2022年新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考點(diǎn)第07講 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義(基礎(chǔ)訓(xùn)練)(解析版)

第07講導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.若函數(shù)y=『(x)在x=xo處可導(dǎo)，則lim，(日廣")一/&一〃)等于()

/ioh

A.f'(xo)B.2f\m)C.~2f\xo)D.0

【答案】B

【分析】

轉(zhuǎn)化為］im"x。+')一了("。)+lim"x?！?)―/(/),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得解.

/TOhT?->O—h

【詳解】

/ioh

=lini/(X。+/?)一/(X。)+/(X。)一/(X?！猦)

>oh

_,.f^+h)-f(x)+f(x)-f(x-h)

-iim0000

20h

=lim/(x°+”)—/(Xo)+lim/(X。j)7(Xo)

hT。h-hT°—h

/(x0+Ax)-/(x0)/(x0+Ar)-/(x0)

=lim--------------4-----------+lim--------------4--------

——°AJT&t-?oAY

=21伍)

故選B.

2.如圖，函數(shù)y=/(x)在口，5］上的平均變化率為()

11

A.—B.----C.2D.—2

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)平均變化率的定義字='㈤'㈤計(jì)算即得?

?.Vx2-%）

【詳解】

Q45）7⑴———1

嬴—一rn-—5-1一2'

故選B.

3.若函數(shù)“X）可導(dǎo)，則媽里嘿2%等于（）

A.-2r⑴B.力⑴c.-|r（i）D.

Z乙咱

【答案】C

【分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義得lim川+（_A、）］_&=f（I）,根據(jù)

AX->O-AX

lim/（13-/⑴=_llim川+（3）］-/⑴,即可求出結(jié)果.

&?-->（）2Ax2——Ax

【詳解】

.J3生」lim+=.

Ax->o2AX2A—o-Ax2

故選：C.

4.已知曲線y=xlnx,若/'（玉））=2,則/=（）

In2-,,

2

A.eB.eC.D.］n2

【答案】B

【分析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知即可求出?

【詳解】

由y=xlnx可得y0=lnx+1,

則/'(Xo)=lnxo+1=2,解得/=e.

故選：B.

5.已知函數(shù)〃力=/+以，若血貝ija=()

△XTOAX

A.36B.12C.4D.2

【答案】c

【分析】

根據(jù)函數(shù)在X。處的導(dǎo)數(shù)的定義將］im/(2心°―/(一6")變形為

△XT。Ax

3lim/3x)-/(-△［=3/⑼即可求解.

23Ax、)

【詳解】

解：根據(jù)題意，/(X)=X4+OX,則/'(xbdd+Q,則/〈0)=々，

廠］./(2Ax)-/(-△%)

右lim-----------------=12，則

△”?！?

lim但上止生1=3lim/STS)=3/(。)=12，

△xfOAJCAxfO3Ax

則有3a=12,即a=4,

故選：C.

6.若函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程是y=x-l,則/⑵+八2)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

由切點(diǎn)在切線上可得，可得/(2)=2-1=1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義，導(dǎo)數(shù)值就是該點(diǎn)處的切線的斜率

尸(2)=1,即可得解.

【詳解】

函數(shù)y=于(X)的圖象在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程是y=x-\,

可得/(2)=2-1=1,/'⑵=1,

則/⑵+.(⑵=2.

故選：B.

7.已知函數(shù)〃x)=(x-l)(x-2)(x—3),則曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為()

A.y-x+2B.y=-x+2C.y-x-2D.y=-x-2

【答案】B

【分析】

求得函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)=(x-2)[(x-l)(x-3)],

可得/'(x)=(x—l)(x—3)+(x—2)[(x—l)(x—2)丫,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,0)處切線的斜率為k=/'(2)=-1,

所以切線方程為y-0=-(x-2),即y=-x+2.

故選：B.

