重難點05函數(shù)性質的綜合問題（六大題型）

重難點05函數(shù)性質的綜合問題【題型歸納目錄】題型一：利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較大小題型二：利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象解不等式題型三：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式題型四：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值題型五：抽象函數(shù)性質的應用題型六：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求參數(shù)【方法技巧與總結】函數(shù)的性質是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，包括函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，在歷年的高考中函數(shù)的性質都占有非常重要的地位．命題時常常多種性質結合在一起進行考查，難度較大，技巧性比較強．【典型例題】題型一：利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較大小例1．設為定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為為定義在上的偶函數(shù)，所以，又因為在上為增函數(shù)，，所以，即.故選：B.例2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)為減函數(shù)，且f（x+2）為偶函數(shù)，則f（﹣1），f（4），f（）的大小為（）A．f（4）＜f（﹣1）＜f（）B．f（﹣1）＜f（4）＜f（）C．f（）＜f（4）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（）＜f（4）【答案】A【解析】為偶函數(shù)，，（4），，，定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，（4），故選：．例3．設是R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若且，則（

）.A． B．C． D．與大小不確定【答案】A【解析】由是上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，因為且，所以，所以，又由是上的偶函數(shù)得，所以，故選：A.變式1．已知為定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得到，再由在上為增函數(shù)，且得到結論.因為為定義在上的偶函數(shù)，所以，又因為在上為增函數(shù)，且，所以，所以．故選：A．變式2．若函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),則,,的大小順序是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,且函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,且在上函數(shù)滿足,即,因為,所以．故選D．題型二：利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象解不等式例4．設是奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù)，又，則的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù)，可得函數(shù)在為減函數(shù)，又由，可得，因為不等式，當時，則，解得；當時，則，解得，所以不等式的解集為或.故選：D.例5．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，不等式的解集等價于：或，即或，所以不等式的解集為：或或，故選：D.例6．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故由得：，解得，故選：C變式3．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，所以的定義域為.又因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以得解得或．故選：D變式4．已知是定義在上的奇函數(shù)，，若且滿足，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設在上遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上遞增，而，則，由，有或，則或，所以不等式解集為.故選：A變式5．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，所以在上單調(diào)遞減，又為定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，當時，由得，故，當時，由得，故，綜上：不等式的解集是.故選：D.變式6．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當時，由，即，得到或（舍棄），所以，當時，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.變式7．已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)部分圖象和偶函數(shù)可以補全y軸左側的圖象，由，當時，，結合圖象可得；當時，，可得，所以的解為或.故答案為：.變式8．定義在R上的偶函數(shù)在上的圖像如下所示，則不等式的解集是.【答案】【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，則其函數(shù)的圖象關于軸對稱，如下圖所示：當時，由，則，根據(jù)圖象可得；當時，由，則，根據(jù)圖象可得.綜上所述，不等式的解集為.故答案為：題型三：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式例7．已知定義域為的奇函數(shù)，則的解集為．【答案】【解析】由題知，恒成立，所以，此時，符合題意.又因為奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以，解得，因此，，函數(shù)單調(diào)遞增，故等價于等價于，即，解得．故答案為：例8．若函數(shù)，則關于的不等式的解集為.【答案】【解析】，，即為偶函數(shù)，設，函數(shù)為偶函數(shù)，并且在單調(diào)遞增，不等式，即，則，所以，兩邊平方后得，解得：，所以不等式的解集為.故答案為：例9．設是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，又是上的奇函數(shù)，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，因為對于任意的，不等式恒成立，于是對恒成立，即對恒成立，而，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式9．已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為的定義域為，且在上單調(diào)遞增，所以由可得：，解得：故答案為：.變式10．已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為時，單調(diào)遞增，且，因為時，單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以.故答案為：變式11．已知函數(shù)為奇函數(shù)．不等式．則的取值范圍是【答案】【解析】由題設，函數(shù)定義域為R且為奇函數(shù)，則，故，所以，滿足題設，則，而，令，則，所以，故，所以在上遞減，故.所以的取值范圍為.故答案為：變式12．已知是上的奇函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為．【答案】；【解析】當時，，解得，因為是上的奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱所以當時，，又由是上的奇函數(shù)，所以，即，綜上，的解集為.故答案為：變式13．已知函數(shù)，則不等式的解集是.【答案】【解析】因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù).又當時，單調(diào)遞增.因為是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，又因為，所以.故答案為：.題型四：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值例10．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，(1)求(2)求函數(shù)的解析式(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．【解析】（1）因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，，則，.（2）設，則，所以，因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則時，，所以.（3）當時，，所以，對稱軸為，當時，即時，；當時，即時，；當時，即時，；綜上所述，.例11．已知：(1)若，判斷的奇偶性；(2)若在上的最小值是3，求正數(shù)的值．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，因為，解得或，當時，則，因為，所以是奇函數(shù)；當時，則，因為，所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）因為，對于函數(shù)，可知其開口向上，對稱軸；對于函數(shù)，可知其開口向下，對稱軸；由題意可知：，解得或，且，可得，當時，，可知在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是；當時，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，若在上的最小值是3，則最小值3只能在處取到，但，不合題意；綜上所述：．例12．