（全國卷II）高考數(shù)學(xué)（第三模擬）調(diào)研卷 理（含解析）-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：共12題1．已知全集U={1,2,3,4,5},?UA={1,2},則集合A的真子集的個數(shù)為A.8 B.7 C.6 D.32．若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i(i是虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為A.(1,1) B.(1,2) C.(1,-1) D.(-1,1)3．命題“存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象關(guān)于點(,0)對稱”的否定是A.存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都不關(guān)于點(,0)對稱B.對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都不關(guān)于點(,0)對稱C.對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都關(guān)于點(,0)對稱D.存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象關(guān)于點(,0)不對稱4．已知平面向量a,b滿足b=(-,1),b·(a-b)=-3,a為單位向量,則向量b在向量a方向上的投影為A.4 B.1 C.-4 D.-105．已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上的點到直線l的距離的最小值為A. B. C.1 D.36．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足S2=3,S3-S1=6,則a6=A.16 B.32 C.35 D.467．已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖完全相同,則該幾何體的體積是A.π B.3π C.2π D.8．已知x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的最大值為2a+6,最小值為2a-2,則實數(shù)a的取值范圍是A.[-1,1]

B.(0,1]

C.[-1,0)

D.[-1,0)∪(0,1]9．已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分圖象如圖所示,A、B兩點之間的距離為10,且f(2)=0,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則t的最小值為A.1 B.2 C.3 D.410．如圖所示,在邊長為2的正方形ABCD中,圓心為B,半徑為1的圓與AB、BC分別交于E、F,則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于A.π B.6π C. D.4π11．已知數(shù)列{an}滿足(3-an+1)(3+an)=9,且a1=3,則數(shù)列{}的前6項和S6=A.6 B.7 C.8 D.912．已知函數(shù)f(x)=|lnx|-ax(x>0,0<a<1)的兩個零點是x1,x2,則A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.1<x1x2<e D.x1x2>e二、填空題：共4題13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果是,則整數(shù)N=.

14．設(shè)m∈N且0≤m<5,若192016+m能被5整除,則m=.

15．已知定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x),對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log3x]=4,則函數(shù)f(x)的圖象在x=處的切線的斜率為.

16．已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A,B兩點,且|AF|=4|FB|,O為坐標(biāo)原點,若△AOB的面積S△AOB=,則p=.

三、解答題：共8題17．已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2sin2B-2sin2A=sin2C,tan(A+B)=.(1)求sinC的值;(2)若△ABC的面積為3,求b的值.18．為了解某校高三甲、乙兩個小組每天的平均運動時間,經(jīng)過長期統(tǒng)計,抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,得到甲、乙兩組每天的平均運動時間(單位:min)的莖葉圖如圖所示.(1)假設(shè)甲、乙兩個小組這10天的平均運動時間分別為t1,t2,方差分別為,.(i)比較t1,t2的大小;(ii)比較,的大小(只需寫出結(jié)果);(2)設(shè)X表示未來3天內(nèi)甲組同學(xué)每天的平均運動時間超過30min的天數(shù),以莖葉圖中平均運動時間超過30min的頻率作為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．如圖,在平行四邊形ABCD中,BC=2AB,∠ABC=60°,四邊形BEFD是矩形,且BE=BA,平面BEFD⊥平面ABCD.(1)求證:AE⊥CF;(2)求二面角A-EF-C的平面角的余弦值.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓E:+y2=1上的非坐標(biāo)軸上的點,且4kOA·kOB+1=0(kOA,kOB分別為直線OA,OB的斜率).(1)證明:+,+均為定值;(2)判斷△OAB的面積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.21．已知函數(shù)f(x)=x2+mx+lnx.(1)若函數(shù)f(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),且m≤-,求f(x1)-f(x2)的最小值.22．如圖,E為圓O的直徑AB上一點,OC⊥AB交圓O于點C,延長CE交圓O于點D,圓O在點D處的切線交AB的延長線于點F.(1)證明:EF2=FA·FB;(2)若AD=2BD,BF=2,求圓O的直徑.23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,并取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-)=m(m∈R).(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與圓C的普通方程;(2)若圓C上到直線l的距離為1的點有3個,求m的值.24．已知函數(shù)f(x)=|x|+|x-a|的最小值為3.(1)求實數(shù)a的值;(2)若a>0,求不等式f(x)≤5的解集.參考答案1.B【解析】本題考查集合的補運算、真子集的概念.求解時先求出集合A,再計數(shù)即可.注意試題所求的是真子集的個數(shù).由全集U={1,2,3,4,5},?UA={1,2}知,A={3,4,5},所以集合A的子集有8個,真子集有7個.

