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認(rèn)證信息

認(rèn)證類(lèi)型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：張**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：湖北

IP屬地：湖北 上傳時(shí)間：2023-12-04 格式：PPTX 頁(yè)數(shù)：173 大小：1.64MB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

第6章經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿绾芜x取合適的理賠額分布或理賠次數(shù)的分布分布擬合檢驗(yàn)的一般步驟：獲得損失分布的經(jīng)驗(yàn)分布信息，例如經(jīng)驗(yàn)分布圖、樣本均值、樣本方差、分位點(diǎn)等；選擇一種概率分布作為損失的分布類(lèi)型，估計(jì)所選擇分布中所包含的參數(shù)；對(duì)分布進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，以確信所選擇的分布類(lèi)型和參數(shù)估計(jì)是否恰當(dāng)；考慮是否還有其它適合的分布，如果有，重復(fù)第(1)-(3)（6）模型的修正。選擇模型后，要注意隨時(shí)對(duì)模型修正，以反映未來(lái)發(fā)生的情況，如通貨膨脹，免賠額變化等。Data

set

A下表是某保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)小汽車(chē)發(fā)生事故次數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：6.1

數(shù)據(jù)類(lèi)型此部分內(nèi)容來(lái)loss

model2782

115126155161243294340

384457680

8558779741193134018842558

15743Data

set

B下表是某勞工補(bǔ)償險(xiǎn)的部分原始損失數(shù)據(jù)Data

set

C下表是某責(zé)任險(xiǎn)的賠付數(shù)據(jù)：Data

setD1壽險(xiǎn)保單終止有三種狀態(tài)：死亡，期滿(mǎn)和退保（surrender）下表是某壽險(xiǎn)保單持有人在簽訂保單后5年內(nèi)保單終止的時(shí)間記錄。（接后）其中‘-’表示時(shí)間未知，最后12個(gè)保單持有人保單期滿(mǎn)并退Data

set

D2下表表示壽險(xiǎn)保單存活狀態(tài)的兩次觀測(cè)值，其中First

observe表示第一次觀測(cè)的時(shí)間，若為0則表示保單簽訂后馬上進(jìn)行記

錄，Last

observed表示第二次觀測(cè)的時(shí)間，Event表示最后一次觀測(cè)時(shí)保單持有人的狀態(tài)，S表示退保，D表示死亡，E表示保單期滿(mǎn)。上面是一組責(zé)任險(xiǎn)保單的賠付數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)中包含了不同的免賠額和限額。Data

set

E下面是一組責(zé)任險(xiǎn)保單的賠付數(shù)據(jù)，包含了不同的免賠額和限額請(qǐng)同學(xué)們觀察上述幾個(gè)數(shù)據(jù)集的特征個(gè)體，完整數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)Truncated和Censored數(shù)據(jù)我們將分三種情況討論經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臉?gòu)建個(gè)體，完整數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)截?cái)嗪蛣h失數(shù)據(jù)刪失（自上）

截?cái)?自下)對(duì)于個(gè)體數(shù)據(jù)，它的經(jīng)驗(yàn)分布信息除樣本均值、樣本方差、中位數(shù)、極大值和極小值，還包括經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、生存函數(shù)（survival),死亡力函數(shù)(cumulative

hazard

rate

function）等1、樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)就是累積頻率，其定義式為其中ｎ是樣本量。6.2完整個(gè)體數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ屠涸O(shè)某醫(yī)療保險(xiǎn)，規(guī)定免賠額為50元，隨機(jī)抽取了10個(gè)理賠事件，賠償額分別為141

16

46

40

351

259

317

1511

107

567特殊地,則樣本分布函數(shù)例假設(shè)某數(shù)據(jù)集包含下面的數(shù)據(jù)：1.0,1.3,1.5,1.5,2.1，2.12.8，計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。解：k=5,例：設(shè)下表中的理賠記錄用weibull分布來(lái)擬合，用25％和75％分位數(shù)來(lái)估計(jì)參數(shù)的值。解：weibull的分布函數(shù)為分別令解得請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出均勻核密度分布圖同法可得：我們可以繪制核密度估計(jì)的分布函數(shù)和密度函數(shù)圖像，如下圖所示。三角核函數(shù)(請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出三角型圖)Gamma核函數(shù)例：現(xiàn)要根據(jù)5個(gè)人來(lái)研究從患病到死亡時(shí)間的估計(jì)，這5個(gè)人的死亡時(shí)間如下：2

