一元一次方程的實際應用（解析）

一元一次方程的實際應用教學目標：1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.進一步提高分析實際問題中數(shù)量關系的能力，能熟練找出相等關系并列出方程；3.熟練行程、工程、配套、數(shù)字、調(diào)配、和差倍分、日歷、銷售、儲蓄、積分、年齡、古數(shù)學、盈不虧、分段收費、方案選擇等應用類問題的對應模型，并能利用一元一次方程解決實際應用類問題。知識精講一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類問題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系．（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)．（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一．（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可．（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．二、一元一次方程常見類型（1）三個基本量間的關系：路程=速度×時間（2）基本類型有：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．相遇問題（兩種基本類型）例1.李華和趙亮從相遇20千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，李華每小時走3千米，2小時后兩人相遇，設趙亮的速度為x千米每小時，列方程得（）．A．2x+3=20B．+x=20C．2(3+x)=20 D．2(x3)=20解：根據(jù)題意列方程得，2(3+x)=20故答案為：C．例2.如圖，甲、乙兩人沿著邊長為的正方形按的路線行走，甲從點出發(fā)，以/分鐘的速度行走，同時，乙從點出發(fā)，以/分鐘的速度行走．當乙第一次追上甲時，將在正方形的（）A．邊上 B．邊上 C．邊上 D．邊上解：設乙x分鐘后追上甲，由題意得，70x50x=270，解得：x=13.5，13.5×70=945，945÷90=10……45，∴乙第一次追上甲是在AD上．故答案：D．追擊問題例3.小明每天早上要在7：50之前趕到距離家1000的學校上學，一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他，爸爸追上小明用了（）分鐘A．3分 B．6分 C．4分 D．5分解：設小明爸爸追上小明用了x分鐘，則此時小明走了（x＋5）分鐘，由題意得：80（x＋5）＝180x，解得：x＝4，∵80×9＜1000米，∴小明爸爸追上小明用了4分鐘．故答案為：C．例4.在高速公路上，一輛長5米、速度為120千米/時的轎車準備超越一輛長15米、速度為80千米/時的卡車，則轎車從開始追到卡車到超越卡車，需要花費的時間是（）秒．A B C．2 D解：設轎車從開始追及到超越卡車所需的時間為x小時，根據(jù)題意得：（12000080000）x=5+15，解得：x=0.0005，0.0005×3600=1.8（秒）．故答案為：B．航行問題例5.一輪船航行于兩個碼頭之間，逆水航行需10小時，順水航行需6小時，已知水流的速度為每小時航行8千米，則兩碼頭間的距離為（）千米A．480 B．540 C．240 D．280解：設兩碼頭間的距離為x千米，根據(jù)題意得，解得：x=240故答案為：C.例6.一貨輪往返于上、下游兩個碼頭，逆流而上38個小時，順流而下需用32個小時，若水流速度為8千米/時，則下列求兩碼頭距離x的方程正確的是（）A． B． C． D．解：可列方程為：．答案為：B．例7.某學生乘船由甲地順流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用3小時，若水流速度為2km/h，船在靜水中的速度為8km/h，已知甲地與丙地間的距離為2km，則甲乙兩地間的距離為____km．解：（1）如下圖，若丙在甲地和乙地之間，設甲乙兩地距離為x，則，解得：x＝12.5．（2）如下圖，若丙不在甲地和乙地之間，設甲乙兩地距離為x，則，解得：x＝10．故答案是：12.5或10．例8.一艘輪船在水中由地開往地，順水航行用了4小時，由地開往地，逆水航行比順水航行多用了1小時，已知此船在靜水中速度是18千米/時，水流速度為___________千米/小時．解：設水流速度是x千米/時，4（x＋18）＝（4＋1）×（18?x），解得：x＝2．答案是：2．其他行程問題例9.一列長150米的火車，以每秒15米的速度通過長600米的橋洞，從列車進入橋洞口算起，這列火車完全通過橋洞所需時間是____秒．解：設火車完全通過橋洞所需時間為x秒，由題意得：15x＝600＋150，解得：x＝50．答案為：50．例10.已知A，B兩地相距200千米，甲車的速度為每小時70千米，乙車的速度為每小時50千米．（1）若兩車分別從A，B兩地同時同向而行（甲車在乙車后面），問經(jīng)過多長時間甲車追上乙車？（2）若兩車同時從A，B兩地相向而行，問經(jīng)過多長時間兩車相距20千米？【答案】（1）10小時；（2）經(jīng)過或小時兩車相距20千米.【解析】解：（1）設經(jīng)過x小時甲車追上乙車，則70x50x=200，解得：x=10，即經(jīng)過10小時甲車追上乙車；（2）兩車同時從A，B兩地相向而行，設經(jīng)過y小時兩車相距20千米，分相遇之前和相遇之后兩種情況討論：①在相遇之前70y+50y=20020，解得，②在相遇之后70y+50y=200+20，解得，答：兩車同時從A，B兩地相向而行，經(jīng)過或小時兩車相距20千米．