2.A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.求解時先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式,再找復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點.解法一由(1+i)z=2i得,z==i(1-i)=1+i,故在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,1),選A.解法二設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由(1+i)z=2i得,a-b+(a+b)i=2i,所以a-b=0,且a+b=2,解得a=b=1,所以z=1+i,故在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,1),選A.

3.B【解析】本題考查特稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.所給命題是特稱命題,因此其否定一方面要把“特稱”改“全稱”,另一方面要否定結(jié)論,故其否定應(yīng)該為“對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ)的圖象都不關(guān)于點(,0)對稱”.

4.B【解析】本題考查向量的數(shù)量積以及投影的求法,屬于基礎(chǔ)題.解題時,根據(jù)坐標(biāo)求出向量b的模及向量a,b的數(shù)量積,然后求投影.因為b=(-,1),b·(a-b)=-3,所以|b|=2,a·b=1.又a為單位向量,則向量b在向量a方向上的投影為=1.

5.A【解析】由題意知,圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑,即-.

6.B【解析】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式等知識,意在考查考生的基本運算能力.熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解決此類問題的關(guān)鍵.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,則q==2,代入a1+a1q=3得a1=1,所以an=2n-1,a6=25=32.

7.D【解析】本題考查幾何體的三視圖與直觀圖、柱體的體積公式等.由三視圖可知,該幾何體是一個半徑分別為2和的同心圓柱,即大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱.兩個圓柱的高均為1,所以該幾何體的體積為4π×1-()2π×1=,選D.

8.A【解析】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識.求解時先根據(jù)約束條件畫出可行域,再根據(jù)題意列出不等式組進行求解.畫出可行域如圖中陰影部分所示,易知A(2,6),B(2,-2),C(-2,2),由于z=ax+y的最大值為2a+6,最小值為2a-2,故,從而-1≤a≤1,故選A.

9.B【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的平移變換等.首先利用函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式中各個參數(shù)的取值,然后根據(jù)平移后函數(shù)的性質(zhì)確定平移的單位長度.由圖可設(shè)A(x1,3),B(x2,-3),所以|AB|==10,解得|x1-x2|=8,所以T=2|x1-x2|=16,故=16,解得ω=.所以f(x)=3sin(x+φ),由f(2)=0得3sin(+φ)=0,又-≤φ≤,所以φ=-.故f(x)=3sin(x-),將f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-t)=3sin[(x-t)-]=3sin[x-(t+)].由題意得,函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以t+=kπ+(k∈Z),解得t=8k+2(k∈Z),故正數(shù)t的最小值為2,選B.

10.B【解析】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的求解等,考查考生的空間想象能力和基本的運算能力.由旋轉(zhuǎn)體的定義可知,陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個半球和一個圓錐.該圓柱的底面半徑R=BA=2,母線長l=AD=2,故該圓柱的體積V1=π×22×2=8π,半球的半徑為1,其體積V2=π×13=,圓錐的底面半徑為2,高為1,其體積V3=π×22×1=,所以陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積V=V1-V2-V3=6π.

11.B【解析】本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和,考查考生的運算求解能力,屬于中檔題.解題時,通過(3-an+1)(3+an)=9可知數(shù)列{}為等差數(shù)列,計算即得結(jié)論.因為(3-an+1)(3+an)=9-3an+1+3an-an+1an=9,所以3an+1-3an=-an+1an,兩邊同時除以3an+1an得-=-,即+.又a1=3,所以數(shù)列{}是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以Sn=n+·,故S6==7.

12.A【解析】本題考查基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)零點的概念等,考查考生的數(shù)形結(jié)合思想.求解時將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題進行求解.因為f(x)=|lnx|-ax=0?|lnx|=ax,作出函數(shù)y=|lnx|,y=ax的圖象如圖所示,不妨設(shè)x1<x2,則0<x1<1<x2,從而lnx1<0,lnx2>0,因此|lnx1|==-lnx1,|lnx2|==lnx2.故lnx1x2=lnx1+lnx2=-<0,所以0<x1x2<1.

13.15【解析】本題考查算法等基礎(chǔ)知識,重點考查程序框圖的閱讀與應(yīng)用.本題的算法事實上刻畫的是裂項相消法求和.通解當(dāng)k=1時,S=,當(dāng)k=2時,S=++-,當(dāng)k=3時,S=++-,當(dāng)k=4時,S=++-,……當(dāng)k=14時,S=++-,當(dāng)k=15時,S=++-,此時輸出S,由題意知框圖中N=15.優(yōu)解由程序框圖可知,輸出的S=++…+=1-,令1-,解得N=15.

