商品房還貸方案優(yōu)化設(shè)計(jì)

摘要本文針對(duì)購(gòu)房還貸問(wèn)題進(jìn)行了討論。我們通過(guò)上網(wǎng)搜索了相關(guān)知識(shí)，依據(jù)每個(gè)問(wèn)題中的不同情況，建立相應(yīng)的模型進(jìn)行求解，并運(yùn)用Lingo軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，給出了各種情況下的購(gòu)房還貸優(yōu)化方案。針對(duì)問(wèn)題一，通過(guò)分析我們建立了差分方程模型，求解出每月還款額公式：并推算出每月被銀行拿走利息的計(jì)算公式：，最后用lingo編程求解出一萬(wàn)元借貸十年的還款總額為13164.828以及逐月被銀行拿走的利息錢見(jiàn)表。針對(duì)問(wèn)題二，因等額本息還貸比擬適合收入穩(wěn)定的工薪階層。所以我們采用等額本息還款模式，然后分別建立十年還貸、五年還貸以及是否提前還款不同情況下的模型，通過(guò)比照得出貸款33萬(wàn)用54個(gè)月還清的最優(yōu)方案。其中2007年3月10日志2023年3月10日月消費(fèi)上限為2250元，2011年3月10日至2012年3月10日的月消費(fèi)上限為3090元。針對(duì)問(wèn)題三，在王先生及其外甥A收入、開銷、年終獎(jiǎng)及現(xiàn)有可支配金額都不相同的條件下，我們把王先生及其外甥兩家當(dāng)做一個(gè)整體，以還貸總利息最小作為目標(biāo)建立模型，設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案，然后將節(jié)省下來(lái)的利息合理分配到兩家，到達(dá)使兩家都滿意的效果。針對(duì)問(wèn)題四，在問(wèn)題三的根底上對(duì)模型進(jìn)行修整，仍將王先生及其六個(gè)外甥看做一個(gè)整體，將各個(gè)家庭收入、開銷及年終獎(jiǎng)等合并到一起，然后以最大額度用于首付，使貸款最小，已取得利息最少的目的。通過(guò)具體計(jì)算得出六個(gè)外甥各向銀行貸款貸款121624.5元、還貸期限均為3年、并且每次年終獎(jiǎng)都用于提前還款的最優(yōu)還貸方案，此方案總共向銀行支付利息80935.4元，總共節(jié)約了103040.5元。針對(duì)問(wèn)題五，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，運(yùn)用有效投資組合，對(duì)各個(gè)工程的收益率、方差進(jìn)行計(jì)算，并使用MATLAB編程進(jìn)行求解，然后將投資三個(gè)工程的收益與銀行貸款付息相比，判斷方案可行，最終確定對(duì)工程甲投資43.5萬(wàn)元、工程乙投資6.5萬(wàn)元，年收益為25099.582775元的最優(yōu)方案。關(guān)鍵詞：等額本息差分方程有效投資組合Lingo、MATLAB軟件一、問(wèn)題重述購(gòu)房策略問(wèn)題問(wèn)題背景：近些年來(lái)，我國(guó)商品房銷售火爆。由于升值潛力大，不少人愿意投資于房產(chǎn)。但是，高位的房?jī)r(jià)又迫使大多數(shù)人不得不向銀行貸款。然后，用按揭的方式逐月歸還銀行貸款額。注意：向銀行借貸時(shí)間必須以年為單位，如1年、2年、3年.…等。問(wèn)題提出：第一問(wèn)：2007年9月1號(hào)，某高校教師王先生到某商品房去看房，銷售小姐向他推薦等額本息還款方式，并給他一個(gè)銀行還貸明細(xì)表。這個(gè)明細(xì)表給出了假設(shè)向銀行借了1萬(wàn)元錢、不同年限的等額房貸還款額。王先生不知還款公式怎樣寫，請(qǐng)你給出等額本息房貸還款公式，幫王先生解惑。如果向銀行借1萬(wàn)元，借10年。請(qǐng)?jiān)敿?xì)計(jì)算逐月還完1萬(wàn)元后，總共向銀行還款的總額以及逐月被銀行拿走的利息錢。表1借銀行1萬(wàn)元為例每月等額房貸還款明細(xì)表：年限實(shí)際還款年利率%月利率%月還款〔元〕15.5080.4590858.4025.5080.4590440.9935.5080.4590302.0045.5080.4590232.6055.5080.4590191.05105.73750.478125109.71155.73750.47812582.97205.73750.47812570.14第二問(wèn)：王先生看中了一套135m2、單價(jià)為3230/m2的房子，準(zhǔn)備9月10號(hào)前成交。他們家每月收入5600元，每月家庭開銷在1500-3000元之間服從均勻分布，每年還有3萬(wàn)元的年終獎(jiǎng)金。這時(shí)候王先生手頭有15萬(wàn)元的可支配的現(xiàn)金，現(xiàn)在請(qǐng)你建立一套詳細(xì)的購(gòu)房與商貸快速計(jì)算還貸數(shù)學(xué)模型，并為王先生設(shè)計(jì)還貸方案而且要指出每月的家庭開銷上限〔注：首付不得低于20%〕。