/X

8.函數(shù)/(x)=《--2e,圖像的切線斜率為鼠則Z的最小值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

出

/(尤)=2e*nf(x)=*-2ex=>k=(e'-l)2-l，

當(dāng)d=1時(shí)，即當(dāng)x=0時(shí)，%有最小值，最小值為一1，

故選：B

9.曲線/5)=2/一產(chǎn)在(0,/(0))處的切線方程為()

A.y=x+lB.y=x-l

C.y=-x+lD.y--x-\

【答案】D

【分析】

求導(dǎo)可得/'(幻=4%-^,代入犬=0,可求得切線斜率k,又/(0)=-1,代入點(diǎn)斜式方程，即可求得答案.

【詳解】

由題意得：f\x)=4x-ex,

所以切線的斜率左=f'(0)=-1,又/(0)=-1,

所以切線方程為：y-(-l)=-(-x-O),即y=-x—1.

故選：D

10.若直線y=gx+6是函數(shù)/(x)的一條切線，則函數(shù)/(x)不可能是()

A./(x)=evB./(x)=x4C./(x)=sinxD./(x)

【答案】D

【分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：若切點(diǎn)為(X。,%)則/'(%)=g，結(jié)合各選項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)確定是否存在切點(diǎn).

【詳解】

由題設(shè)知：若切點(diǎn)為(為,為),則/'(豌)=；，

1

1

一

一-

A：/(%)=/2

B：r(/)=4￡

C：f'(x0)=cosx0=—,有=2ZTT±5(ZeZ)；

*,,、11

D：/(%)=-^=彳，顯然無解.

/2

故選：D.

11.函數(shù)於)=犬3-7/+而&-4)的圖象在點(diǎn)(4,/(4))處的切線斜率為()

【答案】C

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)槭╔）=3X2/4X+COS（X-4）,所以所求切線的斜率為/'（4）=3x16-14x4+1=-7.

故選：C

12.曲線y=ei—2sin（5x）在點(diǎn)（1,—1）處的切線方程為（）

A.x-y=OB.ex—y-e+l=O

C.ex—y-e-l=OD.x-y-2=0

【答案】D

【分析】

根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】

因?yàn)閥=e*T-2sin（］x）,所以y'=一JTCOS（］x）,當(dāng)x=l時(shí)，y'=l，所以曲線丁=e*T-2sinf|'X）

在點(diǎn)（1,一1）處的切線的斜率&=1,所以所求切線方程為y+l=x-l,即x—y-2=0.

故選：D

13.已知函數(shù)“X）的圖象如下所示，/'（X）為"X）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)圖象判斷下列敘述正確的是（）

A.r(xj</"(x2)B.f(x,)>f(x2)

C.f(x,)<f(x2)<0D./(%,)>/'(與)>。

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)圖象，即可判斷廣（為）與/（々）、/（西）與/（々），及其與o的大小關(guān)系.

【詳解】

,,

由曲線上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)切線的斜率，結(jié)合圖象知：/（xl）＞/（x2）＞0,而/（玉）＜0＜/（々），

故選：B.

14.某廠家生產(chǎn)的新能源汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2s內(nèi)完成剎車，其位移力（單位：m）

關(guān)于時(shí)間：（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為〃“）=—尸一27+弓，則〃'?）的實(shí)際意義是（）

A.汽車剎車后1S內(nèi)的位移B.汽車剎車后1S內(nèi)的平均速度

C.汽車剎車后1S時(shí)的瞬時(shí)速度D.汽車剎車后1S時(shí)的瞬時(shí)加速度

【答案】C

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷.

【詳解】

由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

故選：C.

15.函數(shù)〃力=V-7/+1的圖象在點(diǎn)（4,7（4））處的切線的斜率為（）.

A.—8B.—7C.6D.—5

【答案】A

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可

【詳解】

解：由/（x）=V-7/+1,得/（x）=3f-14x,則/（4）=3x42-14x4=-8,

所以函數(shù)=d-7d+l的圖象在點(diǎn)（4,7（4））處的切線的斜率為-8,

故選：A

16.設(shè)直線/是曲線/（x）="+cosx在點(diǎn)（0,2）處的切線，則直線/與文軸,），軸圍成的三角形面積為（）

A.2B.1C.—D.4

2

【答案】A

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閒（^）=ex+cosx,所以/'（無）="-sinx,

所以r（0）=e°—sin0=l,

所以直線/的方程為V—2=》-0,即y=x+2,

令x=0,得y=2,令y=0,得*=一2,

所以直線/與x軸，y軸圍成的三角形面積為gx2x2=2.

