等差數(shù)列的前n項和 公開課教學設計

等差數(shù)列的前n項和（一）莆田第十一中學胡金象項目內(nèi)容課題等差數(shù)列的前n項和(一)修改與創(chuàng)新教學目標一、知識與技能掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.二、過程與方法通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題、解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平.三、情感態(tài)度與價值觀通過公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美，通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學史，激發(fā)學生探究的興趣，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感.教學重、難點教學重點等差數(shù)列的前n項和公式的理解、推導及應用.教學難點靈活應用等差數(shù)列前n項和公式解決一些簡單的有關問題.教學準備多媒體課件教學過程導入新課教師出示投影膠片1：印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的經(jīng)典之作，這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風格，是印度伊斯蘭教文化的象征.陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見一斑.你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？(這問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離，引領學生步入探討高斯算法的階段)生只要計算出1+2+3+…+100的結果就是這些寶石的總數(shù).師對，問題轉化為求這100個數(shù)的和.怎樣求這100個數(shù)的和呢？這里還有一段故事.教師出示投影膠片2：高斯是偉大的數(shù)學家、天文學家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在給大家出道題目：1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050.”教師問：“你是如何算出答案的？”高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050.師這個故事告訴我們什么信息？高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？生高斯用的是首尾配對相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.師對，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.作為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.師問：數(shù)列1，2，3，…，100是什么數(shù)列？而求這一百個數(shù)的和1+2+3+…+100相當于什么？生這個數(shù)列是等差數(shù)列，1+2+3+…+100這個式子實質(zhì)上是求這數(shù)列的前100項的和.師對，這節(jié)課我們就來研究等差數(shù)列的前n項的和的問題.推進新課［合作探究］師我們再回到前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案中，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢?生這是求“1+2+3+…+21”奇數(shù)個項的和的問題，高斯的方法不能用了.要是偶數(shù)項的數(shù)求和就好首尾配成對了.師高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數(shù)個項，我們是否有簡單的方法來解決這個問題呢?生有!我用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形.平行四邊形中的每行寶石的個數(shù)均為22個，共21行.則三角形中的寶石個數(shù)就是.師妙得很!這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，真是太好了!我將他的幾何法寫成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，對齊相加(其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序)這實質(zhì)上就是我們數(shù)學中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.現(xiàn)在我將求和問題一般化：(1)求1到n的正整數(shù)之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：這問題在前面思路的引導下可由學生輕松解決)(2)如何求等差數(shù)列{an}的前n項的和Sn?生1對于問題(2)，我這樣來求：因為Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再將兩式相加，因為有等差數(shù)列的通項的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以.(Ⅰ)生2對于問題(2)，我是這樣來求的：因為Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,即Sn=na1+d.(Ⅱ)［教師精講］兩位同學的推導過程都很精彩，一位同學是用“倒序相加法”，后一位同學用的是基本量來轉化為用我們前面求得的結論，并且我們得到了等差數(shù)列前n項求和的兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱為等差數(shù)列的前n項和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項a1，下底是第n項an，高是項數(shù)n,有利于我們的記憶.［方法引導］師如果已知等差數(shù)列的首項a1，項數(shù)為n，第n項為an，則求這數(shù)列的前n項和用公式(Ⅰ)來進行，若已知首項a1，項數(shù)為n，公差d，則求這數(shù)列的前n項和用公式(Ⅱ)來進行.引導學生總結：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？