區(qū)間型不確定多屬性決策方法及應(yīng)用

隨著社會、經(jīng)濟(jì)的進(jìn)展，人門所考慮問題的復(fù)條性、不確定性以及人類思維的模糊性在不斷增加．在實際決決過程中，決策信息有時以區(qū)間數(shù)形式來表達(dá)。本章將介紹區(qū)間型正抱負(fù)點、區(qū)間型負(fù)抱負(fù)點等概念．區(qū)間數(shù)

之間比較的可能度公式以及可能度公式之間的關(guān)系，并且分別介紹基于可能度、基于投影模型、靠近正抱負(fù)點的多屬性決策方法．本章對上述方法均進(jìn)展了實例分析第1節(jié)基于可能度的多屬性決策方法一、區(qū)間數(shù)比較的可能度公式記稱為區(qū)間數(shù)，特殊地，當(dāng)時，退化為一個實數(shù)。先給出區(qū)間數(shù)的運算法則。設(shè)和，且，則設(shè)和，且，則〔1〕當(dāng)且僅當(dāng)和〔2〕〔3〕，其中，特殊地，假設(shè)，則定義4.1當(dāng)均為實數(shù)時，則稱當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時〔4.1〕為的可能度。定義4.2當(dāng)至少有一個為區(qū)間數(shù)時，且記〔4.2〕為的可能度。則稱設(shè)，則記的次序關(guān)系為例設(shè)，，求。解所以，定義4.3當(dāng)至少有一個為區(qū)間數(shù)時，且記〔4.3〕為的可能度。則稱例設(shè)，，求。解所以，定義4.4當(dāng)至少有一個為區(qū)間數(shù)時，且記〔4.4〕為的可能度。則稱例設(shè)，，求。解所以，定義4.5當(dāng)至少有一個為區(qū)間數(shù)時，且記〔4.5〕為的可能度。則稱可以證明以上4個定義是等價的。例設(shè)，，求。解所以，依據(jù)上述3種定義，可以證明以下結(jié)論均成立。定理4.1設(shè)，，則〔1〕〔2〕當(dāng)且僅當(dāng)〔3〕當(dāng)且僅當(dāng)〔4〕〔互補性〕特殊地，〔5〕當(dāng)且僅當(dāng)特殊地，〔6〕〔傳遞性〕對于3個區(qū)間數(shù)假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)且則定義1.8設(shè)摸糊推斷矩陣，假設(shè)有則稱矩陣B是模糊互補推斷矩陣?yán)秊槟：パa推斷矩陣。定理2.2設(shè)模糊互補推斷矩陣對矩陣B按行求和得則可依據(jù)的序關(guān)系對區(qū)間進(jìn)展排序。例比較以下5個區(qū)間大小解：由可能度矩陣對于矩陣P按行求和：由得到第3節(jié)決策方法步驟1對于某一多屬性決策問題，屬性的權(quán)重完全確知(即為實數(shù))。對于方案，按屬性進(jìn)展測度，得到關(guān)于的屬性值(這里)．從而構(gòu)成決策矩陣．最常見的屬性類型為效益型和成本型．設(shè)分別表示效益型、本錢型的下標(biāo)集．為了消退不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，可用以下公式將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，其中(4.9)(4.10)例4．3某地區(qū)盛產(chǎn)生皮．為了開發(fā)該地區(qū)的制革工業(yè)，考慮列生產(chǎn)資源的分布狀況及其他與制革工業(yè)有關(guān)因素(屬性)，其中所考慮的屬性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10萬加侖／天)；—廢水排放方式(特別制)；—工廠和設(shè)備本錢(百萬美元);—作業(yè)本錢(百萬美元/年)；—有關(guān)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)進(jìn)展(十分制);—爭論開發(fā)時機(特別制)；—投資酬勞(以1為基數(shù)).請標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。表4.5決策矩陣表4.5決策矩陣在上述屬性中，能源需求量()、水的需求量()。工廠和設(shè)備本錢()和作業(yè)本錢為本錢型外，其他均為效益型．表4.5決策矩陣?yán)?，對于屬?，標(biāo)準(zhǔn)化公式為表4.5決策矩陣?yán)?，對于屬?，標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間，如表4.5決策矩陣?yán)纾瑢τ趯傩?，標(biāo)準(zhǔn)化公式為將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.6所示．表4.6標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣步驟1由(4.9)和(4.10)兩式將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.6所示．