第十二章全等三角形中的動點問題與軸對稱復(fù)習(xí)講義人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

全等三角形中的動點問題與軸對稱（最短路徑）垂直平分線線段垂直平分線的概念：垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線．線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等．線段垂直平分線的判定定理：到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（1）“線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等”的作用是：證明兩條線段相等；（2）“到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”的作用是：判定一點在線段的垂直平分線上；（3）“如果到一條線段的兩個端點的距離相等，那么，這兩點所在直線是該線段的垂直平分線”的作用是：垂直平分線的判定．（4）看到垂直平分線，常用的輔助線作法是連接垂直平分線上的點與線段端點，得到等腰三角形．例1．如圖，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD.（1）如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過2s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？1．一個三角形的三條邊的長分別是3，5，7，另一個三角形的三條邊的長分別是3，3x﹣2y，x+2y，若這兩個三角形全等，則x+y的值是．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當(dāng)有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動.（1）試證明：AD∥BC.（2）在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請請你探究當(dāng)點G的運動速度取哪些值時，△DBG與△BFG全等.3．如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒：（1）PC=cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時，△ABP≌△DCP？（3）當(dāng)點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．例2．如圖，△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度數(shù)；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周長．1.如圖，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=50o，求△BCE的周長=；∠EBC=．2．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE，BE的長．3．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．求證：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．例3．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點G，求證：AD垂直平分EF．例4．如圖，已知△ABC，作∠BAC的角平分線交于BC于點D（要求尺規(guī)作圖，不寫作法）．例5．已知△ABC中，AB=AC.（1）作AB的垂直平分線DE，交AB于點E，交AC于點D.（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）連接BD，若∠A=40°，求∠BDC的度數(shù).例6．尺規(guī)作圖：畫一個角等于已知角（如圖），要求兩角不共頂點．例7．已知：如圖所示，A、B兩村莊在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一自來水廠向A、B兩村莊供水．（1）若要使廠址到A、B兩村的距離相等，廠址應(yīng)設(shè)在哪個位置？（2）若要使廠址到A、B兩村的水管最省料，廠址應(yīng)設(shè)在哪個位置？ABAB··AB··1．已知：A、B兩點在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點M．（1）如圖，在l上求作一點M，使得AM＋BM最?。?）如圖，在l上求作一點M，使得｜AM－BM｜最??；2．某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，如圖所示（點M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉庫應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案．3．如圖，A、B兩村和一條小河，要在河上建一座小橋連接兩村，若要使兩村之間鋪路用料最省，小橋應(yīng)選在哪個位置？請將上述情況下的小橋位置標(biāo)出，并保留作圖痕跡．例8．如圖，在中，，邊上的垂直平分線分別交BC，AB于點D，E，若的周長是11，則直線DE上任意一點到A，C距離的和最小為()A.7 B.10 D.281．如圖，等邊△ABC中，E是AC邊的中點，AD是BC邊上的中線，P是AD上的動點，若AD＝6，則EP+CP的最小值為．2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，面積是16，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一個動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．123．如圖，等邊△ABC的周長為18cm，BD為AC邊上的中線，動點P，Q分別在線段BC，BD上運動，連接CQ，PQ，當(dāng)BP長為cm時，線段CQ+PQ的和為最?。?．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當(dāng)PC與PE的和最小時，∠CPE的度數(shù)是