如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．例11.一項工程甲隊單獨完成此項工程需60天，甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的．若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作_____天可以完成此項工程．解：由題意知，乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)為60÷（天），設剩下的工程再由甲、乙兩隊合作x天可以完成此項工程，解得：x=30答案為：30.例12.為解決市民出行的問題，市政府決定再修建一條地鐵．有甲、乙兩個工程隊負責施工一段長為540米的山體隧道貫穿工程．甲工程隊獨立工作12天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了8天，這20天共掘進180米．已知乙工程隊每天比甲工程隊少掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？解：設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x﹣2）米，由題意，得12x+8（x+x﹣2）＝180，解得x＝7，乙工程隊每天掘進5米．（540180）÷（7+5）=30（天）答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作30天．配套問題等量關系：各種物品的總數(shù)量比等于一套組合中各部分的數(shù)量比。比如：螺栓與螺母的配套、盒身與盒底的配套，桌子與椅子的配套等等。例13.某車間有38名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個甲型零件或2000個乙型零件．2個甲型零件要配3個乙型零件，為使每天生產(chǎn)的兩種型號的零件剛好配套，應安排生產(chǎn)甲型零件和乙型零件的工人各多少名？解：設安排x名工人生產(chǎn)甲型零件，則（38x）人生產(chǎn)乙型零件，由題意得：，解得：x=20，3820=18，答：應安排生產(chǎn)甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名．已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．例14.幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”當中．把洛書用今天的數(shù)學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數(shù)字1～9分別填人如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15，則m的值為_________．解：根據(jù)題意得，2+7+a=15，∴a=1527=6，∵4+b+a=15，解得：b=1564=5，∵2+b+m=15，解得：m=8，故答案為：8．例15.把這九個數(shù)填入方格中，使其任意一行、任意一列及任意一條對角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”它源于我國古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則的值為_______．解：由對角線上的三個數(shù)之和為：15，任意一行，任意一列及任意一條對角線上的數(shù)之和都相等，第三列的最下面一個數(shù)為：6，由第三行的三個數(shù)之和為15，可得：8+x+6=15，∴x=1x+5+y=15∴y=9，x+y=10故答案為：10．例16.一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是x，十位數(shù)字是3，把x與3對調(diào)，新兩位數(shù)比原來兩位數(shù)小18，則x的值是（）A． B．0 C．1 D．2解：由題意得：30+x18=10x+3，解得：x=1，故答案為：C．例17.大掃除期間，七（2）班已經(jīng)安排了6人打掃教室，4人打掃包干區(qū)，為了盡快完成打掃任務，有14人主動要求去幫忙，使得打掃包干區(qū)的人數(shù)是打掃教室人數(shù)的2倍．假設去教室?guī)兔Φ耐瑢W有x人，根據(jù)題意可列出方程（）A．2（6+x）＝4+（14﹣x） B．6+x＝2[4+（14﹣x）]C．2[6+（14﹣x）]＝4+x D．6+（14﹣x）＝2（4+x）解：設去教室?guī)兔Φ耐瑢W有x人，則去包干區(qū)幫忙的同學有（14x）人，由題意得：2（6+x）=4+（14x）．故答案為：A．例18.某班級原來女生人數(shù)是全班人數(shù)的，調(diào)入4名女生后，女生人數(shù)是全班人數(shù)的一半，原來全班共有____人．解：設原來全班共有x人，由題意得：，解得：x=72，∴原來全班共有72人，故答案為：72．和差倍分問題基本量及關系：增長量＝原有量×增長率現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．例19.