3

3

3

7使用帶寬為2的三角核估計(jì)在2.5時(shí)的密度函數(shù)值。8/4012/4014/4016/4017/40解：三角核函數(shù)為三角核的底為4，中心的高為0.5（這樣面積為1）。底的長(zhǎng)度為寬的2倍。任意在2.5左右2的范圍內(nèi)都會(huì)對(duì)其估計(jì)值有影響。對(duì)于觀察值2，三角的底的中點(diǎn)為2，在2.5的高為0.375（=0.5*0.7（底離2是三角形底2到4的1/4，因此高是從0.5到0的1/4）。與此類(lèi)似，觀察值為3的點(diǎn)同樣是0.375。每個(gè)三角的高度根據(jù)其經(jīng)驗(yàn)概率進(jìn)行加權(quán)。因此在2.5的估計(jì)值為(1/5)(3/8)

+

(3/5)(3/8)

+

(1/5)(0)

=

12/40.6.3分組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ屠耗彻驹?970年-1989年間發(fā)生的火災(zāi)損失記錄如下：試畫(huà)出損失的經(jīng)驗(yàn)分布圖解：先對(duì)損失記錄按從小到大的遞增順序整理為：根據(jù)整理的數(shù)據(jù)記錄可以確定以下標(biāo)志值：把數(shù)據(jù)按不同規(guī)模分組，每組中的記錄次數(shù)稱(chēng)為頻數(shù)，以500,1000為組距分組得：注：同學(xué)們可以嘗試把組分得更細(xì)些，這樣得到的直方圖就更加平滑2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)光滑曲線(xiàn)下圖為本例的經(jīng)驗(yàn)分布光滑曲線(xiàn)例：下表給出了217份保單的理賠額數(shù)據(jù)。3.經(jīng)驗(yàn)均值這部分內(nèi)容參考loss

model第10章或manual（ME-50,51）。5.百分位數(shù)利用ogive曲線(xiàn)的特點(diǎn)，可得例：100個(gè)觀察值被分為5組，請(qǐng)計(jì)算在40%的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)。解：首先計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)因此，40%的分位數(shù)位于100和200之間。使用插值得到6.4非完整數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣h失和截?cái)嗟暮x

1.截?cái)嗬?，免賠額自下截?cái)啵宰蠼財(cái)?/p>

2.刪失例如，賠償限額自上刪失例：一組責(zé)任險(xiǎn)保單數(shù)據(jù)注：在生命表（mortality

table）模型構(gòu)建中也存在大量的刪失和截?cái)嗬?。例：為估?jì)某年齡階段的死亡率分布，隨機(jī)抽取了40份保單，下面表中是兩次觀測(cè)的時(shí)間和保單持有人的狀態(tài)。其中First

observed是指簽訂保單后第一次觀測(cè)的時(shí)間，LastObserved是最后觀測(cè)的時(shí)間，Event是最后觀測(cè)時(shí)，保單持有人所處的狀態(tài)，e表示保單期滿(mǎn)，s表示退保，d表示死亡。例如：第4份保單，第一次觀測(cè)的時(shí)間是簽署保單后，第二次觀測(cè)時(shí)間是簽署保單后0.8年，狀態(tài)死亡d。其存活時(shí)間為0.8。第31份保單，第一次觀測(cè)的時(shí)間是簽署保單后0.3年（truncated），第二次觀測(cè)時(shí)間是簽署保單后5年，狀態(tài)是期滿(mǎn)e。其存活時(shí)間大于等于5。第35份保單，第一次觀測(cè)的時(shí)間是簽署保單后2.1年，第二次觀測(cè)時(shí)間是簽署保單后3.9年，狀態(tài)是退保s