故選：A

17.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（/SMCNew3，1643-1727）在《流數(shù)法》一

書中給出了牛頓法-用“做切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程/（x）=0的根就是函數(shù)/（x）的零點(diǎn)r,

取初始值4處的切線與x軸的交點(diǎn)為七，/（x）在西的切線與x軸的交點(diǎn)為々，一直這樣下去，得到七,

百，％…，與，它們越來越接近，.若%=2,則用牛頓法得到的「的近似值々約為（）

B.1.417D.1.375

【答案】B

【分析】

利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程，結(jié)合牛頓法求得乙.

【詳解】

/（X）=X2-2,/（X）=2X,

42）=4-2=2,/（2）=4,在點(diǎn)（2,2）的切線方程為丁—2=4（%一2）,令y=0解得玉=j

3J_的切線方程為y—；=313

3,在點(diǎn)

254

令y=0解得々=1.417.

故選：B

18.函數(shù)/。）=/一7爐+1的圖象在點(diǎn)（4,7（4））處的切線斜率為（）

A.-8B.-7C.-6D.-5

【答案】A

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率.

【詳解】

因?yàn)?'（X）=3x2-14x,所以所求切線的斜率為/'（4）=3x16-14x4=-8.

故選：A

19.曲線y=2x-d在％=一1處的切線方程為（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0

C.x-y+2=0D.x-y-2=Q

【答案】A

【分析】

利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】

x=—l時(shí)，y=-2+l=-l,故切點(diǎn)為（一1,一1）,

y=2-3x2,當(dāng)x=—1時(shí)，y=2-3=—1>

所以切線方程為y+l=-l（x+l）,即x+y+2=0.

故選：A

20.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S=*+]0,其中s的單位是米，，的單位是秒，那么物體在4秒末的瞬時(shí)速度是

（）

A.4米/秒B.6米/秒C.8米/秒D.10米/秒

【答案】c

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)速度.

【詳解】

S'=2t,當(dāng)，=4時(shí)，S'=8,即物體在4秒末的瞬時(shí)速度是8米/秒.

故選：C

21.已知曲線G：/（x）=e*+a和曲線G:8（6=m（%+份+。2（。,匕€11）,若存在斜率為1的直線與G，

C2同時(shí)相切，則b的取值范圍是（）

A.-j,+ooIB.[0,+oo）C.（F,l]9

D.-00,—

4.

【答案】D

【分析】

分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分別設(shè)直線與兩曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于斜率為1即導(dǎo)數(shù)值為1分別求出

切點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得切線方程，再根據(jù)切線方程系數(shù)相等得。與4的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出匕

的取值范圍.

【詳解】

r（x）=e\腔（x）=S，設(shè)斜率為1的切線在G，上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為王，工2，

X1八

由題知？'=---7=11，，玉=0，%=1-6,

x2+b

兩點(diǎn)處的切線方程分別為＞一（1+。）=工和y-/=%一。一。），

（1丫99

故。+1=。2-1+人，即人=2+。一。2=—a——.

I2；44

故選：D.

22.已知點(diǎn)尸（。,。）是曲線C：），=；■?_；/+]上的點(diǎn)，曲線。在點(diǎn)p處的切線平行于直線6x-3y-7=0,

則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

【答案】A

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)并把X=。代入令其值等于2可求得?？傻么鸢?

【詳解】

=—x3——X2+1,

32

.，2

?.y-x-x,

曲線C在點(diǎn)P處的切線平行于直線6x-3y-7=0,

2

結(jié)合題意得：y'\x=a=a-a=2,

解得：4=2或。=一1,

當(dāng)a=2時(shí)，ZJ=-X23--X22+1=-,

323

切點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,代入6x2—3x3—7=0,所以不合題意，舍去,

b=；x(T)3_gx(_l)2+]=]_

當(dāng)。二一1時(shí),

6

切點(diǎn)坐標(biāo)為,代入6x(-1)—3X」—7H0,

6

故選：A.

