新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習專題突破精練第28講平面向量范圍與最值問題教師版

第28講平面向量范圍與最值問題一、單選題1．（2021·四川·雙流中學高三期末（理））如圖所示，邊長為1的正方形的頂點，分別在邊長為2的正方形的邊和上移動，則的最大值是（）A．4 B． C． D．2【答案】D【分析】建立直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式，結(jié)合二倍角公式進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：令，由于，故，，如圖，，故，故同理可求得，即，，當時，有最大值2．故選：D2．（2021·四川資陽·高三月考（理））已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】可設，，根據(jù)，可得的關(guān)系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：可設，，則，即，則，，，當時，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C3．（2021·河南南陽·高三期中（文））已知?是兩個夾角為120°的單位向量，如圖示，點在以為圓心的上運動.若，其中?，則的最大值是（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】建立坐標系，得出點的坐標，進而可得向量的坐標，化已知問題為三角函數(shù)的最值即可得出答案.【詳解】解：由題意，以為原點，為軸的正向，建立如圖所示的坐標系，設，可得，，，由，，得，，，，，，，當時，的最大值為2，此時為弧的中點.所以的最大值是2.故選：B.4．（2021·江西贛州·高三期中（文））已知，若點P是所在平面內(nèi)的一點，且，則的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】以A為原點，所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，不妨設，求出點坐標，再求出數(shù)量積，然后引入函數(shù)，用導數(shù)求得最大值．【詳解】∵，∴可以A為原點，所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系；不妨設，則，故點P坐標為則，∴令，則，則當時，，當時，，則函數(shù)在遞增，在上遞減，則，即的最大值為12．故選：C．5．（2021·浙江麗水·高三期中）已知平面向量，，，，若，，則（）A．的最小值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】A【分析】令，可得，且，設，，，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】令，則，故，且，假設，，，所以根據(jù)已知條件有，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，故選：A.6．（2018·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學業(yè)考試）已知平面向量滿足，，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，再結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)可求，最后代入即可求出答案.【詳解】設得即,故選：A7．（2021·山西·懷仁市第一中學校高三期中（理））已知平面向量滿足，=1，=－2，，則的最大值為（）A．－1 B．－2 C． D．【答案】D【分析】由題意不妨設，利用，可得為定值，再求出的解析式，利用基本不等式即可求出的最大值．【詳解】解：由，不妨設，又，可設，則，又，∴，∴；∴，當且僅當或時取“=”；∴的最大值為．故選：D．8．（2021·浙江省杭州第二中學高三期中）已知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（）A．246 B．226 C．208 D．198【答案】D【分析】問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐且三棱錐有外接球，求轉(zhuǎn)化為求的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.【詳解】如圖，ABC的外心是AC中點，點P到底面ABC的距離為7，設Р所在截面圓的圓心為，此截面與平面ABC平行，球心在上，，則，設P在平面ABC上的射影為Q，則Q在以為圓心，3為半徑的圓，因為PQ⊥平面ABC，所以PQ與平面ABC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=7,所以，當反向時，取得最小值-12，所以的最小值故選：D9．（2021·江蘇省泰興中學高三期中）已知中，，，當時，的最小值為（）A．10 B． C．5 D．【答案】D【分析】先利用余弦定理求出，從而可求出，然后對平方后化簡，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】由余弦定理得，解得，所以所以，當時，取最小值，所以，故選：D．10．（2021·北京朝陽·高三期中）如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動點，則的最小值為（）A． B．6 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】解：如圖，以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，，因為，，所以，所以，，所以，所以，所以當，即時，的最小值為.故選：B11．