第三問(wèn)：但事情有變：2023年3月10號(hào)，王先生經(jīng)多方籌措，借到了無(wú)息的款項(xiàng)20萬(wàn)〔包括年終獎(jiǎng)金3萬(wàn)〕，準(zhǔn)備提前還款，但其外甥A此時(shí)在本地購(gòu)置了總房?jī)r(jià)為20萬(wàn)的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手頭只有可支配現(xiàn)金5萬(wàn)元，每月全家收入3500元，每月家庭開銷在1500-2000元之間也服從均勻分布。她來(lái)向王先生借錢買房，王先生很為難，但此時(shí)，聰明的王夫人給出了一套新方案，使兩家人購(gòu)房均歡欣鼓舞，你能給出這個(gè)新方案嗎？第四問(wèn)：但這事還未開始實(shí)施就被王先生其他五個(gè)外甥知道了，均想?yún)⒓舆@一方案，并準(zhǔn)備在3月份都購(gòu)置房子，他們購(gòu)置房子的總價(jià)以及他們的經(jīng)濟(jì)情況見(jiàn)表2。那么，王夫人怎樣設(shè)計(jì)這7套房子的購(gòu)房還貸及每個(gè)家庭的每月開銷上限呢？請(qǐng)你幫她拿出詳細(xì)的方案。即每套房子向銀行貸款多少年、多少錢、是否提前還款及還款多少、總共向銀行交了多少利息錢、這種方案總共節(jié)約了多少錢等等。表1：借銀行1萬(wàn)元為例每月等額房貸還款明細(xì)表：購(gòu)置房子的總價(jià)手頭可支配的現(xiàn)金每月開銷〔均勻分布〕每月家庭總收入首付最低比例年終獎(jiǎng)外甥B35萬(wàn)15萬(wàn)1500-2000元5000元30%2萬(wàn)元外甥C30萬(wàn)20萬(wàn)1200-1800元4000元30%0萬(wàn)元外甥D15萬(wàn)10萬(wàn)1000-1500元3500元40%3萬(wàn)元外甥E25萬(wàn)8萬(wàn)1200-1500元4500元30%0萬(wàn)元外甥F20萬(wàn)9萬(wàn)800-1200元3000元40%5萬(wàn)元第五問(wèn)：王先生拿到方案后，覺(jué)得應(yīng)該多向銀行借錢，想把盡量多的錢拿出來(lái)投資三個(gè)工程，但遭到其他人的反對(duì)，你支持王先生的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。如果你支持王先生的觀點(diǎn)，問(wèn)最多可拿多少錢投資這三個(gè)工程，各投資多少？表3三種工程〔甲、乙、丙〕12年中后一年相對(duì)于前一年資產(chǎn)每年的增長(zhǎng)情況年份工程甲工程乙工程丙19961.3001.2251.14919971.1031.2901.26019981.2161.2161.41919990.9540.7280.92220000.9291.1441.16920011.0561.1070.96520021.0381.3211.13320031.0891.3051.73220041.0901.1951.02120051.0831.3901.13120061.0350.9281.00620071.1761.7151.908注：例如1996年工程甲1.300的意思是：1996年工程甲的最后資產(chǎn)是1995年最后資產(chǎn)的1.3倍，其他類推。四、問(wèn)題分析4.1問(wèn)題一的分析：通過(guò)上網(wǎng)查閱相關(guān)知識(shí)，我們了解到等額本息還貸規(guī)那么，建立差分方程模型推導(dǎo)出每月還款金額公式以及逐月還款利息公式，最后運(yùn)用Lingo對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出逐月還款利息。4.2問(wèn)題二的分析：首先將等額本息還款和等額本金還款兩種不同還款模式進(jìn)行分析比擬，通過(guò)上網(wǎng)查閱資料我們了解到：等額本息還款就是按按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟竭€款期限的每個(gè)月中。作為還款人，每個(gè)月還給銀行固定金額，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減，適合收入穩(wěn)定的群體。等額本金還款方式將本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一還款日至本次還款日之間的利息。借款人可隨還貸年份增加逐漸減輕負(fù)擔(dān)，適合目前收入較高的人群?？紤]到王先生家庭收入穩(wěn)定，并且每月收入并不是很高，因此我們采用等額本息還款模式，然后通過(guò)計(jì)算將不同貸款年限以及貸款金額不同的情況作比照，并考慮提前還款對(duì)方案作具體調(diào)整，最終得出最優(yōu)還貸方案。