把一批圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺20本．設這個班有學生x名，根據(jù)題意列方程正確的是（）A． B．C．3x＋20＝4x﹣20 D．3x﹣20＝4x＋20【答案】C.例20.中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有若干人乘車，每三人乘一車，剛好空余一輛；若每兩人共乘一車，最終剩余七個人無車可乘．問有多少人，多少輛車？如果我們設有x輛車，則可列方程（）A．3（x+1）＝2x﹣9 B．3（x﹣1）＝2x+7C．+1＝ D．﹣1＝解：由題意得：3(x﹣1)＝2x+7．故答案為：B．例21.“一方有難、八方支援”在2020年“武漢保衛(wèi)戰(zhàn)”中，我們紹興先后派出多支醫(yī)療隊伍前往武漢和武漢人民一起抗戰(zhàn)新冠病毒．現(xiàn)甲、乙兩所醫(yī)院共有醫(yī)務人員100名，但隨著疫情的發(fā)展，急需增加人手．我們紹興一支80人的醫(yī)療隊伍奉命志愿前往支援，其中20人到甲醫(yī)院，60人到乙醫(yī)院，這樣剛好使得乙醫(yī)院的醫(yī)務人員數(shù)是甲醫(yī)院醫(yī)務人員數(shù)的2倍．求原來甲、乙兩所醫(yī)院各有醫(yī)務人員幾名？解：設原來甲醫(yī)院有醫(yī)務人員x名，則乙醫(yī)院有醫(yī)務人員（100x），由題意得：2（x+20）=100x+60，解得：x=40，10040=60人，∴原來甲、乙兩所醫(yī)院各有醫(yī)務人員40名，60名．日歷問題例22.如圖為2021年11月的日歷：（1）在日歷上任意圈出一個豎列上相鄰的3個數(shù)：①設中間的一個數(shù)為a，則另外的兩個數(shù)為，；②若已知這三個數(shù)的和為60，則這三個數(shù)在星期．（2）在日歷上用一個小正方形任意圈出其中的9個數(shù)，設圈出的9個數(shù)的中心的數(shù)為b，若這9個數(shù)的和為153，求b2﹣1的值．【答案】（1）①a7，a+7；②六；（2）288.解：（1）①設中間的一個數(shù)為a，則另外的兩個數(shù)為a7，a+7故答案為：a7，a+7.②由題意知，a7+a+7+a=60解得：a=20根據(jù)日歷可得這三個數(shù)在星期六故答案為：六.（2）根據(jù)題意，設圈出的9個數(shù)的中心的數(shù)為b，則這9個數(shù)的和為9b，則9b=153解得：b=17∴b2﹣1=288.（1）(2)標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)(3)實際售價＝標價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．例23.商店將某種商品按成本價提高50%后，標價為450元，又以8折出售，則售出這件商品可獲利潤（）元．A．300 B．210 C．150 D．60解：設這件商品成本價為x元，由題意得：x（1＋50%）＝450，解得：x＝300，可獲利潤為：450×?x＝60．故答案為：D．例24.某服裝店賣出兩件不同的衣服，均以91元賣出，其中一件賺30%，另一件虧30%，則賣出這兩件衣服后商店（）A．不賺不虧 B．賺了21元 C．虧了18元 D．賺了39元解：設盈利的進價是x元，則x+30%x=91，解得：x=70．設虧損的進價是y元，則y–30%y=91，解得：y=130．91+91–130–70=–18，所以虧了18元．故答案為：C．例25.一件衣服先按成本提高50%標價，再以7折出售，結(jié)果獲利5元，則這件衣服的成本是（）元．A．120 B．110 C．100 D．90解：設這件衣服的成本是x元，由題意得，70%×（1+50%）xx=5解得：x=100即這件衣服的成本是100元，故答案為：C．例26.某種商品每件的進價為120元，標價為180元．為了拓展銷路，商店準備打折銷售．若使利潤率為20%，則商店應打（）A．五折 B．六折 C．七折 D．八折解：設商店應打x折，x﹣120＝120×20%，解得：x＝8．即商店應打八折．故答案為：D．例27.王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．設王先生存入的本金為x元，則下面所列方程正確的是（）A．x+3×4.25%x＝33825 B．x+4.25%x＝33825C．3×4.25%x＝33825 D．3（x+4.25%x）＝33825解：設王先生存入的本金為x元，根據(jù)題意得出：x+3×4.25%x＝33825故答案為：A．例28.我國古代著作《九章算術(shù)》中提到“以繩測井”問題：若將繩三折測之，繩多五尺，若將繩四折測之，繩多一尺．井深幾何？題目大意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多5尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多1尺．則井深__________尺．解：設井深為x尺，則繩長為：3（x+5），由題意得：3（x+5）=4（x+1）．解得：x=11，則4（x+1）=48尺．故答案為：11．例29.《九章算術(shù)》是中國古代《算經(jīng)十書》最重要的一部，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體系，其中有一道闡述“盈不足數(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？意思是說：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？