表4.6標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣或者(4.11)(4.12)依據(jù)區(qū)間放的運算法則，把(4.11)和(4.12)兩式寫為(4.13)(4.14)步驟2利用WAA算子對各方案的屬性值進(jìn)展集結(jié)．求得其綜合屬性值(4.15)步驟3利用區(qū)間數(shù)比較的可能度公式(4.2)，算出各方案綜合屬性值之間的可能度并建立可能度矩陣步驟4利用公式并按大小對方案進(jìn)展排序，即得最優(yōu)方案。第4節(jié)實例分析例4.1考慮一個大學(xué)的學(xué)院評估問題，選擇教學(xué)，科研和效勞這3個屬性作為評估指標(biāo)．設(shè)有5個學(xué)院(方案)將被評估，并假定屬性的權(quán)重向量為．決策者以區(qū)間數(shù)這種不確定形式給出了各方案的屬性值，其標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣如表4.1所示．表4.1標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣?yán)霉娇汕蟪鰧W(xué)院的綜合屬性值分別為區(qū)間數(shù)為了對各方案進(jìn)展排序，先利用(4.2)式求出，兩兩比較的可能度矩陣對于矩陣P按行求和：假設(shè)用符號表示方案之間具有可能度的優(yōu)序關(guān)系，則相應(yīng)的5個學(xué)院的排序為從而學(xué)院綜合評估結(jié)果最好。由得到4．2基于投影的多屬性決策方法第1節(jié)決策方法首先構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，其中且定義4.6稱為區(qū)間型正抱負(fù)點，其中(4.16)定義4.7設(shè)和(4.17)是兩個向量，定義定義4.8設(shè)則稱為向量的模。眾所周知，一個向量是由方向和模兩局部所組成，而向量之間的夾角余弦值僅能街量它們的方向是否一致，而不能反映其模的大小．必需把模的大小與夾角余弦值結(jié)合起來考慮才能全面反映向量之間的接近度．為此定義投影的概念。定義4.9設(shè)和是兩個向量，定義(4.18)為在上的投影，一般地，值越大．表示向量與之間越接近。令(4.19)其中，明顯，值越大，說明方案越貼近區(qū)間型正抱負(fù)點，因此，方案越優(yōu)。依據(jù)上述定義，下面介紹一種基于投影的多屬性決策方法．具體步驟下：步驟1對于某一多屬性決策問題，屬性的權(quán)重完全確知．決策者對全部方案按各屬性進(jìn)展測度，得到?jīng)Q策矩陣。并按(4.9)和(4.10)兩式將轉(zhuǎn)化為規(guī)范化矩陣。步驟2利用屬性權(quán)重向量和標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。步驟3利用〔4.16〕式確定區(qū)間型正抱負(fù)點。步驟4利用〔4.19〕式求出方案在區(qū)間型正抱負(fù)點上的投影。步驟5依據(jù)值對方案進(jìn)展排序或擇優(yōu)。實例分析例4．2修理性設(shè)計是指在產(chǎn)品的研制過程中，要充分考慮系統(tǒng)的總體構(gòu)造、各局部的配置與連接，標(biāo)準(zhǔn)化和模塊化等因素，以便在產(chǎn)品發(fā)生故障時，用戶能準(zhǔn)時恢復(fù)?，F(xiàn)擬對某雷達(dá)接收機3個修理性設(shè)計方案進(jìn)展選樣．考慮的指標(biāo)(屬性)有：—壽命周期費用(萬元)；—平均壽命(小時)；—平均修理時間；—-可用度；—綜合性能．決策矩陣如表4．2所示．屬性權(quán)重向量為試確定最正確方案。表4.2決策矩陣在各項指標(biāo)中，除壽命周期費用()和平均修理時間()為本錢型外．其他均為效益型。步驟1由(4.9)和(4.10)兩式將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.3所示．表4.3標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣表4.3標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣步驟2利用屬性權(quán)重向量以及標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.4所示．表4.4加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣步驟3利用(4.6)式確定區(qū)間型正抱負(fù)點步驟4利用(4.19)式求出方案在區(qū)間型正抱負(fù)點上的投影步驟5依據(jù)值對方案進(jìn)展排序．得故最優(yōu)方案為。4.3靠近抱負(fù)點的多屬性決策方法4.3.1決策方法定義4.10稱為區(qū)間型負(fù)抱負(fù)點，其中〔4.20)下面介紹一種迢近抱負(fù)點的多屬性決策方法．具體步驟如下：步驟1對于某一多屬性決策問題，屬性的權(quán)重完全確定．分別為決策炬陣及其標(biāo)準(zhǔn)化矩陣．步驟2利用屬性權(quán)重向量和標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣.