（2021·遼寧實驗中學高三期中）若平面向量，滿足，則對于任意實數(shù)，的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化，結(jié)合題干條件和二次函數(shù)的性質(zhì)，即得解【詳解】由題意，當且僅當時等號成立故的最小值是故選：A12．（2021·重慶八中高三月考）四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段上一動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：由題意，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系則，，M為線段上一動點，設，其中，，當時，的最小值為.故選：D.13．（2021·北京·101中學高三開學考試）已知向量為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意，則，代入題干數(shù)據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即得解【詳解】由題意，向量與共線，故存在實數(shù)，使得當且僅當時等號成立故選：D14．（2022·全國·高三專題練習）設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，，A，B，C三點共線，∴且，則，可得，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為.故選：A15．（2021·廣西桂林·高三月考（文））已知向量，，.若恒成立，則實數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件利用向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，變形為，再根據(jù)求得的最大值，進而可得的范圍.【詳解】由已知，，由，得，得，故的最大值為，所以.故選：B.16．（2021·江蘇·高三專題練習），,，若對任意實數(shù)，恒成立，則實數(shù)的范圍（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由題中條件，根據(jù)向量模的計算公式，求出，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意實數(shù)恒成立，根據(jù)一元二次不等式恒成立的判定條件，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，,，則，則，所以，又對任意實數(shù)，恒成立，則對任意實數(shù)恒成立，因此只需，解得或，故選：B.【點睛】本題主要考查考查一元二次不等式恒成立求參數(shù)的問題，考查向量模的計算，屬于?？碱}型.二、多選題17．（2021·江蘇省天一中學高三月考）己知△ABC中，角A，B．C所對的邊分別是a，b，c，B=，2=，AP=則下列說法正確的是（）A．=+ B．a(chǎn)+3c的最大值為C．△ABC面積的最大值為 D．a(chǎn)+c的最大值為2【答案】AD【分析】利用平面向量基底表示向量可判斷A；利用正弦定理、余弦定理、面積定理借助三角恒等變換可計算判斷B，C，D.【詳解】對于A，在△ABC中，因2=，則，A正確；在△ABP中，由余弦定理得：，當且僅當時取“=”，于是得當時，，，C不正確；在△ABP中，令，則，，由正弦定理得：，則，，其中銳角由確定，而，則當時，，取最大值，D正確；而，則的最大值應大于的最大值，又，即a+3c的最大值為是不正確的，B不正確.故選：AD18．（2022·河北·高三專題練習）在中，，，下述四個結(jié)論中正確的是（）A．若為的重心，則B．若為邊上的一個動點，則為定值2C．若，為邊上的兩個動點，且，則的最小值為D．已知為內(nèi)一點，若，且，則的最大值為2【答案】AC【分析】A.以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，由為的重心，結(jié)合向量的數(shù)乘運算判斷；B.設，把用含t的代數(shù)式表示判斷；C.不妨設M靠近B，，求得M，N的坐標，得到關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)求值判斷；D.由結(jié)合BP=1，得到，再令，轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則，因為為的重心，所以，則，所以，所以，故A正確；設，則，則，，故B錯誤；不妨設M靠近B，，得，則，當時，的最小值為：故C正確；由，且P為內(nèi)一點，BP=1，則，即，令，則，因為，則，所以，所以的范圍是，故D錯誤.故選：AC19．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在凸四邊形中，對邊的延長線交于點，對邊，的延長線交于點，若，，則（）A． B．C．的最大值為1 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，化簡整理，即可判斷A的正誤；利用B、C、E三點共線及F、C、D三點共線，化簡計算，即可判斷B的正誤；根據(jù)基本不等式，計算整理，可判斷C、D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A正確；對于B：由B、C、E三點共線可得，由F、C、D三點共線可得，解得，故B正確；對于C：由得，當且僅當時等號成立，所以有最小值為4，無最大值，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以.當且僅當時等號成立，故D正確.故選：ACD【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運算法則、三點共線定理、基本不等式等知識，并靈活應用，考查計算化簡，轉(zhuǎn)化分析的能力，屬中檔題.20．