(censored)。其存活時(shí)間未知但大于3.9。下面構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，首先定義幾個(gè)記號(hào)：另外，注意到因此，（6-4-1）也可寫(xiě)作：即直觀意義：由所有在給定年齡之前參與研究的個(gè)體減去已經(jīng)離去的個(gè)體數(shù)。遞推計(jì)算請(qǐng)同學(xué)們分析一下上面表達(dá)式的直觀含義。下面給出經(jīng)驗(yàn)生存函數(shù)估計(jì)，也稱(chēng)為Kaplan-Meier乘積極限估計(jì)在生命表中的直觀解釋?zhuān)篠(0)=1因此，可以證明Kaplan-Meier乘積極限估計(jì)與前面的估計(jì)是一致的，即例:計(jì)算data

setD2的Kaplan-Meier

product-limti答案：D數(shù)據(jù)可以整理如下：注意：上表中的T就是我們的y，Y就是我們的r，d就是我們的s例：在兩個(gè)國(guó)家的保險(xiǎn)產(chǎn)品的死亡率研究中，給定以下數(shù)據(jù)：例:假設(shè)某數(shù)據(jù)集包含下面的數(shù)據(jù)：1.0,1.3,1.5,1.5,2.1,2.1,2.8，計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的Nelson-Aalen估計(jì)。解：例：一個(gè)賠款支付時(shí)間的研究，已知：數(shù)據(jù)不存在截?cái)嗷蛘邉h失。1次最多支付1次賠款。在第二次支付賠款后的累積危險(xiǎn)率函數(shù)H(t)的Nelson-Aalen估計(jì)為23/132.求第四次支付賠款后的累積危險(xiǎn)率函數(shù)H(t)的Nelson-Aalen估計(jì)值。0.350.370.390.410.43例：計(jì)算data

setD2的Nelson-Aalen估計(jì)解：例：下列數(shù)據(jù)為關(guān)于從0時(shí)刻開(kāi)始觀察的20個(gè)人的死亡時(shí)間：例：對(duì)于數(shù)據(jù)集B表示原始損失額，假設(shè)免賠額我250，求理賠額至少為1000的概率及其方差估計(jì)。密度函數(shù)的估計(jì)例：已知損失額觀測(cè)值可以分為以下幾組解：（1）請(qǐng)問(wèn)這樣的答案是否有問(wèn)題?置信區(qū)間的上界為1.0077大于1，這個(gè)值是沒(méi)有意義的。在小樣本情形，直接運(yùn)用正態(tài)近似，極有可能得到這樣的結(jié)果。解決這個(gè)問(wèn)題的方法是使用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的置信區(qū)間

(log-transformed

confidenceinterval)進(jìn)行估計(jì)。在保險(xiǎn)公司運(yùn)營(yíng)與制定養(yǎng)老計(jì)劃中，通常使用大量的壽險(xiǎn)保單數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造生命表，估計(jì)死亡概率和退保率。這些數(shù)據(jù)通常為非完整數(shù)據(jù)，即在某一確定觀察期內(nèi)，有的對(duì)象從觀察期初期開(kāi)始觀察，有的從期中開(kāi)始（中途加入）；有的在期中活著退出觀察，有的生存到觀察期末，有的在觀察期死亡。在這樣的非完整樣本數(shù)據(jù)集中，我們把觀察期中活著離開(kāi)的這種行為稱(chēng)為“退出”，把生存到觀察期末的這種現(xiàn)象簡(jiǎn)稱(chēng)為“結(jié)束”。6.6基于大樣本數(shù)據(jù)的死亡率近似估計(jì)（選講）這種情況下的隨機(jī)事件是“退出”與“死亡?！碑?dāng)樣本量很大的時(shí)候，如果使用Kaplan-Meier估計(jì)方法，必須進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)排序和計(jì)算工作，但是從結(jié)果看，如此繁雜的工作是不必要的。比如在生命表的估計(jì)中，我們只需要計(jì)算整數(shù)年齡的函數(shù)值，而不需要知道每個(gè)觀測(cè)值處的生存函數(shù)。因此，可以采用近