4.3問(wèn)題三的分析：王先生至少要借給外甥3萬(wàn)元，外甥才足以支付買房首付。要使得兩家人對(duì)方案都滿意，就要使付給銀行的利息最少。因此，我們可以把王先生及其外甥兩家合并到一起，通過(guò)具體計(jì)算比照出可支配現(xiàn)金如何分配才能使支付銀行的利息到達(dá)最少，確定最優(yōu)方案。然后將節(jié)省下來(lái)的錢按兩家節(jié)省利息的比列分配給兩家，以到達(dá)兩家收益平衡。4.4問(wèn)題四的分析：在問(wèn)題三的根底上對(duì)模型進(jìn)行修整，仍將王先生及其六個(gè)外甥看做一個(gè)整體，將各個(gè)家庭收入、開銷及年終獎(jiǎng)等合并到一起，然后以最大額度用于首付，使貸款到達(dá)最少，已取得利息最少的目的。4.5問(wèn)題五的分析：首先要考慮到投資三個(gè)工程與銀行貸款付息相比是否獲利，假設(shè)獲利，獲利多少，在獲利的情況下，貸款越多越好。高利率存在高風(fēng)險(xiǎn)，在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，應(yīng)該選擇哪個(gè)投資工程。先算出每個(gè)工程的獲利情況、風(fēng)險(xiǎn)大小、利率曾長(zhǎng)趨勢(shì)，綜合三個(gè)因素，確定最優(yōu)投資方案。二、模型假設(shè)(1)假設(shè)還款期限不受外界因素的影響。(2)假設(shè)貨幣價(jià)值在貸款期限內(nèi)不受外界因素影響，即不會(huì)發(fā)生升值或貶值。(3)假設(shè)在貸款期限內(nèi)利率固定不變，不受經(jīng)濟(jì)危機(jī)、通貨膨脹等因素的影響。(4)假設(shè)每個(gè)月的收入只用于月開銷與還款，不用于其他方面。(5)假設(shè)王先生以及各個(gè)外甥的年終獎(jiǎng)金都在每年3月10號(hào)發(fā)放。(6)假設(shè)年終獎(jiǎng)金在每年3月10日發(fā)。三、符號(hào)說(shuō)明：貸款總額：貸款時(shí)間(月)：貸款月利率：每個(gè)月的還款利息：月還款數(shù)：貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)：貸款總利息五、模型建立與求解5.1問(wèn)題一的模型建立與求解：模型建立根據(jù)題意并查閱相關(guān)資料我們知道，假設(shè)貸款總額為，月利率為，貸款年限為，每月還貸金額為，為第個(gè)個(gè)月還貸后的本息和，那么第一個(gè)月：第二個(gè)月：第個(gè)月：第個(gè)月：模型求解針對(duì)此題，我們主要是為了求解每月的還款額m，因此我們令由〔1〕知：，那么：由上式遞推可得：,由得那么：那么：到第個(gè)月后，,代入上式得：即月還款額=。逐月利息公式為：如果向銀行貸款1萬(wàn)元，貸款期限為10年。我們運(yùn)用Lingo編程求解出還款總額為13164.828元，逐月被銀行拿走的利息錢見(jiàn)下表：表5.1.1年份月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月第一年47.8147.5247.2246.9246.6246.3246.0245.7145.4145.144.7944.48第二年44.1743.8543.5443.2242.942.5842.2641.9441.6241.2940.9640.64第三年40.3139.9739.6439.3138.9738.6338.2937.9537.6137.2636.9236.57第四年36.2235.8735.5135.1634.834.4434.0833.7233.3632.9932.6332.26第五年31.8931.5231.1430.7730.3930.0129.6329.2528.8628.4728.0927.7第六年27.326.9126.5126.1225.7225.3224.9124.5124.123.6923.2822.87第七年22.4522.0321.6121.1920.7720.3419.9219.4919.0618.6218.1917.75第八年17.3116.8716.4215.9815.5315.0814.6314.1713.7213.2612.812.33第九年11.8711.410.9310.469.9829.5059.0268.5458.0617.5757.0876.596第十年6.1035.6085.114.614.1073.6033.0952.5862.0731.5591.0420.5225.2問(wèn)題二的模型建立與求解：模型一：我們首先將模型極端化，貸款期限定為十年，首付15萬(wàn)，家庭開銷均在1500元，貸款金額為29萬(wàn)。