14.4【解析】本題考查二項式定理在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.求解問題的關(guān)鍵是通過建立19與5的數(shù)量關(guān)系以及運用二項式定理將該關(guān)系式展開.由題意得192016+m=(-1+20)2016+m=×200×(-1)2016+×20×(-1)2015+×202×(-1)2014+…+×202016×(-1)0+m=5M+1+m,其中M∈N*,又5M+1+m能被5整除,0≤m<5,故m=4.

15.1【解析】本題考查函數(shù)解析式的求解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查考生分析問題、解決問題的能力.由題意,設(shè)f(x)-log3x=m>0,則f(x)=log3x+m,由f[f(x)-log3x]=4可得f(m)=log3m+m=4,即m=34-m,解得m=3,所以f(x)=log3x+3,f'(x)=,從而f'()=1,即所求切線的斜率為1.

16.1【解析】本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等.解題的思路是先利用|AF|=4|FB|得到直線l的斜率,從而得到AB的長以及點O到直線AB的距離,再通過面積建立關(guān)于p的方程,即可求解.拋物線y2=2px的焦點F(,0),準(zhǔn)線x=-.如圖,過A,B作準(zhǔn)線的垂線AA',BB',垂足分別為A',B'.過點B作BH⊥AA',交AA'于H,則|BB'|=|HA'|.設(shè)|FB|=t,則|AF|=4t,∴|AH|=|AA'|-|A'H|=4t-t=3t.又|AB|=5t,∴在Rt△ABH中,cos∠A'AB=,∴tan∠A'AB=.則可得直線AB的方程為y=(x-),由得8x2-17px+2p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=+p=.又點O到直線AB的距離為d=|OF|sin∠A'AB=.∴S△AOB=,又S△AOB=,故p2=1,又p>0,∴p=1.

17.(1)在△ABC中,0<A<π,0<B<π,由tan(A+B)==tan(B+),得A=. 從而由2sin2B-2sin2A=sin2C得2sin2B-1=sin2C,即cos2B+sin2C=0.將B=-C代入上式,化簡得tanC=2,從而sinC=. (2)由(1)知,cosC=.所以sinB=sin(A+C)=sin(+C)=. 由正弦定理知c=b,又bcsinA=3,所以b·b·=3,故b=3.【解析】本題主要考查兩角和的三角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、正弦定理等基礎(chǔ)知識,考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度和運算求解能力.【備注】在新課標(biāo)全國卷Ⅱ中,解答題第一題往往是數(shù)列或三角,而三角的考查一般與三角形有關(guān),重點考查三角形中的三角恒等變換,三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識在解三角形中的應(yīng)用,正、余弦定理等.復(fù)習(xí)時要重點把握三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解三角形三大主流題型.

18.(1)(i)由已知得,t1=(2×10+5×20+3×30+5+2+2+6+3+2+1+5+1+2)=23.9,t2=(3×10+2×20+3×30+5+8+3+5+5+2+5+0+1+3)=19.7,所以t1>t2. (ii)由莖葉圖可知,甲組的數(shù)據(jù)較集中,乙組的數(shù)據(jù)較離散,所以. (2)由莖葉圖可知,樣本中甲組同學(xué)每天的平均運動時間超過30min的人數(shù)為3,所以頻率為=0.3.由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3,X~B(3,0.3),所以P(X=0)=×0.30×0.73=0.343,P(X=1)=×0.31×0.72=0.441,P(X=2)=×0.32×0.71=0.189,P(X=3)=×0.33×0.70=0.027, 所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.【解析】本題考查平均數(shù)和方差的大小比較,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.(1)(i)由莖葉圖分別求出t1,t2的值,進而比較大小;(ii)由莖葉圖得到甲組的數(shù)據(jù)較集中,乙組的數(shù)據(jù)較離散,由此能比較,的大小.(2)由題意得X的所有可能取值,分別求出相應(yīng)的概率,進而得分布列和數(shù)學(xué)期望.【備注】新課標(biāo)全國卷Ⅱ中,概率與統(tǒng)計解答題往往將統(tǒng)計與概率結(jié)合在一起考查,大都與頻率分布直方圖、莖葉圖和離散型隨機變量的分布列有關(guān),復(fù)習(xí)時應(yīng)熟練掌握統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識和基本思想,熟悉統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理方法,準(zhǔn)確理解各種分布圖表的意義,掌握常見概率模型的計算,牢記數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式.