生每個公式中都是5個量.師如果我們用方程思想去看這兩個求和公式，你會有何種想法?生已知其中的三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二).師當公差d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn可表示為n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，且這二次函數(shù)的二次項系數(shù)的2倍就是公差.［知識應用］【例1】(直接代公式)計算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式)請同學們先完成(1)～(3)，并請一位同學回答.生(1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)==n2；(3)2+4+6+…+2n==n(n+1).師第(4)小題數(shù)列共有幾項？是否為等差數(shù)列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？(小組討論后，讓學生發(fā)言解答)生(4)中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以原式=-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.師很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法.注意在運用求和公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解.【例2】（課本第43頁例1)分析：這是一道實際應用題目，同學們先認真閱讀此題，理解題意.你能發(fā)現(xiàn)其中的一些有用信息嗎?生由題意我發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型，這個等差數(shù)列的首項是500，記為a1，公差為50，記為d，而從2022年到2022年應為十年，所以這個等差數(shù)列的項數(shù)為10.再用公式就可以算出來了.師這位同學說得很對，下面我們來完成此題的解答.(按課本解答示范格式)【例3】(課本第44頁例2)已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？分析：若要確定其前n項求和公式，則必須確定什么？生必須要確定首項a1與公差d.師首項與公差現(xiàn)在都未知，那么應如何來確定？生由已知條件，我們已知了這個等差數(shù)列中的S10與S20，于是可從中獲得兩個關于a1和d的關系式，組成方程組便可從中求得.(解答見課本第44頁)師通過上面例題3我們發(fā)現(xiàn)了在以上兩個公式中，有5個變量.已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二).運用方程思想來解決問題.［合作探究］師請同學們閱讀課本第44頁的例3，閱讀后我們來互相進行交流.(給出一定的時間讓學生對本題加以理解)師本題是給出了一個數(shù)列的前n項和的式子，來判斷它是否是等差數(shù)列.解題的出發(fā)點是什么?生從所給的和的公式出發(fā)去求出通項.師對的，通項與前n項的和公式有何種關系?生當n=1時，a1=S1，而當n＞1時，an=Sn-Sn-1.師回答的真好!由Sn的定義可知，當n=1時，S1=a1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1，即an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).這種已知數(shù)列的Sn來確定數(shù)列通項的方法對任意數(shù)列都是可行的.本題用這方法求出的通項an=2n-，我們從中知它是等差數(shù)列，這時當n=1也是滿足的，但是不是所有已知Sn求an的問題都能使n=1時，an=Sn-Sn-1滿足呢?請同學們再來探究一下課本第51頁的探究問題.生1這題中當n=1時，S1=a1=p+q+r；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2pn-p+q，由n=1代入的結果為p+q，要使n=1時也適合，必須有r=0.生2當r=0時，這個數(shù)列是等差數(shù)列，當r≠0時，這個數(shù)列不是等差數(shù)列.生3這里的p≠0也是必要的，若p=0，則當n≥2時，an=Sn-Sn-1=q+r，則變?yōu)槌?shù)列了，r≠0也還是等差數(shù)列.師如果一個數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0，且是關于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前n項和公式的結構特征上來認識等差數(shù)列.實質(zhì)上等差數(shù)列的兩個求和公式中皆無常數(shù)項.課堂練習等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？(學生板演)解：設題中的等差數(shù)列為{an}，前n項和為Sn,則a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+×4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項的和是54.(教師對學生的解答給出評價)課堂小結師同學們，本節(jié)課我們學習了哪些數(shù)學內(nèi)容?生①等差數(shù)列的前n項和公式1：,②等差數(shù)列的前n項和公式2：.師通過等差數(shù)列的前n項和公式內(nèi)容的學習，我們從中體會到哪些數(shù)學的思想方法?生①通過等差數(shù)列的前n項和公式的推導我們了解了數(shù)學中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量.師本節(jié)課我們通過探究還得到了等差數(shù)列的性質(zhì)中的什么內(nèi)容?生如果一個數(shù)列的前n項和公式中的常數(shù)項為0，且是關于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列，否則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前n項和公式的結構特征上來認識等差數(shù)列.布置作業(yè)課本第46頁習題A組第1,2題.板書設計等差數(shù)列的前n項和(一)公式：推導過程例教學反思“等差數(shù)列的前n項和”第一節(jié)課主要通過高斯算法來引起學生對數(shù)列求和的興趣，進而引導學生對等差數(shù)列的前n項和公式作出