那么每個(gè)月還款3138.3元，每年一拿到年終獎(jiǎng)金就馬上提前還款，每次提前還款為一個(gè)階段，這樣我們可以粗略的計(jì)算一下：還款數(shù)額=次階段每月還款數(shù)*此階段包含的月數(shù)2007年9月10日2023還款金額：3181.499*6=19088.994元剩余金額：290000*〔1+0.00478125〕^6-3181.499*(〔1+0.00478125)^6-1)/0.00478125)=28595.138元提前還款：30000+〔4100-3181.499〕*6=35511.006元提前還款后剩余金額：28595.138-35511.006=250448.1323元階段總利息：8189.8192023年3月10日2023年3月10日：還款金額：2747.58*12=32971.056剩余金額：250448.1323*1.00478125^13-2747.58*(1.00478125^13-1)/0.00478125)=229708.15提前還款：30000+〔4100-2747.58〕*12=46229.04提前還款后剩余金額：183479.111階段總利息：13872.4192023年3月10日2010年還款金額：2023.892*12=24154.704剩余金額：183479.111*1.00478125^13-2023.892*((1.00478125^13-1)/0.00478125)=168248.853元提前還款：30000+〔4100-2023.892〕*12=55045.296提前還款后剩余金額：113239.557階段總利息：10162.97782010年3還款金額：1242.316*12=14907.792剩余金額：113239.557*1.00478125^13-1242.316*((1.00478125^13-1)/0.00478125)=103861.969元提前還款：30000+〔4100-1242.316〕*12=64292.208提前還款后剩余金額：39569.761階段總利息：6272.38212011年3還款金額：434.108*12=5209.29剩余金額：39569.761*1.00478125^13-434.108*〔1.00478125^13-1)/0.00478125)=36292.906可支配現(xiàn)金：30000+〔4100-434.1108〕*12=73990.704從第五階段來(lái)看，按十二個(gè)月還款，然后再進(jìn)行提前還款，所剩金額為37697.798說(shuō)明，我們可以不用等到發(fā)年終獎(jiǎng)金在進(jìn)行提前還款，令36292.906-41000*x=0x=9.6解得x=10，即第10個(gè)月時(shí)，就可以還完全部貸款。階段總利息：1838.5567總利息：40336.1546總還款：340336.1546時(shí)間共用：52個(gè)月從模型一首先可以看出：題目中給出，家庭開銷在1500-3000元之間服從均勻分布，限制家庭開銷，顯然有些不合情理，如果使家庭開銷在1500-3000元之間且服從均勻分布，又會(huì)增加還款時(shí)間，導(dǎo)致利息曾多。十年還款期限，僅用了52個(gè)月，即不到五年的時(shí)間，就還完了全部貸款。十年貸款，因?yàn)檫€款時(shí)間加長(zhǎng)使得利息增多，這時(shí)應(yīng)該考慮設(shè)置還款時(shí)間為五年。將還款總額、總利息相加，與五年相比擬見(jiàn)表5.2，得出只要調(diào)整一下五年方案的首付，就可以看到五年方案優(yōu)于十年方案，并且通過(guò)合理計(jì)算，與四年、六年相比擬，得到五年還款方案是較優(yōu)方案。我們以十年的年限還清貸款，假設(shè)首付87210元，那么每個(gè)月還款109.71*(436050-87210)/10000=3827.1元，我們按上面的簡(jiǎn)單計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣還款會(huì)使還款的利息增加，比上面的還款總額還要多。因此，還貸期限定位十年是不理智的。表：五年還款方案與十年還款方案表總還款額〔元〕總利息〔元〕月還款額〔元〕假設(shè)無(wú)提前還款十年381779.9291779.923181五年332424.4842424.485540提前還款十年331769.85740336.1546不同階段不等五年………………模型二：我們以五年的年限還清貸款，首付介于87210與150000之間；頭六個(gè)月至少每個(gè)月要還款(436050-150000)*191.05/10000=5465元，最大還款額(436050-87210)*109.71/10000=6664.6元，由于家庭收入5600，家庭開銷1500到3000且服從均勻分布，這樣一來(lái)我們可以先把所有的月家庭開銷相加，除以月數(shù)，就得到了每月家庭開銷的平均值，但每月家庭開銷是不確定的，且月數(shù)也是不確定的，知道家庭開銷服從均勻分布，所以，先將家庭開銷定為2250即均勻分布的期望值，而將15萬(wàn)分為兩個(gè)局部：首付、可臨時(shí)調(diào)配資金。