步驟3利用(4.16)和(4.20)兩式確定區(qū)間型正、負(fù)抱負(fù)點、步驟4計算每個方案分別到正抱負(fù)點和負(fù)抱負(fù)點的距離：(4.21)(4.22)步驟5計算每個方案對理坦點的貼近度(4.23)步驟6按值的大小對方案進(jìn)展排序，值越大，則方案越優(yōu)。4.3.2實例分析例4．3某地區(qū)盛產(chǎn)生皮．為了開發(fā)該地區(qū)的制革工業(yè)，考慮列生產(chǎn)資源的分布狀況及其他與制革工業(yè)有關(guān)因素(屬性)，其中所考慮的屬性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10萬加侖／天)；—廢水排放方式(特別制)；—工廠和設(shè)備本錢(百萬美元);—作業(yè)本錢(百萬美元/年)；—有關(guān)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)進(jìn)展(十分制);—爭論開發(fā)時機(特別制)；—投資酬勞(以1為基數(shù)).屬性權(quán)重向量為有關(guān)部門提出了5個備選方案，各方案在上述屬性下的屬性值如表4.5所示。試確定最正確方案。表4.5決策矩陣表4.5決策矩陣在上述屬性中，能源需求量()、水的需求量()。工廠和設(shè)備本錢()和作業(yè)本錢為本錢型外，其他均為效益型．步驟1由(4.9)和(4.10)兩式將決策矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.6所示．表4.6標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣表4.6標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣步驟2利用屬性權(quán)重向量以及標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表4.7所示．表4.7標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣表4.7標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣步驟3利用(4.16)菏(4.20)式確定區(qū)間型正、負(fù)抱負(fù)點步驟4計算每個方案分別到正抱負(fù)點和負(fù)抱負(fù)點的距離步驟5計箅每個方案對抱負(fù)點的貼近度步驟6按值的大小對方案進(jìn)展排序得：因此最正確方案為。第5章屬性權(quán)重完全未知且屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策方法及應(yīng)用5.1對方案無偏好的多屬性決策方法5.1.1公式和定義對于某一多屬性決策問題，其屬性的權(quán)重向量為，并滿足單位化約束條件：(5.1)且設(shè)決策矩陣為，這里。其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為。為了能衡量兩個區(qū)間數(shù)相像的程度相離度的概念．定義5.1設(shè)區(qū)間數(shù)，，假設(shè)范數(shù)稱為區(qū)間數(shù)和的相離度。明顯越大，則和相離的程度越大．特殊地，當(dāng)時，有，即和相等。5.1.2決策方法對于某一多屬陸決策問題．一般需要求出各方案的綜合屬性值．由標(biāo)準(zhǔn)化矩陣及屬性權(quán)重向量，利用WAA算子得到方案的綜合屬性值(由(4.15)式獲得)。當(dāng)屬性權(quán)重及屬性值都是確定的值時。由各方案綜合屬性值的大小可以確定萬案的優(yōu)劣；否則,就不能直接由(4.15)式確定綜合屬性值。

下面將考慮屬性權(quán)雖完全未知、屬性值為區(qū)間數(shù)且決策者對方案無偏好的情形。5.3UOWA算子設(shè)表示全體區(qū)間數(shù)的集合。定義[224]設(shè)，假設(shè)其中是與UOWA相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量，滿足且是一組數(shù)據(jù)組中第大的元素。則稱函數(shù)是不確定算子，〔簡記算子〕?？梢岳玫?章中確定OWA算子加權(quán)向量的方法或用下面的表達(dá)式來確定加權(quán)向量，其中(5.13)這里，為模糊語義量化算子(5.14)其中。對應(yīng)于模糊語義量化準(zhǔn)則[79]，“大多數(shù)”，“至少半數(shù)”，“盡可能多”的算子中的參數(shù)對分別為例5.3給定一組區(qū)間數(shù)利用(4.2)式對這4個區(qū)間數(shù)進(jìn)展兩兩比較，并建立可能度矩陣依據(jù)(4.6〕式(4.6)得到可能度矩陣P的排序向量利用對區(qū)間數(shù)，按降序進(jìn)展排列，可得假設(shè)假定UOWA算子的加權(quán)向量為則利用UOWA箅子對這4個區(qū)間數(shù)進(jìn)展集結(jié)，可得5.4基于UOWA算子