3.2勾股定理的逆定理（分層練習(xí)）解析版

3.2勾股定理的逆定理分層練習(xí)考查題型一直角三角形的判定1．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小紅家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測(cè)門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測(cè)量門的邊AB和BC的長(zhǎng)，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷∠B是否為直角，這樣做的依據(jù)是（

）A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理C．三角形內(nèi)角和定理 D．直角三角形的兩銳角互余【答案】B【解析】解：先測(cè)量門的邊AB和BC的長(zhǎng)，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，用勾股定理的逆定理判斷：若滿足AB2+BC2=AC2，則可判斷△ABC故選B．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，且(a-5)2+|b-12|+(c-13)A．以a為斜邊的直角三角形 B．以c為斜邊的直角三角形C．等腰直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【解析】∵(a-5)2根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性質(zhì)，∴c=13，b=12，a=5，∵52+122=132，∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形．故選B．3．（2022春·重慶開州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列是直角三角形的有（

）個(gè)①△ABC中a2=c2-b2；②△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7；③△ABC的三邊平方之比為1：2：3；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：①∵∴a2∴△ABC是直角三角形；②∵△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7，∴△ABC中最大角的度數(shù)為：180°×7∴△ABC是直角三角形；③∵△ABC的三邊平方之比為1：2：3，∴設(shè)三邊的平方分別為k，2k，3k，∴k+2k=3k，∴△ABC是直角三角形；④∵三角形三邊之比為3：4：5，∴設(shè)三邊分別為3a，4a，5a，∵(3a)2∴△ABC是直角三角形，∴上述是直角三角形的有4個(gè)，故選：D．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考周測(cè)）△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別是a=2mn，b=m2-n2，c=【解析】解：∠C是直角，理由如下：a2=4m2∵4m2∴△ABC為直角三角形，∠C=90°．綜上，∠C是直角．考查題型二“勾股數(shù)”的識(shí)別1.(2023·廣西壯族自治區(qū)南寧市·月考試卷)下列各數(shù)組是勾股數(shù)的是(

)A.1、2、3 B.6、8、10 C.5、11、13 D.2、1.5、2.5【答案】B

【解析】解：A、12+22≠32，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．

B、62+82=102.(2023·浙江省杭州市·模擬題)在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛動(dòng)腦的小小同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.據(jù)此規(guī)律，當(dāng)a=45時(shí)，b的值是(

)a357911…b412244060…c513254161…A.1011 B.1012 C.1013 D.1014【答案】B

【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)得：a2+b2=c2，c=b+1，

∴a2+b2=(b+1)3.(2023·山東省·同步練習(xí))我們學(xué)習(xí)了勾股定理之后，都知道“勾三、股四、弦五”.觀察：3，4，5;5，12，13;7，24，25;9，40，41;?，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的“勾”都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò).請(qǐng)你根據(jù)上述規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：

．【答案】11，60，61

【解析】由題中所給的四組勾股數(shù)可知第一個(gè)數(shù)n(n≥3)是連續(xù)的奇數(shù)，第一個(gè)數(shù)為n2-12，第三個(gè)數(shù)為n2+12，故下一組勾股數(shù)為4.(2023·廣西壯族自治區(qū)南寧市·月考試卷)課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．

(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______．

(2)若第一個(gè)數(shù)用字母a(a為奇數(shù)，且a≥3)表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律4=32-12，12=52-12，24=72-12…，于是他很快用含a的代數(shù)式表示了第二數(shù)為a2【解析】解：(1)∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，

∴11，60，61；

故答案為：60，61；

(2)第一個(gè)數(shù)用字母a(a為奇數(shù)，且a≥3)表示，第二數(shù)為a2+12；

則用含a的代數(shù)式表示第三個(gè)數(shù)為a2+12；

故答案為：a2+12；

(3)∵a2+(a2-12)2=a4-2考查題型三勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）將直角三角形的三條邊長(zhǎng)做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）A．同加一個(gè)相同的數(shù) B．同減一個(gè)相同的數(shù)C．同乘以一個(gè)相同的正整數(shù) D．同時(shí)平方【答案】C【解析】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a，b，c（斜邊），∴a2若三邊都加上（或減去）同一個(gè)m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(shí)a±m(xù)2∴A，B不符合題意；若三邊都乘以n（n為正整數(shù)），則三邊分別為an，bn，cn，∴an2∴此時(shí)三角形還是直角三角形，故C符合題意；若三邊都平方，則三邊分別為：a2，b2，∴c2故D不符合題意；故選C．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形方格中，A，B，C，D均為格點(diǎn)，構(gòu)成圖中三條線段AB，BC，CD．現(xiàn)在取出這三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形．下列判斷正確的是（

）A．能拼成一個(gè)銳角三角形 B．能拼成一個(gè)直角三角形C．能拼成一個(gè)鈍角三角形 D．不能拼成三角形【答案】B【解析】解；由題意得：AB∴AB∴三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形是直角三角形，故選B．3．（2023春·四川廣安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖．根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測(cè)得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即∠ABD=90°），通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm由勾股定理，得B因?yàn)锽C=3dm，CD=6dm，所以BC所以BC所以∠BCD=90°，即BC⊥CD，所以該嬰兒車符合安全標(biāo)準(zhǔn)4．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）“村村通”公路是我國(guó)的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測(cè)得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求公路AB的長(zhǎng).【解析】（1）解：（1）△ACM是直角三角形，

理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169，

∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；（2）設(shè)BC=AB=x千米，則BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122，

解這個(gè)方程，得x=16.9，答：原來(lái)的路線AB的長(zhǎng)為16.9千米．5．（2021春·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）王爺爺退休以后，開辟出一塊農(nóng)田，形狀和尺寸如圖所示（單位：m），∠ABC＝90°，你能幫他計(jì)算出這塊農(nóng)田的面積嗎？【解析】解：連接AC，在Rt△ABC中，AC為斜邊，已知AD＝4，CD＝3，則AC2＝AB2+BC2,AC＝5，∵AD=13，CD=12，AC=5∴AC∴△ACD為直角三角形，∴S農(nóng)田答：該農(nóng)田的面積為24．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，盡在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果a、b、c是一組勾股數(shù)，即滿足a2+b2=（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)的《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)a=12m2-n2，b=mn,c=1【探究2】觀察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，并且勾為3時(shí)股4=12×9-1，弦5=12×請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股24=____；弦25=____；（2）如果用n(n≥3,且n為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有n的式子表示股和弦，則股=___；弦=___；（3）觀察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．①b=_；②請(qǐng)你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4）的代數(shù)式表示直角三角形的另一條直角邊_；和弦的長(zhǎng)__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）詳見解析；（3）a=6,b=8,c=10；探究2（1）12(49-1),12(49+1)；（2）12(n2-1)，12【解析】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）證明：(2n+1)∴(2∴(2n