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材料力學(xué)
第7章應(yīng)力狀態(tài)強度理論§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§7–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法§7–3空間應(yīng)力狀態(tài)簡介§7–4廣義虎克定律§7–5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能
PPmmnnPnnkmmPk一、一點的應(yīng)力狀態(tài)§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念過構(gòu)件一點各個截面應(yīng)力的總體情況稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。二、單元體xyz
xy
xz
x
y
z
yx
yz
zx
zy圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取一無限小正六面體稱為單元體。單元體相對兩面上的應(yīng)力大小相等,方向相反。若所取單元體各面上只有正應(yīng)力,而無剪應(yīng)力,此單元體稱為主單元體。三、主平面和主應(yīng)力
1
2
3只有正應(yīng)力,而無剪應(yīng)力的截面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一點的應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力,按其代數(shù)值排列:PP
⒈若三個主應(yīng)力中,有兩個等于零,一個不等于零,稱為單向應(yīng)力狀態(tài),如桿件軸向拉伸或壓縮。
⒉若三個主應(yīng)力中,有一個等于零,兩個不等于零,稱為二向應(yīng)力狀態(tài),或平面應(yīng)力狀態(tài),如梁的彎曲。ABP
x
x
x
x
x
x
⒊若三個主應(yīng)力都不等于零,稱為三向應(yīng)力狀態(tài),三向應(yīng)力狀態(tài)是最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)?!?–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法一、斜截面上的應(yīng)力
x
x
x
y
ynt
x
x
y
y
y
y
x
x
y同理,由得:任意斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為二、主平面的方位設(shè)主平面的方位角為
0,有三、主應(yīng)力將主平面的方位角為
0代入斜截面正應(yīng)力公式,得四、最大剪應(yīng)力※解題注意事項:
⒈上述公式中各項均為代數(shù)量,應(yīng)用公式解題時,首先應(yīng)寫清已知條件。⑴
x、
y以拉為正,以壓為負(fù);⑵
x沿單元體順時針轉(zhuǎn)為正,逆時針轉(zhuǎn)為負(fù);⑶
為斜截面的外法線與x軸正向間夾角,逆時針轉(zhuǎn)為正,順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。
⒉求得主應(yīng)力
ˊ、
〞與0排序,確定
1、
2、
3的值。
⒊
0為主應(yīng)力
ˊ所在截面的外法線與x軸正向間夾角,逆時針轉(zhuǎn)為正,順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。在主值區(qū)間,2
0有兩個解,與此對應(yīng)的
0也有兩個解,其中落在剪應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解,另一解舍掉。[例7-1]求圖示單元體a-b斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。ab解:已知xn
n
[練習(xí)1]求圖示單元體a-b斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解:已知[例7-2]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知此解在第一象限,為本題解;此解在第二象限,不是本題解,舍掉。
1
1
3
3
0=11.98°[練習(xí)2]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知此解在第二、四象限,為本題解。此解在第一象限,不是本題解,舍掉;
3
3
1
1
0=-67.5°[練習(xí)3]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知此解在第一象限,為本題解;此解在第二象限,不是本題解,舍掉。
1
1
3
3
0=18.43°圖解法由解析法知,任意斜截面的應(yīng)力為將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加得:取橫軸為斜截面的正應(yīng)力,縱軸為斜截面的剪應(yīng)力,則上式為一圓方程。
x
x
x
y
ynt
yr圓心坐標(biāo)為半徑為
x
x
x
y
ynt
y圓上各點與單元體各斜截面一一對應(yīng),各點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與各斜截面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力一一對應(yīng)。因此,該圓稱為應(yīng)力圓。圓上D1點代表x截面;D1
x
x
y-xD2D2點代表y截面;EE點代表方位為
角的斜截面;
A1、A2
點代表兩個主平面。
1
2A1A2
x
x
x
y
y
yD1
x
x
y-xD2B1B2應(yīng)力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為
軸,縱軸為
軸;⒉在橫軸上取OB1=
x,過B1引垂線B1D1=
x;⒊在橫軸上取OB2=
y,過B2引垂線B2D2=-
x;⒋連接D1D2交橫軸于C,⒌以C為圓心,CD1為半徑作圓,此圓即為應(yīng)力圓。
x
x
x
y
y
yD1
x
x
y-xD2B1B2證明:[例7-3]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知50303030取:連接D1D2交橫軸于C,以C為圓心,CD1為半徑作圓。50303030
1
1
3
3
0=18.43°[例7-4]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知取:連接D1D2交橫軸于C,以C為圓心,CD1為半徑作圓。2020
2020
0=45°20
1
1
3
3[練習(xí)4]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解:已知取:連接D1D2交橫軸于C,以C為圓心,CD1為半徑作圓。
COB1D1D2B21005050
COB1D1D2B21005050A1A220
1
1
3
3
0=22.5°[例7-5]已知一點處兩個斜截面上的應(yīng)力如圖所示,試用圖解法求
角、該點的主應(yīng)力、主平面,并在圖上畫出主應(yīng)力和主平面的方位。95MPa45MPa
2
oaabbC954595MPa45MPa
2
oaabbC9545A1A2
1
22
a2
b
a
b§7–3空間應(yīng)力狀態(tài)簡介s1s2xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)2、三向應(yīng)力圓