19.(1)解法一連接AC,分別取EC,EF,BD的中點為G,M,N,連接GM,GN,MN,則GM∥FC,GN∥AE,如圖1.由題意,易證BE⊥AB,不妨設(shè)AB=1,則GM=GN=,MN=BE=1,由勾股定理的逆定理知GM⊥GN. 故AE⊥CF. 解法二不妨設(shè)AB=1,則·=(+)·(+)=·+·=-1+1=0.因此AE⊥CF. 解法三如圖2,將原幾何體補成直四棱柱,則依題意,其側(cè)面ABEG為正方形,對角線AE,BG顯然垂直,故AE⊥CF. 解法四連接AC,根據(jù)題意易證AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如圖3,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=1,則A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,0,1),從而·=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,故AE⊥CF. (2)連接AC,根據(jù)題意易證AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如圖3,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=1,則A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,,1),=(1,-,1),=(-1,0,1),設(shè)平面AEF的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,且n1·=0,得,取x1=,則y1=2,z1=-,得平面AEF的一個法向量為n1=(,2,-),同理可求得平面CEF的一個法向量為n2=(,2,). 記二面角A-EF-C的平面角為α,由圖可知,α為銳角,則cosα=.【解析】本題考查線線垂直的證明、二面角余弦值的求解,考查考生的空間想象能力和運算求解能力.【備注】立體幾何解答題主要圍繞線面位置關(guān)系的證明以及空間角的計算展開,在線面位置關(guān)系中,垂直關(guān)系是核心,也是新課標(biāo)高考命題的熱點,空間角主要考查二面角,可利用傳統(tǒng)法和向量法求解.

20.(1)依題意,x1,x2,y1,y2均不為0,則由4kOA·kOB+1=0,得+1=0,化簡得y2=-,因為點A,B在橢圓上,所以+4=4①,+4=4②, 把y2=-代入②,整理得(+4)=16.結(jié)合①得=4,同理可得=4,從而+=4+=4,為定值,++=1,為定值. (2)S△OAB=|OA|·|OB|sin∠AOB=··=··==|x1y2-x2y1|. 由(1)知=4,=4,易知y2=-,y1=或y2=,y1=-,S△OAB=|x1y2-x2y1|=|+2|==1,因此△OAB的面積為定值1.【解析】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等.(1)可通過已知條件“4kOA·kOB+1=0”以及橢圓上點的坐標(biāo)關(guān)系確定x1,y1,x2,y2之間的數(shù)量關(guān)系,進而進行定值的證明;(2)先求出三角形面積的表達式,通過合理變形,再結(jié)合點在橢圓上進行求解.

21.(1)依題意,x>0,且f'(x)=x+m+. 記g(x)=x2+mx+1,①若Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2,則g(x)≥0恒成立,f'(x)≥0恒成立,符合題意;②若Δ=m2-4>0,即m>2或m<-2,當(dāng)m>2時,x2+mx+1=0有兩個不等的負根,符合題意,當(dāng)m<-2時,x2+mx+1=0有兩個不等的正根,則在兩根之間函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,不符合題意.綜上可得m≥-2. (2)由題意得x1,x2為g(x)=x2+mx+1的兩個零點,由(1)得x1+x2=-m,x1x2=1,則f(x1)-f(x2)=+mx1+lnx1-(+mx2+lnx2)=(-)+m(x1-x2)+lnx1-lnx2=(-)-(x1+x2)(x1-x2)+lnx1-lnx2=ln-(-)=ln-·=ln-(-). 記=t,由x1<x2且m≤-知0<t<1,且f(x1)-f(x2)=lnt-(t-),記φ(t)=lnt-(t-),則φ'(t)=<0,故φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞減. 由m≤-知(x1+x2)2≥,從而+≥,即≥,故t+≥,結(jié)合0<t<1,解得0<t≤,從而φ(t)的最小值為φ()=-ln2,即f(x1)-f(x2)的最小值為-ln2.【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值,導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.第(1)問對m分情況討論來求解;第(2)問可先對f(x1)-f(x2)進行變形,再將問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)問題來解決.【備注】利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而求解函數(shù)的極值與最值及含參問題的討論一直是近幾年高考的重點,尤其是含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性是近幾年命題的熱點.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合問題多涉及恒成立與含參問題的求解,主要方法是利用導(dǎo)數(shù)將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.

22.(1)由題意得,OC=OD,所以∠OCE=∠ODE,又OC⊥AB,FD是圓O的切線,所以∠COE=∠ODF=90°,故∠OEC=∠EDF,又∠OEC=∠FED,所以∠FED=∠FDE,所以FD=FE. 由切割線定理得,FD2=FA·FB,故EF2=FA·FB. (2)由于FD是切線,所以∠FDB=∠A,又∠DFB=∠AFD,所以△FBD∽△FDA.