我們將第階段還款設(shè)為六個(gè)月，以后以每年計(jì)數(shù)〔即12個(gè)月〕，直到還清貸款。假設(shè)每年一拿到年終獎(jiǎng)金就馬上順利提前還款，這樣一來(lái)每提前還款一次后還款方案將會(huì)改變一次，每改變一次后下一年的每個(gè)月還款金額減小，直到當(dāng)年每月還款小于3350元時(shí)，每個(gè)月就一定可以預(yù)留一局部資金，到年終和年終獎(jiǎng)金一起作為提前還款的金額；這樣，在五年之內(nèi)就可以還清所有欠款，我們有理由認(rèn)為這是一個(gè)較優(yōu)方案。然后將方案進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。通過(guò)以下條件及約束：我們可以求出首付在106050-110000元之內(nèi)都較為合理，所以將106050元作為首付，剩余現(xiàn)金作為用來(lái)填補(bǔ)以后每個(gè)月不夠的還款差額，貸款330000元。具體數(shù)據(jù)如下：2007年9月10日2023還款金額：6304.602*6=37827.612剩余金額：330000*1.00459^13-6304.602*〔1.00459^13-1)/0.00459)=296005.20596提前還款：30000提前還款后剩余金額：266005.206階段總利息：87562023年3月10日2023年3月10日：還款金額：5081.991*12=60983.892剩余金額：266005.206*1.00459^13-5081.991*〔1.00459^13-1)/0.00459)=214406.314元提前還款：30000提前還款后剩余金額：184406.314階段總利息：13463.8262023年3月10日2010年還款金額：3523.056*12=42276.672剩余金額：184406.314*1.00459^13-3523.056*〔1.00459^13-1)/0.00459)=148635.731提前還款：30000提前還款后剩余金額：118635.731階段總利息：9333.70972010年3還款金額：2266.518*12=27198.216剩余金額：118635.731*1.00459^13-2266.518*〔1.00459^13-1)/0.00459)=95623.134提前還款：30000+〔3350-2266.518〕*12=43001.784提前還款后剩余金額：52621.35階段總利息：6004.73482011年3還款金額：1005.323*12=12063.876剩余金額：52621.35*1.00459^13-6304.602*〔1.00459^13-1)/0.00459)=42414元提前還款：42414提前還款后剩余金額：0階段總利息：2428.996在第五階段的一次性還完所有貸款后，還有可支配資金10082元，也就說(shuō)明，王先生在還款期間，還有10082元的可調(diào)配資金，所以，開銷上限可以為：3090綜上：此方案首付106050元，貸款33萬(wàn)元，用54個(gè)月還清，總還款369987.1901，總利息39987.1901。其中2007年3月10日志2023年3月10日月消費(fèi)上限為2250元，2011年3月10日至2012年3月10日的月消費(fèi)上限為3090元。5.3問(wèn)題三的模型建立與求解：基于問(wèn)題二設(shè)計(jì)的最優(yōu)還貸方案〔首付106050元，貸款33萬(wàn)元，月還款6304.6元〕，此時(shí)〔2023年3月10號(hào)〕王先生已還款6304.6*6=37827.6元，月消費(fèi)取中位數(shù)來(lái)算，剩余可支配現(xiàn)金為：200000+43956+〔5100-2250〕*6-37827.6=226228.4元倘假設(shè)王先生開始只借3萬(wàn)元給外甥，那么外甥必須貸款12萬(wàn)元，考慮到外甥的還款能力只能按照十年期限還貸，那么總共還款157977.84元，支付銀行的利息為37977.84元。顯然由于貸款期限過(guò)長(zhǎng)導(dǎo)致利息太多。我們把王先生及其外甥看做一個(gè)整體，用手上可支配現(xiàn)金將外甥房款一次性付完，此時(shí)剩余可支配現(xiàn)金總共為76228.4元，全部用于王先生提前還款，那么剩余欠款為：330000*(1+0.00459)^6-6304.6*((1+0.00459)^6-1)/0.00459-76228.4=224700.39元。2023年3月10日2023年3月10日:每月還款額:4292.868元每月收入：3500+5600=9100元每月消費(fèi)：3000~5000元，取其中位數(shù)4000元那么至2023年3月10日剩余欠款為：224700.39*(1+0.00459)^12-4292.868*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=184559.16元可支配現(xiàn)金為：〔9100-4000-4292.868〕*12+30000=39685.58元全部用于提前還款后，那么剩余欠款為144873.52元。