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
max
min3、最大剪應(yīng)力
1
2
3最大剪應(yīng)力所在的截面與
2平行,與第一、第三主平面成45°角?!?–7廣義虎克定律PP
′=+
1′
2″
2′
1″一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān),與剪應(yīng)力無關(guān);剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān),與正應(yīng)力無關(guān);二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律
1
2
3xyz
xy
xz
x
y
z
yx
yz
zx
zy[例7-6]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中,鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為
,頂面受鉛直壓力P作用,求鋼塊的應(yīng)力
x、
y、
z和應(yīng)變
x、
y、
z。Pxyz
x
y
z解:由已知可直接求得:Pxyz
x
y
z[例7-7]已知E=10GPa、
=0.2,求圖示梁n-n截面上
k點沿30°方向的線應(yīng)變
30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°
30°
-60°30°-60°nnk1m1m2mAB2001507575k30°
30°
-60°30°-60°[例7-8]薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D≤1/20),筒的平均直徑為D,壁厚為t,材料的E、
已知。已測得筒壁上
k點沿45°方向的線應(yīng)變
45°,求筒內(nèi)壓強p。
kptD
x
x
y
y解:筒壁一點的軸向應(yīng)力:筒壁一點的環(huán)向應(yīng)力:
kptD
x
x
y
y
45°
-45°45°-45°[練習(xí)5]受扭圓軸如圖所示,已知m、d、E、
,求圓軸外表面沿ab方向的應(yīng)變
ab。ABm
m
dab45°
解:ABm
m
dab45°
45°
-45°§7–5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能一、體積應(yīng)變dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz略去高階微量,得單元體的體積應(yīng)變代入式得:
純剪應(yīng)力狀態(tài):可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變,對于非主應(yīng)力單元體,其體積應(yīng)變可改寫為體積應(yīng)變只與三個主應(yīng)力(正應(yīng)力)之和有關(guān),而與其比例無關(guān)。令
m稱為平均正應(yīng)力,K稱為體積彈性模量。二、比能單位體積的變形能稱為變形能密度,簡稱比能。⒈單向拉壓比能dxdzdy
d(△l)dxdzdy
⒉純剪切比能dxdydz
⒊復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能⒋體積改變比能與形狀改變比能
1
2
3
m
m
1-
m
m
2-
m
3-
m=+u=uV+uf狀態(tài)1受平均正應(yīng)力
m作用,因各向均勻受力,故只有體積改變,而無形狀改變,相應(yīng)的比能稱為體積改變比能uV。狀態(tài)2的體積應(yīng)變:狀態(tài)2無體積改變,只有形狀改變,相應(yīng)的比能稱為形狀改變比能uf。
1
2
3
m
m
1-
m
m
2-
m
3-
m=+u=uV+uf[例7-9]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中,鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為
,頂面受鉛直壓力P作用,求鋼塊的體積應(yīng)變
V和形狀改變比能uf。Pxyz
x
y
z解:由已知可直接求得:
x
y
z[例7-10]證明彈性模量E、泊桑比
、剪切彈性模量G之間的關(guān)系為。
3
1證明:純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為用主應(yīng)力計算比能§7–6強度理論的概念§7–8莫爾強度理論§7–7常用四個強度理論
§7–6強度理論的概念PP
塑性材料屈服破壞脆性材料斷裂破壞單向拉伸時材料的破壞準(zhǔn)則可通過試驗很容易地建立起來。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)(二向應(yīng)力狀態(tài)或三向應(yīng)力狀態(tài)),材料的破壞與三個主應(yīng)力的大小、正負(fù)的排列,及主應(yīng)力間的比例有關(guān)。各種組合很多,無法通過試驗一一對應(yīng)地建立破壞準(zhǔn)則。于是,人們比著單向拉伸提出一些假說,這些假說通常稱為強度理論,并根據(jù)這些理論建立相應(yīng)的強度條件
1
1
2
2
1
2
3§7–7常用四個強度理論一、第一強度理論(最大拉應(yīng)力理論)該理論認(rèn)為材料發(fā)生脆性斷裂破壞是由最大拉應(yīng)力引起的:復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,當(dāng)最大拉應(yīng)力
1達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂破壞的極限應(yīng)力
u,材料發(fā)生脆性斷裂破壞,即根據(jù)第一強度理論建立的強度條件為:二、第二強度理論(最大拉應(yīng)變理論)該理論認(rèn)為材料發(fā)生脆性斷裂破壞是由最大拉應(yīng)變引起的:復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,當(dāng)最大拉應(yīng)變
1達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂破壞的極限應(yīng)變
u,材料發(fā)生脆性斷裂破壞,即根據(jù)第二強度理論建立的強度條件為:三、第三強度理論(最大剪應(yīng)力理論)該理論認(rèn)為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由最大剪應(yīng)力引起的:復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,當(dāng)最大剪應(yīng)力
max達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的極限應(yīng)變
u,材料發(fā)生塑性屈服破壞,即根據(jù)第三強度理論建立的強度條件為:四、第四強度理論(形狀改變比能理論)該理論認(rèn)為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由形狀改變比能引起的:復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下,當(dāng)形狀改變比能uf
達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的形狀改變比能uf
u,材料發(fā)生塑性屈服破壞,即根據(jù)第三強度
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