已知函數(shù)為常數(shù)(1)討論并判斷函數(shù)是奇偶性；(2)當時，①判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；②求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值以及取最值時的值．【解析】（1）當時，函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，當時，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故當時，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，當時，函數(shù)為奇函數(shù).（2）當時，則在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，因為，且，所以，故，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.根據(jù)上述結論，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故時，時，變式14．已知函數(shù)，且．(1)判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性；(2)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【解析】（1）由可得，所以，即，其定義域為，關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)；（2）由（1）知，取，則，又，所以，即，可得，且，所以，即可得函數(shù)在上是單調(diào)遞增．（3）由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，；即可得在區(qū)間上的最大值為，最小值為.變式15．已知為偶函數(shù)，當時，.(1)求的解析式；(2)當時，的最小值為，求的最小值.【解析】（1）因為為偶函數(shù)，且當時，，所以，當時，，可得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可得，當時，，所以的圖象開口向上，對稱軸為，所以當時，可得，則在上單調(diào)遞減，所以；當時，可得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.綜上所述，函數(shù)的解析式為，當時，可得單調(diào)遞減，所以；當時，可得；當時，可得單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的最小值為.變式16．已知函數(shù)是偶函數(shù)，定義時，(1)求；(2)當時，求的解析式；(3)若求函數(shù)在區(qū)間上的最大值【解析】（1）因為是偶函數(shù)，故；（2）當時，，所以，（3）因為是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值，當時，當時，，此時在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，，二次函數(shù)開口向下，且對稱軸為，則此時在上單調(diào)遞減，又因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.題型五：抽象函數(shù)性質的應用例13．函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當時，.(1)判斷的奇偶性；(2)求證：是上的減函數(shù)；(3)若，解關于的不等式.【解析】（1）由題意，函數(shù)對任意實數(shù)恒有，令得，解得：.取，則由得，∴，即，∴函數(shù)是奇函數(shù).（2）證明：任取，且，則，∵當時，，∴，由得，∴，∴，∴是上的減函數(shù).（3）由得，由得，則，∴不等式可化為，∵是上的減函數(shù)，∴，即………①.（i）當時，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；（ii）當時，不等式①式化為，即，若，上式不等式即為，解得：，即原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；（iii）當時，不等式①式化為，即，∵此時，∴原不等式解集為；綜上，當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為.例14．解一元二次不等式的一般步驟：（1）化為標準形式；（2）確定判別式的符號，若，則求出該不等式對應的一元二次方程的根；若，則該不等式對應的一元二次方程無根；（3）結合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項式能分解因式，則可直接寫出不等式的解集.例15．含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較相應方程的根的大小，注意分類討論思想的應用.變式17．已知函數(shù)滿足，且．(1)求，判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結論；(2)若對任意，都有成立，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)滿足，所以令，得到，所以；函數(shù)定義域為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)（2）因為對任意，都有成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，不等式，即，即，即，所以，所以對恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即實數(shù)m的取值范圍為變式18．已知函數(shù)的定義域為R，并且滿足下列條件：對任意x，y∈R，都有，當時，.(1)證明：為奇函數(shù)；(2)若，解不等式.【解析】（1）∵函數(shù)的定義域為，則定義域關于原點對稱．∵對任意x，y∈R，都有，故令，則，，令，則，即，是奇函數(shù)；（2）任取，且，由題意得，，，，，，在上為減函數(shù)．因，∴，∴，解得，∴的解集為：．變式19．設函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有．(1)寫一個滿足條件的并證明；(2)證明是奇函數(shù)；(3)解不等式．【解析】（1）因為函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有，這樣的函數(shù)很多，其中一種為：．證明如下：函數(shù)滿足是增函數(shù)，因為，所以滿足題意．（2）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即，故是奇函數(shù)．（3）因為，所以，則，即，因為，所以，所以，又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以不等式的解集為.變式20．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且當x>0時，f(x)<0恒成立.(1)證明函數(shù)y＝f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)；(2)討論函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范圍.【解析】（1）證明設x1>x2，則x1－x2>0，∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)又當x>0時，f(x)<0恒成立，所以，即f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)y＝f(x)是R上的減函數(shù).（2）由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，又函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，即函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).（3）法一由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函數(shù)，即f(x2－2)<f(－x)，又y＝f(x)在R上是減函數(shù)，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).法二由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)，又y＝f(x)在R上是減函數(shù)，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.故x的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).變式21．設函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【解析】（1）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即得，故是奇函數(shù)．（2），所以，則，即，

因為，所以，所以，

又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以x的解集為．變式22．已知滿足，且時，(1)判斷的單調(diào)性并證明；(2)證明：；(3)若，解不等式．【解析】（1）是定義在上的減函數(shù)，證明如下：，且，則，，又，即，，是定義在上的減函數(shù)；（2）由，令，得，令可得，，，，即；（3），，，即，又是定義在上的減函數(shù)，，解得或，不等式的解集為或．題型六：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求參數(shù)例16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則a的值是（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，解得或，當時，，則，不滿足題意；當時，，則，滿足題意.所以a的值是2.故選：B例17．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，則，所以，則．故選：D．例18．已知函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為的定義域為，所以，即；因為為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以.故選：D.變式23．設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)