2023年3月10日2010年每月還款額:2767.78元每月收入：3500+5600=9100元每月消費(fèi)：3000~5000元，取其中位數(shù)4000元那么至20剩余欠款為：144873.52*(1+0.00459)^12-2767.7*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=118993.90元可支配現(xiàn)金為：〔9100-4000-2767.78〕*12+30000=57986.64元全部用于提前還款后，那么剩余欠款為61007.26元。2010年3月每月還款額:1165.53元每月收入：3500+5600=9100元每月消費(fèi)：3000~5000元，取其中位數(shù)4000元那么至20剩余欠款為：61007.26*(1+0.00459)^12-1165.53*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=50108.77元可支配現(xiàn)金為：〔9100-4000-1165.53〕*12+30000=77213.64元至此可將欠款一次性還清。此方案為外甥節(jié)省了37977.84元的利息，但是由于王先生將大局部可支配現(xiàn)金用于支付外甥的房款，導(dǎo)致自己提前還款說(shuō)額減少，相應(yīng)還款期限就會(huì)有所加長(zhǎng)，隨之帶來(lái)利息增多的結(jié)果。因此，我們將外甥節(jié)省的利息一半分配給王先生，及外甥還款時(shí)多還約19000元，已到達(dá)是兩家都滿意的效果。5.4問(wèn)題四的模型建立與求解：在問(wèn)題三的根底上，我們把七家人看成一家人，七套房子看成一套房子?，F(xiàn)在王先生手上還有余額27491元，另外王先生借到無(wú)息款20萬(wàn)元〔包括年終獎(jiǎng)3萬(wàn)元〕，全家人現(xiàn)在有可支配現(xiàn)金：26228.4+200000+50000+150000+200000+100000+80000+90000=896228.4元房子總價(jià)為：297600+200000+350000+300000+150000+250000+200000=1747600元首付至少：200000*0.4+350000*0.3+300000*0.3+150000*0.4+250000*0.3+200000*0.4=490000元每月總收入：5600+3500+5000+4000+3500+4500+3000=29100元每月總開銷:在1500+1500+1500+1200+1000+1200+800=8700到3000+2000+2000+1800+1500+1500+1200=13000元之間服從均與分布。年終獎(jiǎng)總額：3+2+3+5=13萬(wàn)元我們?nèi)圆捎玫阮~本息還款，還款期限為5年2023年3月10日2023年3月10日:每月還款額:16265.4元每月收入：29100元每月消費(fèi)：8700~13000元，取其中位數(shù)10850元那么至2023年3月10日剩余欠款為：(1747600-896228.4)*(1+0.00459)^12-16265.4*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=699279元可支配現(xiàn)金為：〔18250-16265.4〕*12+130000=153815.2元全部用于提前還款后，那么剩余欠款為544464.2元。2023年3月10日2010年3每月還款額:10402元每月收入：29100元每月消費(fèi)：8700~13000元，取其中位數(shù)10850元那么至20剩余欠款為：518342*(1+0.00459)^12-9902.9*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=447198元可支配現(xiàn)金為：〔18250-10402〕*12=94176元全部用于提前還款后，那么剩余欠款為223022元。2010年3月每月還款額:4261元每月收入：29100元每月消費(fèi)：8700~13000元，取其中位數(shù)10850元那么至20剩余欠款為：223022*(1+0.00459)^12-4261*((1+0.00459)^12-1)/0.00459=183178元可支配現(xiàn)金為：〔18250-4261〕*12=167868元年終獎(jiǎng)金和可支配現(xiàn)金可將欠款一次性還清。