求導(dǎo)基本公式16個(gè)

求導(dǎo)基本公式16個(gè)求導(dǎo)是微積分中的重要概念，它通過計(jì)算一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)，給出了該函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率或變化率。求導(dǎo)公式是求導(dǎo)過程中使用的基本公式，以下是16個(gè)常用的求導(dǎo)公式及其推導(dǎo)過程：

1.常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

如果f(x)=c(c為常數(shù))，那么f'(x)=0。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=c后得到f'(x)=(c-c)/h=0。

2.冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

如果f(x)=x^n(n為常數(shù))，那么f'(x)=n*x^(n-1)。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=x^n后得到f'(x)=[(x+h)^n-x^n]/h。

使用二項(xiàng)式定理展開((x+h)^n-x^n)/h并且除以h取極限，只有x^(n-1)和x^n兩項(xiàng)的系數(shù)不為0，得到f'(x)=n*x^(n-1)。

3.指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

如果f(x)=a^x(a>0,a≠1)，那么f'(x)=ln(a)*a^x。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=a^x后得到f'(x)=[a^(x+h)-a^x]/h。

使用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)a^(x+h)=a^h*a^x，得到f'(x)=a^x*[a^h-1]/h。當(dāng)h趨近于0時(shí)，a^h-1趨近于ln(a)，所以f'(x)=ln(a)*a^x。

4.自然對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

如果f(x)=ln(x)，那么f'(x)=1/x。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=ln(x)后得到f'(x)=[ln(x+h)-ln(x)]/h。

利用對數(shù)的性質(zhì)ln(x+h)-ln(x)=ln((x+h)/x)，得到f'(x)=ln((x+h)/x)/h。當(dāng)h趨近于0時(shí)，(x+h)/x趨近于1，所以f'(x)=1/x。

5.三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

(1)如果f(x)=sin(x)，那么f'(x)=cos(x)。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=sin(x)后得到f'(x)=[sin(x+h)-sin(x)]/h。

利用三角函數(shù)的和差公式sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)，得到f'(x)=[sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)-sin(x)]/h。

使用極限lim(h->0)sin(h)/h=1，得到f'(x)=cos(x)。

(2)如果f(x)=cos(x)，那么f'(x)=-sin(x)。

推導(dǎo)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h，代入f(x)=cos(x)后得到f'(x)=[cos(x+h)-cos(x)]/h。

利用三角函數(shù)的和差公式cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)，得到f'(x)=[cos(x)*cos(h)-sin(x)*sin(h)-cos(x)]/h。

使用極限lim(h->0)sin(h)/h=1，得到f'(x)=-sin(x)。

6.反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

(1)如果f(x)=arcsin(x)，那么f'(x)=1/√(1-x^2)。

推導(dǎo)：反三角函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系為x=sin(y)，對兩邊求導(dǎo)得到dx/dy=cos(y)，然后解出dy/dx=1/cos(y)。

根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系cos^2(y)=1-sin^2(y)，得到cos(y)=√(1-sin^2(y))=√(1-x^2)。

代入dy/dx=1/cos(y)得到f'(x)=1/√(1-x^2)。

(2)如果f(x)=arccos(x)，那么f'(x)=-1/√(1-x^2)。

推導(dǎo)：反三角函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系為x=cos(y)，對兩邊求導(dǎo)得到dx/dy=-sin(y)，然后解出dy/dx=-1/sin(y)。

根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系sin^2(y)=1-cos^2(y)，得到sin(y)=√(1-cos^2(y))=√(1-x^2)。

代入dy/dx=-1/sin(y)得到f'(x)=-1/√(1-x^2)。

7.雙曲函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

(1)如果f(x)=sinh(x)，那么f'(x)=cosh(x)。

推導(dǎo)：雙曲函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系為sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2，對兩邊求導(dǎo)得到f'(x)=(e^x+e^(-x))/2=cosh(x)。

(2)如果f(x)=cosh(x)，那么f'(x)=sinh(x)。

推導(dǎo)：雙曲函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系為cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2，對兩邊求導(dǎo)得到f'(x)=(e^x-e^(-x))/2=sinh(x)。

8.對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

(1)如果f(x)=log_a(x)，那么f'(x)=1/(x*ln(a))。

推導(dǎo)：根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系a^x=e^(ln(a)*x)，對兩邊求導(dǎo)得到d(a^x)/dx=ln(a)*a^x。

然后利用導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌td(log_a(x))/dx=1/(x*ln(a))。

(2)如果f(x)=ln|x|，那么f'(x)=1/x。

推導(dǎo)：根據(jù)自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式f'(x)=1/x，如果x為正數(shù)；而當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，f'(x)=-1/x。綜合起來可以得到f'(x)=1/x。

9.反雙曲函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：

(1)如果f(x)=arcsinh(x)，那么f'(x)=1/√(x^2+1)。

推導(dǎo)：反雙曲函數(shù)和雙曲函數(shù)關(guān)系為x=sinh(y)，對兩邊求導(dǎo)得到dx/dy=cosh(y)，然后解出dy/dx=1/cosh(y)。

根據(jù)雙曲函數(shù)的關(guān)系cosh^2(y)=1+sinh^2(y)，得到cosh(y)=√(1+sinh^2(y))=√(x^2+1)。

代入dy/dx=1/cosh(y)得到f'(x)=1/√(x^2+1)。

(2)如果f(x)=arcosh(x)，那么f'(x)=1/√(x^2-1)。

推導(dǎo)：反雙曲函數(shù)和雙曲函數(shù)關(guān)系為x=cosh(y)，對兩邊求導(dǎo)得到dx/dy=sinh(y)，然后解出dy/dx=1/sinh(y)。

根據(jù)雙曲函數(shù)的關(guān)系sinh^2(y)=cosh^2(y)-1，得到sinh(y)=√(c