似的方法進(jìn)行估計(jì)。式（1）被稱(chēng)為死亡率的確切法計(jì)算公式。但在早期的精算研究中，統(tǒng)計(jì)估計(jì)理論還不成熟，也沒(méi)有出現(xiàn)任何機(jī)械或電子計(jì)算工具，人們只是簡(jiǎn)單保存記錄，用精算暴露數(shù)來(lái)近似確切暴露數(shù)，采用式（2）來(lái)估計(jì)死亡率。這種方法稱(chēng)為精算暴露法。例6-30：一項(xiàng)養(yǎng)老研究計(jì)劃，其參加者樣本的觀察期為2011年1月1日到

2013年12月31日。下面是5個(gè)被觀察的樣本的基本信息(1)1978年4月出生，在2010年8月簽訂保單，到觀察期結(jié)束時(shí)仍然存活。(2)1978年6月出生，在2010年7月簽訂保單，于2012年9月死亡

(3)1978年8月出生，在2012年2月簽訂保單，于2013年2月退保

(4)1978年5月出生，在2011年6月簽訂保單，于2012年3月死亡

(5)1978年7月出生，在2011年3月簽訂保單，于2013年5月退保2、保險(xiǎn)年齡上述例子描述大樣本研究中的數(shù)據(jù)處理過(guò)程，需利用每位觀

察對(duì)象的實(shí)際出生日期數(shù)據(jù)。但對(duì)于保險(xiǎn)公司和養(yǎng)老基金，

這種數(shù)據(jù)卻不需要。這是因?yàn)?，大多?shù)投保人并不是在生日

那天購(gòu)買(mǎi)保單，因而在保單簽訂時(shí)他們有不同的非整數(shù)年齡。但保費(fèi)的收取是按整數(shù)年齡收取。保險(xiǎn)公司在簽訂保單時(shí)也

不依據(jù)被保險(xiǎn)人的實(shí)際年齡（actual

age）來(lái)計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)，而是用一整數(shù)年齡代替投保人的實(shí)際年齡。這個(gè)整數(shù)年齡稱(chēng)為

保險(xiǎn)年齡（insuring

ages）。例如，某個(gè)投保人的出生日期是1978年2月15日，他在2011年10月15日簽訂壽險(xiǎn)保單時(shí)的實(shí)際年齡是33.67。有的保險(xiǎn)公司按照最近年齡（33歲）收取保費(fèi)，指定他的保險(xiǎn)生日為1978年10月15日。有的保險(xiǎn)公司按照距離簽訂保單日期最接近的生日年齡（34歲）來(lái)收取保費(fèi)，指定他的保險(xiǎn)生日為1977年10月15日。沒(méi)有保險(xiǎn)公司會(huì)按照他的實(shí)際年齡35.67的計(jì)算。2、周年日研究當(dāng)選用保險(xiǎn)年齡時(shí)，對(duì)于所研究的每一個(gè)觀察對(duì)象，都很自然選擇保險(xiǎn)出生日期的某個(gè)周年日作為觀察期限的開(kāi)始。類(lèi)似的，選取以后某年的同一天作為觀察期限終止日。例如

某觀察期限可定義為由1988年某個(gè)周年日到1992年的周年日。這樣的方法稱(chēng)為周年日-周年日法(anniversary-to-anniversa注意，在這種方法下，每個(gè)觀察對(duì)象都有其各自不同的觀察

期限。與之對(duì)應(yīng)，前面所述的方法稱(chēng)為日-日法(date-to-date例6-33:使用周年日-周年日法方法記錄例6-30中觀察對(duì)象的年齡一項(xiàng)養(yǎng)老研究計(jì)劃，其參加者樣本的觀察期為2011年1月1日到