23.曲線y=2cosx+sinx在（肛-2）處的切線方程為（）

A.x-y+7r—2=0B.x-y—萬+2=0

C.x+y+%-2=0D.x+y—4+2=0

【答案】D

【分析】

先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切點(diǎn)求得斜線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得方程.

【詳解】

y'=-2sinx+cosx

當(dāng)工=4時(shí)，左=-2sin?+cos；T=-l

所以在點(diǎn)（乃，一2）處的切線方程，由點(diǎn)斜式可得y+2=—lx（x—4）

化簡可得X+>-"+2=0

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.

24.設(shè)曲線=和曲線g(x)=cosm+c在它們的公共點(diǎn)"(0,2)處有相同的切線，則

h+c-a的值為()

A.0B.1

C.-2D.3

【答案】D

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知/'(o)=g'(0),可求得a；根據(jù)M(0,2)為兩曲線公共點(diǎn)可構(gòu)造方程求得b,c,

代入可得結(jié)果.

【詳解】

?：f\x)=aex,g,(x)=--^sin^,/,(0)=a,g<0)=0,，a=0，

又"(0,2)為與g(x)公共點(diǎn)，.?./(0)=b=2,g(0)=l+c=2,解得:c=l,

Z?+c—a=2+l—0=3.

故選：D.

25.己知aeR,設(shè)函數(shù)/(幻="一111了+1的圖象在點(diǎn)(1,八1))處的切線為/,則/過定點(diǎn)()

A.(0,2)B.(1,0)C.(l,a+l)D.(e,l)

【答案】A

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)兒何意義求出切線方程，化成斜截式，即可求解

【詳解】

由/(x)=ax—lnx+ln/'(x)=a--,/'(l)=a-l,/(l)=a+l,故過(1,7(D)處的切線方程為：

y=(4—l)(x-l)+a+l=(a-l)x+2,故/過定點(diǎn)(0,2)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程，直線過定點(diǎn)問題，屬于簡單題

26.若函數(shù)/(x)=Inx+x與g(x)=生士的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線y=2x+1平行,

x-l

則實(shí)數(shù)"?=()

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

【答案】A

【分析】

設(shè)函數(shù)〃%)=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(%，為)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)/'(%)=2求出切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方

程，設(shè)函數(shù)g(x)=^￥的圖象上的切點(diǎn)為q，x)(x尸1),根據(jù)g'(%)=2,得到根=2#一4%+4,

X-1

八2x,-m

再由2x「l=_=,即可求出國，從而得解：

玉-1

【詳解】

解：設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(%,%),因?yàn)?*)=工+1,所以尸(%)='+1=2,得%=1,

X冗0

所以為=/(/)=/(1)=1，所以切線方程為y-l=2(x-l),即y=2x-l,設(shè)函數(shù)g(x)=在二/的圖象

X-Y

上的切點(diǎn)為(芭，因?yàn)間'(x)=2。])一；?一機(jī))=,所以8，(玉)=產(chǎn)今=2,即

(x-1)-U-1)-Ui-1)

加=2x；-4X1+4,又必=2%|-IngOiXNl1~即相=-2x；+5X|-1,所以

2x；—4%]+4=—2x「+5Xj—1,即4x；—9%+5=0,解得玉=1或西=1(舍)，所以

c(5丫5,17

m=2x--4x—+4=—.

⑷48

故選：A

27.曲線/(x)=<2￥—無Inx在點(diǎn)處的切線與直線x+y=0垂直，則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】

求得了(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得。的方程，解方程可得所求值.

【詳解】

解：f{x}=ax-xlnx的導(dǎo)數(shù)為/'(*)=。-1一/公，

可得在點(diǎn)(1,7(1))處的切線的斜率為k=/'(1)=,

由切線與直線x+y=O垂直，可得=

解得Q=2,

故選：D.