（2022·全國·高三專題練習）在中，，，其中，均為邊上的點，分別滿足：，，則下列說法正確的是（）A．為定值3B．面積的最大值為C．的取值范圍是D．若為中點，則不可能等于【答案】ABD【分析】對于A:利用和數(shù)量積的計算公式可求；對于B：利用面積公式和基本不等式即可判斷；對于C：先判斷出，結(jié)合的范圍即可判斷；對于D：利用求出范圍，即可判斷.【詳解】設.對于A:因為，所以D為BC的中點.因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.故A正確；對于B：，又，當且僅當“"時,取“=”此時，所以.故B正確；對于C：因為，所以，所以.當時，D、E重合，取得最大值3.可知為銳角，當最大銳角時，最大，但無法取到.故C錯誤；對于D：若為中點，則.故D正確.故選：ABD.21．（2022·河北·高三專題練習）如圖，在中，，，，點，為邊上兩個動點，且滿足，則下列選項正確的是（）

A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．當取得最大值時，點與點重合【答案】BC【分析】取的中點，利用向量的加法法則和數(shù)量積的運算律可得，求出的最小值，即可得答案，當點與點重合時，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【詳解】取的中點，則，，則，易知的最小值為點到的距離，即的最小值為，即的最小值為，故B選項正確，A錯誤；當點與點重合時，取得最大值，即，故的最大值為，故C選項正確，D錯誤.故選：BC

22．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直角三角形中，，點在以為圓心且與邊相切的圓上，則（）A．點所在圓的半徑為2 B．點所在圓的半徑為1C．的最大值為14 D．的最大值為16【答案】AC【分析】斜邊BC上的高即為圓的半徑；把求的最大值通過向量加法的三角形法則轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而判斷出P，M，A三點共線，且P，M在點A的兩側(cè)時取最大值.【詳解】設AB的中點為M，過A作AH垂直BC于點H，因為，所以，，所以由，得，所以圓的半徑為2，即點所在圓的半徑為2，所以選項A正確，B錯誤；因為，，，所以，所以當P，M，A三點共線，且P，M在點A的兩側(cè)時，取最大值，且最大值為，所以的最大值為，所以選項C正確，D錯誤.故選：AC.23．（2021·全國·高三專題練習（理））如圖，等邊的邊長為2，點B，C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，點A在線段的右上方則（）A．有最大值3 B．有最大值3C．有最小值無最大值 D．無最大值也無最小值【答案】BD【分析】根據(jù)題意，設，則，進而得,,，再結(jié)合三角恒等變換和向量數(shù)量積運算依次討論各選項即可求解.【詳解】如圖，設，則，所以在中，，，在中，，所以,,,所以，故，由于，故，所以，故A選項錯誤；，由于，故，，即有最大值3，故B選項正確；所以，由于，故，所以有最大值，無最小值；故C選項錯誤；，由于，故，所以，所以無最大值也無最小值，故D選項正確；故選：BD【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積、模長的坐標表示，解題的關(guān)鍵點是建立坐標系后求出各點的坐標，把數(shù)量積、模長用坐標表示，再根據(jù)的范圍求解，考查了學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力.24．（2022·全國·高三專題練習）中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，下列選項正確的是（）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則b取值范圍是D．若D為邊上的中點，則的最大值為【答案】BCD【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項，利用，平方后應用基本不等式求得最大值，判斷D．【詳解】因為，所以，，又，所以，A錯；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點，則，，又，，由基本不等式得，，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，D正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形的應用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關(guān)鍵．在用正弦定理解三角形時可能會出現(xiàn)兩解的情形，實際上不一定要死記結(jié)論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關(guān)系判斷角是否有兩種情況即可．25．（2021·湖北·高三月考）在中，角A?B?C的對邊分別為，且，，則以下四個命題中正確的是（）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．已知點M是邊BC的中點，則的最大值為3D．當A=2C時，若O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】BD【分析】對于A，利用勾股定理的逆定理判斷；對于B，利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；對于C，由數(shù)量積坐標公式即可判斷；對于D，由已知條件可得為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得的面積．