解：設共有x人．由題意得：8x3=7x+4．解得：x=7．則8x3=53．答：共有7人，這個物品的價格是53元．例30.在全國足球甲級A組的比賽中，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，積25分．已知勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊已勝場．解：設該隊已勝x場，那么該隊平場的場數(shù)為（11x），根據(jù)題意得：3x+（11x）=25，解得x=7．答：該隊已勝7場．答案為：7．例31.為營造學黨史、迎冬奧的濃厚氛圍，某學校舉行了主題為“扛紅旗、當先鋒、學黨史、迎奧運”的知識競賽，一共有30道題，每一題答對得4分，答錯或不答扣2分．（1）小明參加了競賽，得90分，則他一共答對了多少道題？（2）小剛也參加了競賽，考完后自信滿滿，說：“這次競賽我會得100分！”你認為可能嗎？并說明理由．解：（1）設小明在競賽中答對了x道題，根據(jù)題意得，4x﹣2（30﹣x）＝90，解得，x＝25．答：小明在競賽中答對了25道題；不可能，理由如下：如果小剛的得分是100分，設他答對了y道題，根據(jù)題意得，4y﹣2（30﹣y）＝100，解得y＝．因為y不能是分數(shù)，所以小剛沒有可能拿到100分．例32.為鼓勵市民節(jié)約用水，某地自來水公司推出如下收費標準：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費2元；若每戶每月用水超過5立方米，則超過部分每立方米收費2.5元，已知小明家每月水費都不超過17元，則小明家每月用水量（每月用水量是正整數(shù)）至多是（

）A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米解：設小明家每月用水x噸，∵17＞5×2，∴x＞5，∴5×2+（x5）×2.5=17，解得：x=7.8，∴小明家每月用水至多是8噸．故答案為：C．例33.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和城市交通的多樣化，人們的出行方式有了更多的選擇．下圖是某市兩種網(wǎng)約車的收費標準，例：乘車里程為30公里，若選乘出租車，費用為：（元）；若選乘曹操出行（快選），費用為：（元）請回答以下問題：（1）小明家到學校的路程是10公里．如果選乘出租車，車費為元；如果選乘曹操出行（快選），車費為元．（2）周末小明有事外出，要選乘網(wǎng)約車，如果乘車費用預算為25元，他的行車里程數(shù)最大是多少公里？（3）元旦期間，小明外出游玩，約車時發(fā)現(xiàn)曹操出行（快選）有優(yōu)惠活動：總費用打八折．于是小明決定選乘曹操出行（快選）．付費后，細心的小明發(fā)現(xiàn)：相同的里程，享受優(yōu)惠活動后的曹操出行（優(yōu)選）的費用還是比出租車多了1.8元，求小明乘車的里程數(shù)．【答案】（1）29.4；40；（2）8；（3）6公里或15公里.解：（1）出租車：14+2.2×（103）=14+15.4=29.4（元）；曹操出行10+2.4×10+0.4××60=10+24+6=40（元）．（2）設他的行車里程數(shù)為x公里，因為25＜29.4，25＜40，故x＜10．出租車：14+2.2×（x3）=25，解得：x=8．曹操出行：10+2.4

x+0.4××60＝25，解得：x=5．∵8＞5，∴小明行車路程數(shù)最大是8公里．（3）設小明乘車的里程數(shù)為y公里．①yy+0.4××60]×0.814=1.8，解得：y=3.25＞3（舍去）．②3＜yy+0.4××60]×0.8[14+2.2×（y3）]=1.8，解得：y=6．③yy+0.8×（y10）+0.4××60]×0.8[14+2.2×（y3）+（y10）]=1.8，解得：y=15．綜上所述，小明乘車里程數(shù)為6公里或15公里．例34.為鼓勵市民節(jié)約用水，某市自來水公司對每戶用水量采取了分段計費的方法進行收費，每戶每月用水量在規(guī)定噸數(shù)及以下的按一種單價收費，超過規(guī)定噸數(shù)的部分按另一種單價收費．下表是小明家1﹣4月份的用水量和費用情況：月份1234用水量（噸）681013費用（元）12162231（1）請根據(jù)表中信息，求出規(guī)定噸數(shù)和兩種收費標準；（2）若小明家5月份用水18，則應交水費多少元？（3）若小明家6月份交水費58元，則他家6月份用水多少噸？【答案】（1）規(guī)定噸數(shù)為8噸，在規(guī)定噸數(shù)及以下的收費標準為每噸水2元，超過規(guī)定噸數(shù)的部分的收費標準為每噸水3元；（2）應交水費46元；（3）他家6月份用水22噸解：（1）設規(guī)定的噸數(shù)為x噸，由表格可知在1月和2月時，每噸水的費用為2元，∴規(guī)定噸數(shù)及以下的收費標準為每噸2元，∵三月份的用水量為10噸，但是費用是22元＞20元，∴規(guī)定的噸數(shù)一定小于10噸，∵4月份的用水量比3月份的用水量多3噸，多收費9元，∴可知超過規(guī)定噸數(shù)的收費標準為每噸3元，∴，解得：x=8，即規(guī)定噸數(shù)為8噸，在規(guī)定噸數(shù)及以下的收費標準為每噸水2元，超過規(guī)定噸數(shù)的部分的收費標準為每噸水3元；（2）由題意得，小明家5月份應交水費元，即應交水費46元；（3）設他家6月份用水m噸，∵，∴∴，解得：m=22，即他家6月份用水22噸.例35.公園門票價格規(guī)