28.已知定義在(0,+力)上的函數(shù)“X)滿足/(?)=lnx-or,若曲線y=/(力在點(diǎn)處的切

線斜率為2,則/(1)=()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】

先由換元法求出了(X)的解析式，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出。的值，然后可得出/(1)的值.

【詳解】

2

設(shè)/=?，則/(。=21型一。產(chǎn)，/'?)=—-2at.

由/'(1)=2—2a=2,解得a=。,從而=—a=0,

故選:C.

29.設(shè)函數(shù)=一%,則f(x)在(1,0)處的切線斜率為()

A.0B.2C.3D.1

【答案】B

【分析】

先求解出尸(力，然后計(jì)算出r⑴的值即為在(i,o)處的切線斜率.

【詳解】

因?yàn)?1,0)在“X)圖象上且/'(x)=3%2-I,所以/，⑴=3一1=2,

所以/(可在(1,0)處的切線斜率為2，

故選：B.

30.拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,斜率為2的直線機(jī)與拋物線C切于一點(diǎn)A,與準(zhǔn)線/交于點(diǎn)

B,則AAB尸的面積為（）

25

A.15B.—

2

257

C.—D.一

42

【答案】C

【分析】

結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得切線方程，進(jìn)而求得3點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得三角形A5戶的面積.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)A（毛,%）,則y'=gx,y'Lf=（/=2=Xo=4,%=4,可求切線為y=2%一4,

則由「，得8不一1,切線與y軸的交點(diǎn)為C（0,-4）,故

3=-1（2）

°o°I?I31525

S4ABF=5AAFC-5ACBf=2X5X4-2X5X2=10-"T=

故選：C

31.若曲線/（X）=f+Xhu在點(diǎn)（1,7（1））處的切線與直線%-@+1=0平行，則實(shí)數(shù)。的值為（）

11

A.-B.—C.1D.2

32

【答案】A

【分析】

求導(dǎo)/，(x)=2x+l+lnx,進(jìn)而得到了'(1)=3,然后根據(jù)/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線

x—ay+l=0平行求解.

【詳解】

因?yàn)?(x)=f+xlnx,

所以r(x)=2x+l+lnx,

所以/'(1)=3,

因?yàn)?(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線x-ay+1=0平行，

所以二3,

a

解得a=L

3

故選：A

32.韋達(dá)是法國杰出的數(shù)學(xué)家，其貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系，如：設(shè)一元三次方程

c

G？+笈2+6+d=0(。工0)的3個(gè)實(shí)數(shù)根為玉，X2,X3,則芯+超十七=一一,+尤2工3+工3%=—，

aa

中2%,=-].已知函數(shù)/(力=2%3—%+1,直線/與/(x)的圖象相切于點(diǎn)尸■，/(%)),且交/(X)的圖

象于另一點(diǎn)°(々，./■(￡))，則()

A.2X]—々=0B.2內(nèi)一%2—1—0

C.2玉+々+1=0D.2x(+x2=0

【答案】D

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再由切線上的兩點(diǎn)求斜率，建立方程求解即可.

【詳解】

/(])=6%2—1,

/.k=r(玉)=6Xj2-1,

乂直線過點(diǎn)°（工2，/（%2）），

：.k=A%）T（%）=2%3-233+內(nèi)一々=2（/2+尤/+X：）—1

x2-x}x2—x]

2（/2++x「）—1—6%12—1,

2XX-

化簡得X2+122x；=0,

即（龍2+2%）（工2—X]）=0，

,??％W/，

.，.x2+2xl=0,

故選：D

33.函數(shù)f（x）=d—sinx的圖象的切線斜率可能為（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】D

【分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得r（犬）＞-i,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椋▁）=3f—cosxN-cosxN-l（當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），

所以切線的斜率可能為-1,

故選：D.