【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以A錯誤；對于B，以的中點為坐標原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，因為，所以，化簡得，所以點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以點到邊的最大距離為，所以面積的最大值為，所以B正確；對于C，因為點在以為圓心，為半徑的圓上運動，設則，即，又，，所以，故C錯；對于D，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，為直角三角形，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以D正確，故選：BD．【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值．26．（2021·福建·三明一中高三期中）中，為邊上的一點，且滿足，若為邊上的一點，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量共線定理可知A錯誤；根據(jù)，利用基本不等式可求得最大值，知B正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知C錯誤；利用基本不等式可得，知D正確.【詳解】對于A，，三點共線，，A錯誤；對于B，，（當且僅當時取等號），B正確；對于C，（當且僅當，即時取等號），C錯誤；對于D，（當且僅當時取等號），D正確.故選：BD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.27．（2021·廣東珠?！じ呷谀┲?，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，、為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】先證明結(jié)論：若、、三點共線，點為直線外一點，且，則，分析可得，利用基本不等式可判斷各選項的正誤.【詳解】先證明結(jié)論：若、、三點共線，點為直線外一點，且，則.證明：因為、、三點共線，可設，即，所以，，所以，.、為正實數(shù)，，即，故，，且、、三點共線，，∴當且僅當，時取等號，，當且僅當，時取等號.故選：BD.28．（2021·全國·高三月考）已知為所在平面內(nèi)一點，且，，是邊的三等分點靠近點，，與交于點，則（）A．B．C．D．的最小值為-6【答案】ABD【分析】由題意得，由向量線性運算知，故A正確；根據(jù)，，三點共線可知，是的中點，是靠近的四等分點，可推出，B正確；根據(jù)等邊三角形求得，可知，C錯誤；建立直角坐標系，利用坐標運算可得，可求得最小值-6，D正確.【詳解】解：∵，∴又∵是邊的三等分點靠近點∴∴，故選項A正確；設，則∵，，三點共線∴，故∴是的中點∴又∵，，三點共線，所以為靠近的四等分點∴，故選項B正確；∵是邊長為4的等邊三角形∴∴，故選項C不正確；以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸，過點且與垂直的直線為軸建立平面直角坐標系，則點，，，設點，則∴最小值為-6，故選項D正確.故選：ABD．29．（2022·河北·高三專題練習）是的重心，，，，是所在平面內(nèi)的一點，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為-1【答案】AC【分析】根據(jù)向量的線性運算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律判斷C，D.【詳解】A：當點為的重心時，如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得.則，∴A正確，B：∵在方向上的投影為，∴在方向上的投影向量為，∴B錯誤，C：∵是的重心，∴，，∴，∴C正確，D：當與重合時，∵，與的最小值為矛盾∴D錯誤，故選：AC．30．（2021·廣東·高三月考）已知，點滿足，則下列說法中正確的是（）A．當時，的最小值為1 B．當時，C．當時，的面積為定值 D．當時，【答案】AD【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再利用余弦定理求出，即可得到，再一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以，，，所以，因為，所以，由余弦定理，所以，所以，所以，當時，點在直線上，故的最小值為點到直線的距離，故A正確；，若，則，故B錯誤；當時，點在過線段中點且平行于直線的直線上，的面積不為定值，故C錯誤；當時，點在過線段中點且平行于直線的直線（即線段的垂直平分線）上，所以，故D正確；故選：AD31．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在邊長為的正方形中，，分別為邊，上的兩個動點，且．記，，下列說法正確的有（）A．為定值 B．C． D．的最小值為【答案】ACD【分析】先根據(jù)已知條件將所有線段長用含有的式子表示，再對各選項進行分析.對于A可以轉(zhuǎn)化為的值；對于B根據(jù)已求式直接表示即可；對于C可以在中利用將與聯(lián)系起來即可；對于D利用向量的基底法將所求數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】根據(jù)題意可知，，則，不妨設，則，.在中根據(jù)勾股定理得,即，解得.所以,.對于A，在中，所以，根據(jù)圖形可知，所以，因為，所以，故A正確；對于B，由易求可得，故B錯誤；對于C，在中，，因為，所以，故C正確；對于D，根據(jù)圖形以及向量運算法則可知，所以，因為，所以根據(jù)基本不等式得，當且僅當即時等號成立，即的最小值為，故D正確.故選:ACD三、填空題32．（2021·浙江·紹興一中高三期中）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾角為，則的最大值為___________.【答案】60【分析】如圖所示，設先證明四點共圓，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.