每套房子向銀行貸款：(1747600-896228.4)/7=121624.5元提前還款：23815.2+94176+183178+130000*2=561169.2元總共向銀行交了利息錢：896228.4+195184.8+23815.2+130000+124823+94176+130000+51130+183178-1747600=80935.4元現(xiàn)在這一家向銀行貸款5年，首付的錢按照最少支付，并且年底獎(jiǎng)金不提前付款，那么總共向銀行交了利息錢：183975.9元，可見(jiàn)這種方案向銀行交了利息錢多，因此上一種方案比這種方案節(jié)約183975.9-80935.4=103040.5元那么每套房子向銀行貸款期限為3年、各貸款121624.5元、并且提前還款，提前還款額為561169.2元、總共向銀行交了利息錢為80935.4元、這種方案總共節(jié)約了103040.5元。5.5問(wèn)題五的模型建立與求解：根據(jù)題意知道，只要投資工程的收益率大于貸款的年利率，就可以對(duì)三個(gè)工程進(jìn)行投資。通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，得到三個(gè)工程的收益率分別為：0.0153、0.0332、0.0354，從收益率來(lái)看，投資工程三收益是最高的，但就此下結(jié)論還為時(shí)過(guò)早。下面對(duì)三個(gè)工程進(jìn)行方差的計(jì)算，結(jié)果如下表：表5.5.1年份工程甲工程乙工程19960.1293136430.1030365970.08911245419970.0930912080.1142611920.1071616619980.1131422450.1015281520.13591366919990.0696392990.0363900030.05737995320000.0660372640.0898610270.09224171420010.0853268040.0841423370.06285690220020.0824427270.11981880.08664792420030.0907430560.1169338780.20248558920040.0909097870.0980517030.07036388820050.0897458870.132662730.08634228820060.0819668680.0591310080.06831157620070.1058211030.202351730.245728248期望值1.0981798911.2577691571.304545866表三個(gè)工程每年收益的方差年份工程甲工程乙工程19960.044485980.000128440.0073244519970.000193680.005826730.0006460219980.016107920.000005440.0340096319990.018247420.235872430.0977081320000.025626570.004853490.0043011320010.001094480.011377850.0726749920020.002609470.011520370.0103191120030.000000010.008341720.2474236720040.000000840.000348460.0456177020050.000037000.031093330.0107294420060.002924970.081605630.0522501920070.007554560.251334780.45349046方差0.1190.6421.036方差大表示風(fēng)險(xiǎn)大，反之，風(fēng)險(xiǎn)小，雖然工程丙的收益率高，但其存在著風(fēng)險(xiǎn)最大，所以，不考慮投資丙工程，即使投資，比例應(yīng)放到最小。而甲的風(fēng)險(xiǎn)最小，那么，我們考慮將所有的資金用于投資甲、乙兩個(gè)工程。然后利用MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行求解得到〔詳見(jiàn)附錄2〕，應(yīng)將所有的資金投資甲工程。從第四問(wèn)，知道房子總價(jià)為1747600元，現(xiàn)在有可支配現(xiàn)金896228.4元，得到貸款數(shù)額為851371.6元，貸款總額最高為房?jī)r(jià)的80%，即：1398080元，所以，王先生還可以有5000000元的資金進(jìn)行投資。假設(shè)全部投資甲，那么工程年收益：500000*0.089083332=44541.666元貸款年利息：500000*0.05508=27540元每年年收益：44541.666-27540=17001.666元顯然，只投資甲工程會(huì)帶來(lái)收益，但獲得收益較少，通過(guò)甲、乙、丙三種工程資產(chǎn)增長(zhǎng)趨勢(shì)折線圖：圖5.5.1我們發(fā)現(xiàn)工程乙整體呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，丙的波動(dòng)太大。