3

34.已知函數(shù)/（"=必-"+ja的圖象在點(diǎn)A（1J（1））處的切線與直線/:x—3y+2=0垂直，則

/（x）=（）

■■75V

A.x2+5x-3B.x-§x+l

C.x2—5x+3D.x2+x—1

3

【答案】C

【分析】

根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何含義，結(jié)合直線垂直可得/'。)=-3,即可求參數(shù)“，進(jìn)而寫出

【詳解】

由題設(shè)知，f'(x)=2x-a,

???函數(shù)的圖象在A0J。))處的切線與直線/：x—3y+2=0垂直,

.?./'(1)=2-"=1=一3,解得口=5，

3

:./(JC)=X2-5X+3.

故選：C.

’5%，近'，處的切線方程為(

35.函數(shù)/1(x)=2x+cos2x的圖象在點(diǎn)

、運(yùn).

.5萬百八一包+立=0

A.x-y-\--------=0B.x-y-

122122

5萬百包+叵=0

C.X+yH--------=0D.x+y-

12242

【答案】A

【分析】

由函數(shù)解析式可得了'(x)=2—2sin2x、/(一),進(jìn)而求『'("),即可寫出—二處的切線方

【詳解】

由解析式知：/'(x)=2-2sin2x,則(生)=2—2sin2=1,

126

而/哈)5457c57rV3

——+cos——=-------

6662

,r5乃，51處的切線方程為"一浮*日…冷亭

???在——，于

(12

日n5兀八

即x-yd--------=0.

122

故選：A.

36.已知函數(shù)〃x)="—史—4+a,若曲線y=/(x)在點(diǎn)伍"伍))處與直線y=0相切，則。=()

A.1B.0C.-1D.-1或1

【答案】C

【分析】

求出了'(x),由題意可得了'修)=0,/伍)=0,解方程即可求解.

【詳解】

由f(x\=ex—+a,

XX

、x1-lnx1xInx

貝I"'(x)=靖———+—=e+—,

XXX

???曲線y=.f(x)在點(diǎn)(上/(。))處與直線y=o相切，

則/'e)=0,即e%+罕=0,

…、卜,In/71,1

所以e"?/?=-----=一?In—,

bbh

兩邊同時(shí)取以?為底的對(duì)數(shù)，可得In(Z.Z?)=lnQ-ln：J,

B|JIneb+ln0=ln"+ln「n：J,

所以Z7+ln〃=ln』+lnhn』］,

b\h)

設(shè)g(x)=x+lnx,^r(x)=l+—>0,

函數(shù)在((),+8)上單調(diào)遞增，

所以b=In—,即Z?=—lnb,

b

又/(。)=。，所以/(〃)=/—度—」+a=0,

bb

解得a=-l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)得出人=-In力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力.

37.飛輪在制動(dòng)后的，秒鐘時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角的大小伙弧度）可由函數(shù)eQ）=6r-0.5/來模擬，則飛輪從開始

制動(dòng)到完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間（單位：秒）為（）（注：瞬時(shí)角速度0（。="。））

A.6B.8C.9D.12

【答案】A

【分析】

根據(jù)瞬時(shí)速度&Q）=。'什）=0即可得結(jié)果.

【詳解】

由夕?）=6，—0.5*,得完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)即瞬時(shí)速度0（7）=。'"）=6—r=0,解得，=6,

即輪從開始制動(dòng)到完全停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間為6秒，

故選：A.

38.已知直線/與曲線y=/+inx相切，則下列直線不可能與/平行的是（）

A.y=3x-lB.y=1x+\

C.y—y/2x-1D.y=2y/2x+1

【答案】C

【分析】

利用曲線在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值為曲線在該點(diǎn)的切線方程的斜率.對(duì)曲線求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的取值范圍即可得出

切線斜率的取值范圍.即可選出答案.

【詳解】

y=2x+-..2V2,（x>0）,即直線/的斜率上..20，故直線y=&x-l不可能與/平行，故選C

x

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的切線方程.屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)公式是解本題的基礎(chǔ).