2013年12月31日。下面是5個(gè)被觀察的樣本的基本信息1、1978年4月出生，在2010年8月簽訂保單，到觀察期結(jié)束時(shí)仍然存活。2、1978年6月出生，在2010年7月簽訂保單，于2012年9月死亡。3、1978年8月出生，在2012年2月簽訂保單，于2013年2月退保。4、1978年5月出生，在2011年6月簽訂保單，于2012年3月死亡5、1978年7月出生，在2011年3月簽訂保單，于2013年5月退保。解：在周年日法中，第1個(gè)觀察對(duì)象在2011年8月進(jìn)入觀察，保險(xiǎn)年齡為33-0，在2013年8月退出觀察，保險(xiǎn)年齡為35-0。第2個(gè)觀察對(duì)象在2011年7月進(jìn)入觀察，保險(xiǎn)年齡為33-0。第5個(gè)觀察對(duì)象5在2013年周年日退保。因此在2013-3終止觀察，保險(xiǎn)年齡為34-0。其他成員的年齡向量保持不變。例6-34:XYZ公司展開(kāi)一項(xiàng)死亡率研究，觀察期限從2012年1月1日到2012年12月31日,保險(xiǎn)年齡定義為距離簽訂保單日最近的年齡下表是觀察對(duì)象的基本信息。使用實(shí)際年齡，按確切暴露和精算暴露數(shù)分別計(jì)算82歲的死亡率。使用保險(xiǎn)年齡，按確切暴露和精算暴露數(shù)分別計(jì)算82歲的死亡率。假設(shè)觀察期限從2012年周年日到2013年周年日，使用保險(xiǎn)年齡，按確切暴露和精算暴露數(shù)分別計(jì)算82歲的死亡率。解：（1）如用實(shí)際年齡，觀察對(duì)象1在2012年4月1日滿(mǎn)82歲，在2012年10月1日死亡，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)是6個(gè)月，精算暴露數(shù)是12個(gè)月。對(duì)象2在2012年7月1日滿(mǎn)82歲，在2013年5月1日退保，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為6個(gè)月。對(duì)象3在2012年8月1日滿(mǎn)82歲，到觀察期結(jié)束時(shí)期滿(mǎn)，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為5個(gè)月。對(duì)象4在2012年9月1日滿(mǎn)82歲，2012年11月1日退保，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為2個(gè)月。（2）如用保險(xiǎn)年齡，觀察對(duì)象1在2012年3月1日滿(mǎn)82歲，在2012年10月1日死亡，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露

數(shù)是7個(gè)月，精算暴露數(shù)是12個(gè)月。對(duì)象2在2012年10月1日滿(mǎn)82歲，2012年12月31日觀察期

結(jié)束時(shí)的保險(xiǎn)年齡為82-3,在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為3個(gè)月。對(duì)象3在2013年1月1日滿(mǎn)82歲，對(duì)年齡區(qū)間(82,83]的暴露數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)，確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為0。對(duì)象4在2012年8月1日滿(mǎn)82歲，2012年11月1日退保，在

年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為3個(gè)月。（3）用保險(xiǎn)年齡和周年日-周年日法，觀察對(duì)象1在2012年3月日滿(mǎn)82歲，在2012年10月1日死亡，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)是7個(gè)月，精算暴露數(shù)是12個(gè)月。對(duì)象2在2012年10月1日滿(mǎn)82歲，在2013年5月1日退出觀察,在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為7個(gè)月。對(duì)象3在2013年1月1日滿(mǎn)82歲，對(duì)年齡區(qū)間(82,83]的暴露數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)，確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為0。對(duì)象4在2012年8月1日滿(mǎn)82歲，2012年11月1日退出，在年齡區(qū)間(82,83]的確切暴露數(shù)和精算暴露數(shù)均為3個(gè)月。例6-35:將例6-30中觀察對(duì)象的信息改成區(qū)間記錄數(shù)據(jù)。請(qǐng)使用（1）實(shí)際年齡和日-日法;（2）保險(xiǎn)年齡（最近生日日期）和周年日-周年日法解：（1）使用實(shí)際年齡和日-日法：5個(gè)樣本成員的進(jìn)入年齡退出年齡和退出狀態(tài)等基本信息分別為(32–9,35–9,s),(3234–3,x),(33–6,34–6,s),(33–1,33–10,x)和(32–8,3整數(shù)年齡32，沒(méi)有觀察對(duì)象。在年齡區(qū)間(32,33)，有3位樣本成員進(jìn)入，沒(méi)有人離開(kāi)。在年齡區(qū)間（33,34），有2位樣本成員進(jìn)入，1位死亡，在年齡區(qū)間端點(diǎn)