因此我們考慮將一局部錢投資工程乙，但乙的風(fēng)險(xiǎn)性也較大，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)性及受益，定出投資工程甲43.5萬(wàn)，工程乙6.5萬(wàn)的最優(yōu)投資方案。收益如下：工程年收益：435000*0.089083332+65000*0.213666667=52639.582775〔元〕貸款年利息：500000*0.05508=27540〔元〕每年收益：52639.582775-27540=25099.582775〔元〕將年收益作為提前還款額，一方面減少還款時(shí)間，另一方面也減少了利息。六、模型的評(píng)價(jià)和改良1、模型一運(yùn)用差分方程推導(dǎo)公式，思路清晰易懂，并借助Lingo編程求解，減少運(yùn)算量，結(jié)果精確；2、第二、三、四問(wèn)中，涉及大量計(jì)算，較為繁；3、問(wèn)題五中投資分配有一定主觀性。七、參考文獻(xiàn)[1]謝金星薛毅，《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》，北京：清華大學(xué)出版社，2005。[2]百度百科-----等額本息、等額本金還款法。[3]宋文.《算法設(shè)計(jì)與分析》.重慶大學(xué)出版社，2023.附錄附錄1：?jiǎn)栴}一Lingo編程及求解MODEL:SETS:MONTH/1..121/:x,y;!每月歸還本金x(i)/每月歸還利息y(i);ENDSETSDATA:capital=10000;!本金;ENDDATA!初始值;x(1)=0;y(1)=0;!等額本息約束;@FOR(MONTH(i)|i#gt#2:x(i)+y(i)=x(i-1)+y(i-1));!每月利息;@FOR(MONTH(i)|i#gt#1:y(i)=(capital-@sum(MONTH(j)|j#lt#i:x))*0.478125/100);!本金求和;@SUM(MONTH:x)=capital;!利息求和;sumy=@SUM(MONTH:y);!每月支付本息;UNIT=x(2)+y(2);運(yùn)算結(jié)果：Feasiblesolutionfound.Totalsolveriterations:2VariableValueCAPITAL10000.00SUMY3164.825UNIT109.7069Y(1)0.000000Y(2)47.81250Y(3)47.51657Y(4)47.21922Y(5)46.92045Y(6)46.62025Y(7)46.31862Y(8)46.01555Y(9)45.71102Y(10)45.40504Y(11)45.09760Y(12)44.78868Y(13)44.47829Y(14)44.16642Y(15)43.85306Y(16)43.53819Y(17)43.22182Y(18)42.90394Y(19)42.58454Y(20)42.26361Y(21)41.94115Y(22)41.61714Y(23)41.29159Y(24)40.96448Y(25)40.63580Y(26)40.30556Y(27)39.97373Y(28)39.64032Y(29)39.30532Y(30)38.96871Y(31)38.63049Y(32)38.29066Y(33)37.94920Y(34)37.60611Y(35)37.26138Y(36)36.91499Y(37)36.56696Y(38)36.21726Y(39)35.86589Y(40)35.51283Y(41)35.15809Y(42)34.80166Y(43)34.44352Y(44)34.08366Y(45)33.72209Y(46)33.35879Y(47)32.99375Y(48)32.62696Y(49)32.25843Y(50)31.88813Y(51)31.51605Y(52)31.14220Y(53)30.76657Y(54)30.38913Y(55)30.00990Y(56)29.62885Y(57)29.24597Y(58)28.86127Y(59)28.47473Y(60)28.08633Y(61)27.69609Y(62)27.30397Y(63)26.90998Y(64)26.51411Y(65)26.11634Y(66)25.71668Y(67)25.31510Y(68)24.91160Y(69)24.50617Y(70)24.09881Y(71)23.68949Y(72)23.27822Y(73)22.86499Y(74)22.44977Y(75)22.03258Y(76)21.61338Y(77)21.19219Y(78)20.76898Y(79)20.34374Y(80)19.91647Y(81)19.48716Y(82)19.05580Y(83)18.62237Y(84)18.18688Y(85)17.74930Y(86)17.30963Y(87)16.86785Y(88)16.42396Y(89)15.97796Y(90)15.52981Y(91)15.07953Y(92)