39.己知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

y

A.x=l是/（x）的極值點(diǎn)B.導(dǎo)函數(shù)尸（x）在x=-l處取得極小值

C.函數(shù)“X）在區(qū)間（—2,3）上單調(diào)遞減D.導(dǎo)函數(shù)/'（X）在x=0處的切線斜率大于零

【答案】A

【分析】

由/“（X）圖象知/（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，知A錯(cuò)誤；

/'（X）在（一2,-1）上單調(diào)遞減，在（-L1）上單調(diào)遞增，由極值的定義知B正確；

由/'（x）W0在（―2,3）上恒成立可知C正確；

由/的單調(diào)性和在％=0處切線斜率不等于零可知D正確.

【詳解】

對(duì)于A,由圖象可知：當(dāng)xe（0,2）時(shí)，/'（%）40恒成立，在（0,2）上單調(diào)遞減，

.?“=1不是/（%）的極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖象可知：f'（x）在（一2,—1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

."'（X）在尤=一1處取得極小值,B正確；

對(duì)于C,由圖象可知:當(dāng)x?—2,3）時(shí),/'（力、0恒成立，；./（同在（一23）上單調(diào)遞減,

/（x）在（—2,3）上單調(diào)遞減，c正確；

對(duì)于D,（尤）在（-1,1）上單調(diào)遞增，.?._T（x"0在（-1,1）上恒成立;

又由圖象可知：f'（x）在X=O處的切線斜率不等于零，即/"（0）/0,

/'(X)在x=0處的切線斜率大于零，D正確.

故選：A.

40.己知函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，f(x)是函數(shù),f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()

A.2/'(2)</(4)—/⑵<2/(4)

B.2r(4)<2/⑵</(4)一/⑵

C.2r(2)<2/(4)</(4)-/(2)

D./(4)-/(2)<2/(4)<2/(2)

【答案】A

【分析】

由函數(shù)/,(x)的圖象，判斷出它的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)圖象切線斜率的變化情況，判斷/‘(X)的增減性，最

后根據(jù)函數(shù)的凸凹性進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.

【詳解】

解：由函數(shù)f(x)的圖象知，當(dāng)了>0時(shí)，/0)單調(diào)遞增，

/(4)-/(2)>0,

；函數(shù)圖象切線斜率逐漸增大，

.?./'(X)單調(diào)遞增，

尸⑵<尸(4),

二2尸(2)<2/(4),

■■■/0)〈弋、⑵<廣(4),

.?.2/,(2)</(4)-/(2)<2//(4),

故選：A.

二、多選題

41.已知函數(shù)/(x)=V-辦+1的圖象在x=2處切線的斜率為9，則下列說法正確的是()

A.a=3B./'(X)在x=—l處取得極大值

C.當(dāng)xc(—2,1］時(shí)，/(x)e(-l,3］D.〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱

【答案】ABD

【分析】

A由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求參數(shù)a；B利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定是否存在極大值；C根據(jù)B判

斷區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)值、極值，進(jìn)而確定區(qū)間值域；D令g(x)=%3-x,則〃x)=g(x)+l,即可確定對(duì)稱

中心.

【詳解】

A：/f(x)=3x2-a,由題意/'(2)=12—a=9,得a=3’正確；

B：/'(x)=3(x—l)(x+l),由/?x)=0得：x=—1或1，易知在(—「I),(1,-HX))±/^X)>0,/(X)

為增函數(shù)，在(一1,1)上用x)<0,為減函數(shù)，所以“X)在％=-1處取得極大值，正確；

C：由B知：/(-2)=-1,/(-1)=3,/(1)=-1，故在(一2,1］匕的值域?yàn)椋?1,3］,錯(cuò)誤；

D：令g(x)=V一無且為奇函數(shù)，則/(x)=g(x)+l,而g(x)圖象關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱,所以“X)關(guān)

丁(0,1)中心對(duì)稱，正確；

故選：ABD.

42.直線y=2x+m能作為下列函數(shù)圖象的切線的有()

A./(x)=-B./(x)=%4

C./(x)=sinxD./(x)=eA

【答案】BD

【分析】

分別求得各個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若f\x)=2有解，則直線y=2x+m能作為該函數(shù)圖象的切線，若f'(x)=2無解，

則不滿足題意，即可得答案.