【詳解】如圖所示，設所以，,因為向量與向量的夾角為，向量與向量的夾角為，所以所以，所以四點共圓.在△中，由正弦定理得所以因為.在△中，由余弦定理得，所以.所以的最大值為60.故答案為：6033．（2021·黑龍江大慶·高三月考（理））銳角中，角，，所對邊的長分別為，，，設的面積為，若，則的最大值為_______________________.【答案】【分析】先通過正弦定理角化邊得3邊關(guān)系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，進而可得角正切值的最大值，再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積可得目標式的最大值.【詳解】解：中，所以，，當且僅當時等號成立，此時最小，最大.此時故答案為：.34．（2021·江蘇·海安高級中學高三月考）已知向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，則當取最大值時，與夾角為________．【答案】##【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)推出，再根據(jù)題意以及等號成立條件，即可求解.【詳解】∵向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，∴，當且僅當時取等號，∴，即，∴，即，當且僅當時取等號，即，則與夾角為，∴當取最大值時，與夾角為.故答案為：.35．（2021·上?！じ裰轮袑W高三期中）已知向量，滿足，，則的最大值為______.【答案】【分析】先求得、，進而平方，計算即得結(jié)論．【詳解】設向量的夾角為，，，則，令，則，據(jù)此可得：，即的最大值是故答案為：.36．（2021·河南·高三月考（理））已知在中.，平面內(nèi)有動點滿足，則數(shù)量積的最大值是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意建立恰當?shù)淖鴺讼?，求出的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖，根據(jù)已知條件建立恰當?shù)淖鴺讼担鼽c坐標分別為：，設動點，則由得，化簡得出滿足，令.則，所以的最大值為.故答案為：16.37．（2021·浙江·模擬預測）平面向量滿足：的夾角為，，則的最大值為_____.【答案】##【分析】設，，，線段的中點為，將轉(zhuǎn)化為，求出的軌跡是過、且半徑為2的圓（除去兩點），求出的最大值，進一步求出的最大值即可求解.【詳解】設，，，則有，，設線段的中點為，則，，則，因為，，所以的外接圓的直徑，所以點的軌跡是過、且半徑為2的圓（除去兩點），記圓心為，當在圓上時，，此時（不能與重合），所以，當不在圓上時，，，又，所以，所以，所以，所以，故的最大值為.故答案為：38．（2019·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）已知，，則的最大值=___________.【答案】2【分析】由可得，化簡結(jié)合三角函數(shù)即可求解【詳解】由可得，即，，要使，故，可得，又，故，當向量同向時，，故答案為：239．（2021·陜西·西安中學高三月考（文））如圖，△ABC中，，，，為△ABC重心，P為線段BG上一點，則的最大值為___________.【答案】20【分析】延長交于，由為△ABC重心，得為的中點，則可得，設，可得，分別把用基底表示，再由數(shù)量積的運算結(jié)合二次函數(shù)求最值可得的最大值【詳解】延長交于，因為為△ABC重心，所以為的中點，所以,設，因為P為線段BG上一點，所以，因為為△ABC重心，所以，因為,，所以其對稱軸為，所以當時，取得最大值20，故答案為：2040．（2021·浙江·諸暨中學高三月考）設，，，（），則（）的最小值為___________.【答案】【分析】設，，，，可得，?是以為圓心，以為半徑的圓上的動點，設，，，，則在以為圓心，以為半徑的圓上，所求的即為即可求解.【詳解】設，，，，則，，，因為，所以，因為，所以?是以為圓心，以為半徑的圓上的動點，設，，則，，設，，則在以為圓心，以為半徑的圓上，設，則，故答案為：.41．（2021·湖南·益陽市箴言中學高三月考）如圖所示，半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于?的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是___________【答案】【分析】由向量的線性運算得，因此，只要求得的最大值即可，這可由基本不等式得結(jié)論．【詳解】解：因為為的中點，所以，從而.又為定值，再根據(jù)，可得，所以當且僅當時，即為的中點時，等號成立，取得最小值是，故答案為：.42．（2021·重慶市第十一中學校高三月考）中，為上的一點，滿足若為上的一點，滿足，的最小值為______.【答案】【分析】利用向量共線的推論可得，再由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由，所以，，又因為三點共線，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.43．（2021·浙江省三門中學高三期中）已知平面向量，，滿足，，則的最小值是___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得即，當時即可取得最小值.【詳解】由可得：，由可得：，所以，可得，所以當時，，故答案為：.44．（2021·山東德州·高三期中）如圖，梯形中，，，若點為邊上的動點，則的最小值是________.【答案】##【分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖：，設，,，，則，解得，，點為邊上的動點，設，，，，，當時，取得最小值，代入可得的最小值是.故答案為：45