)=bix+2-k.由g'(x)=0,得％=*-2,

隨著x變化，g(x),g'(x)的變化情況如下表所示：

X(0,ek-2)ek~2(ek-2,+oo)

g'Q)—0+

g(x)1極小值T

所以g(x)在(0,”-2)上單調遞減，在

(以-2,+8)上單調遞增，所以函數g(x)的最小值為g(e~2)=]k一環(huán)-2NO,

令h(k)=—ek~2,則九(2)=|x2—e2~2=1—1=0.

當A=2時，因為g(x)的最小值為值g(eb2)=g(i)=0,

所以f(x)>k(x-》恒成立，符合題意；

當%>2時.由九'(卜)=|一e&-2<g-e?-2<o,得函數h(k)=gk-環(huán)菖，在(2,+8)上

單調遞減，所以八(k)</i(2)=0,

故此時g(x)的最小值g(ek-2)=h(k)<0,不符合題意，

所以整數上的最大值是2.

【解析】(I)求函數的導數，結合函數單調性和導數之間的關系進行求解即可

(n)利用導數的幾何意義求出切線方程，利用反證法進行證明

(皿)將不等式進行轉化，構造函數，求出函數的最小值進行證明即可

本題主要考查導數的綜合應用，結合函數的單調性和導數的關系以及導數的幾何意義求

出切線方程是解決本題的關鍵.考查學生的運算能力.

20.【答案】(I)解：由題意得c=1，又2=I)

解得Q=2,c=1.

va2—b2=c2,:.b2=3.

橢圓C的方程為光+日=1；

43

(n)解：MPa尸與△PMF的面積之比為，

\AP\=-\PM\,則屁=工祠.

56

設M(4,zn)(mH0),P(x,y),則(沏+2,y())=

00o

解得沏=-l.yo=7o-

將其代入蘭+乃=1，解得m=±9.

43

M的坐標為(4,9)或(4,一9)；

(HI)證明：設M(4,m),N(4,n),P(,x0,y0'),

若?i=0,則P為橢圓C的右頂點，由P,F,。三點共線知，Q為橢圓C的左頂點,

不符合題意.

:，m豐0.同理0大0.

直線AM的方程為'=藍。+2).

y=￡(%+2),

由%22消去y,整理得(27+62)/+462%+(4巾2-108)=0.

—I—y=1

.43

△=(4m2)2—4(27+m2)(4m2—108)>0成立.

由一2沏=若滬解得、。=失富

7。=眈。+2)=器.

俎口,54-27n218m、

,守產(27+伽2，27+3?

當|m|=3時，|n|=3,安誓=1，即直線PQ，x軸.

由橢圓的對稱性可得|MR|=\FR\=\NR\=3.

第18頁，共21頁

又???乙MRF=乙NRF=90°,

:.匕MFR=Z.FNR=45°.

當|?n|。3時，|九|H3,

18m_0

直線尸產的斜率%"=第==黑?

27+m2

同理心(2=墨?

???p,凡Q三點共線，，黑=墨，得nm=-9.

在Rt△MRF和Rt△NRF中，tanzMF/?=黑=等，tan乙FNR=鵠=。=粵，

|rnI3|/vnI|7l|3

AtanzMF/?=tan乙FNR.

v/.MFR,々FNR均為銳角，

???匕MFR=乙FNR.

綜上，若P,F,。三點共線，則乙MFR=^FNR.

【解析】(I)由題意得c=1,結合離心率求得“，再由隱含條件求得b,則橢圓方程可

求；

(口)由APAF與△PMF的面積之比為3可得而=；宿.設M(4,m)(mro),P(x,y),

5600

則(而+2,y0)=求得出=-l,y0=晟.將其代入日=1,解得m=±9.則M

o0