【詳解】

對(duì)于A：/'(x)=—4<0,故無論x取何值，/(X)不可能等于2,故A錯(cuò)誤；

X

對(duì)于B：/<x)=4?,令/(X)=4/=2,解得x=所以直線y=2x+機(jī)能作為該函數(shù)圖象的切線;

對(duì)于C：/'(x)=cosxe[—1,1],故無論x取何值，/'(無)不可能等于2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：f(x)=ex,令e*=2，解得x=ln2,所以直線y=2x+m能作為該函數(shù)圖象的切線:

故選：BD

43.英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r

是/(x)=0的根，選取與作為r的初始近似值，過點(diǎn)毛))作曲線丁=/(幻的切線

/：丁一/(%))=/(%)(工一%)，則/與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)西=/一答2(1(七)聲。)，稱王是r的一

次近似值；過點(diǎn)(不，/(%))作曲線y=/(x)的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為股，稱也是r的二

犬系尸(土)工0),稱加

次近似值；重復(fù)以上過程，得，?的近似值序列，其中X,用是r的〃+1

次近似值，這種求方程/(x)=0近似解的方法稱為牛頓迭代法,若使用該方法求方程f=2的近似解，則

17

A.若取初始近似值為1,則該方程解的二次近似值為乜

12

17

B.若取初始近似值為2,則該方程解的二次近似值為二

/(X。)_/(%)_/㈤_/(七)

7U)-7W~7U)-7U)

、Y-X/(，。)??(%)/(—)/(?)

).=X-----------:7H7777-*77

nf'Mf'Mf'Mf'M

【答案】ABC

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=f-2,并求得導(dǎo)數(shù)，然后按照題干的定義依次代值計(jì)算結(jié)合排除法可得結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/(%)=/一2,則尸(x)=2x,

fM,1-23

取初始近似值%=1,則%=/一務(wù)々=1一丁T=w，

./(%)2x12

2.

乙217

%,=花一半［=3生==一，則A正確;

?f'M22x312

2

2-2

cfMc4-23〃不)3幺r="，則8正

取初始近似值%=2,則為不，々

J(%o)2x22廣㈤22x312

2

確;

(x)

根據(jù)題意，可知/一/片(%言0)，％=不一/'下(%]巖)，&=%一f片/2，％=吃一下淆，上述四式相

力n徨Y-X/(*0)/(*1)/(“2)./(*3)

加’得z7T荷一事一行一可’

則。不正確，C正確，

故選：ABC.

44.已知函數(shù)/5)=小川，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.曲線〃x)在原點(diǎn)處的切線方程為＞=*

【答案】AD

【分析】

通過導(dǎo)數(shù)與。的關(guān)系，可判斷A；直接根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷B；通過函數(shù)圖象的大致形狀可判斷C；

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】

f'(x)=(x+l)ex+i,令/'(x)>0,解得x>-l,令/'(x)<0,解得x<T,

所以函數(shù)“X)在上單調(diào)遞減，在(—1,+^)上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A正確；

/(-x)=-xe-v+l所以函數(shù)不是奇函數(shù)，選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

當(dāng)4>0時(shí),/(%)>o:當(dāng)％=0時(shí),/(%)=o；當(dāng)x<o時(shí)，y(x)<o,又畫出函數(shù)/(X)

的大致圖象如圖，可知函數(shù)/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤：

易知/'(0)=e,所以曲線f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為>=選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

45.直線y=x+b可以作為下列函數(shù)圖象的切線的有()

1Inxa,

A.y=—+xB.y=---C.y=-x+xD.y-er-x

xx

【答案】BD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判斷選項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)y'=i是否有解，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)閥=x+b的斜率為1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判斷選項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)值能否為1.

A.y'=—二+1=1,無解，故A不正確；

X

B.y=-―止^=1,解得：x=1,故B正確；

x

C.y--3x2+2x=1,即3%2-2X+1=0，/<0，無解，故C不正確；

D.y'