材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)與強度理論課件

材料力學(xué)

第7章應(yīng)力狀態(tài)強度理論§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§7–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法§7–3空間應(yīng)力狀態(tài)簡介§7–4廣義虎克定律§7–5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能

PPmmnnPnnkmmPk一、一點的應(yīng)力狀態(tài)§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念過構(gòu)件一點各個截面應(yīng)力的總體情況稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。二、單元體xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取一無限小正六面體稱為單元體。單元體相對兩面上的應(yīng)力大小相等，方向相反。若所取單元體各面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，此單元體稱為主單元體。三、主平面和主應(yīng)力

1

2

3只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力的截面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一點的應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列：PP

⒈若三個主應(yīng)力中，有兩個等于零，一個不等于零，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如桿件軸向拉伸或壓縮。

⒉若三個主應(yīng)力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，或平面應(yīng)力狀態(tài)，如梁的彎曲。ABP

x

x

x

x

x

x

⒊若三個主應(yīng)力都不等于零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)是最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。§7–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法一、斜截面上的應(yīng)力

x

x

x

y

ynt

x

x

y

y

y

y

x

x

y同理，由得：任意斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為二、主平面的方位設(shè)主平面的方位角為

0，有三、主應(yīng)力將主平面的方位角為

0代入斜截面正應(yīng)力公式，得四、最大剪應(yīng)力※解題注意事項：

⒈上述公式中各項均為代數(shù)量，應(yīng)用公式解題時，首先應(yīng)寫清已知條件。⑴

x、

y以拉為正，以壓為負；⑵

x沿單元體順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負；⑶

為斜截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。

⒉求得主應(yīng)力

ˊ、

〞與0排序，確定

1、

2、

3的值。

⒊

0為主應(yīng)力

ˊ所在截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。在主值區(qū)間，2

0有兩個解，與此對應(yīng)的

0也有兩個解，其中落在剪應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。[例7－1]求圖示單元體a－b斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。ab解：已知xn

n

[練習(xí)1]求圖示單元體a－b斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：已知[例7－2]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。

1

1

3

3

0=11.98°[練習(xí)2]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知此解在第二、四象限，為本題解。此解在第一象限，不是本題解，舍掉；

3

3

1

1

0=－67.5°[練習(xí)3]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。

1

1

3

3

0=18.43°圖解法由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加得：取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的剪應(yīng)力，則上式為一圓方程。

x

x

x

y

ynt

yr圓心坐標(biāo)為半徑為

x

x

x

y

ynt

y圓上各點與單元體各斜截面一一對應(yīng)，各點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與各斜截面的正應(yīng)力與剪應(yīng)力一一對應(yīng)。因此，該圓稱為應(yīng)力圓。圓上D1點代表x截面；D1

x

x

y-xD2D2點代表y截面；EE點代表方位為

角的斜截面；

A1、A2

點代表兩個主平面。

1

2A1A2

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2應(yīng)力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為

軸，縱軸為

軸；⒉在橫軸上取OB1=

x，過B1引垂線B1D1=

x；⒊在橫軸上取OB2=

y，過B2引垂線B2D2=-

x；⒋連接D1D2交橫軸于C，⒌以C為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為應(yīng)力圓。

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2證明:[例7－3]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知50303030取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。50303030

1

1

3

3

0=18.43°[例7－4]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。2020

2020

0=45°20

1

1

3

3[練習(xí)4]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。

COB1D1D2B21005050

COB1D1D2B21005050A1A220

1

1

3

3

0=22.5°[例7－5]已知一點處兩個斜截面上的應(yīng)力如圖所示，試用圖解法求

角、該點的主應(yīng)力、主平面，并在圖上畫出主應(yīng)力和主平面的方位。95MPa45MPa

2

oaabbC954595MPa45MPa

2

oaabbC9545A1A2

1

22

a2

b

a

b§7–3空間應(yīng)力狀態(tài)簡介s1s2xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)2、三向應(yīng)力圓

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

max

min3、最大剪應(yīng)力

1

2

3最大剪應(yīng)力所在的截面與

2平行，與第一、第三主平面成45°角?！?–7廣義虎克定律PP

′=+

1′

2″

2′

1″一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)；二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律

1

2

3xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy[例7－6]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的應(yīng)力

x、

y、

z和應(yīng)變

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：Pxyz

x

y

z[例7－7]已知E=10GPa、

=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點沿30°方向的線應(yīng)變

30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°[例7－8]薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D≤1/20)，筒的平均直徑為D，壁厚為t，材料的E、

已知。已測得筒壁上

k點沿45°方向的線應(yīng)變

45°，求筒內(nèi)壓強p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一點的軸向應(yīng)力：筒壁一點的環(huán)向應(yīng)力：

kptD

x

x

y

y

45°

-45°45°-45°[練習(xí)5]受扭圓軸如圖所示，已知m、d、E、

，求圓軸外表面沿ab方向的應(yīng)變

ab。ABm

m

dab45°

解：ABm

m

dab45°

45°

-45°§7–5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能一、體積應(yīng)變dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz略去高階微量，得單元體的體積應(yīng)變代入式得：

純剪應(yīng)力狀態(tài)：可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對于非主應(yīng)力單元體，其體積應(yīng)變可改寫為體積應(yīng)變只與三個主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例無關(guān)。令

m稱為平均正應(yīng)力，K稱為體積彈性模量。二、比能單位體積的變形能稱為變形能密度，簡稱比能。⒈單向拉壓比能dxdzdy

d(△l)dxdzdy

⒉純剪切比能dxdydz

⒊復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能⒋體積改變比能與形狀改變比能

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf狀態(tài)1受平均正應(yīng)力

m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變比能uV。狀態(tài)2的體積應(yīng)變：狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為形狀改變比能uf。

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf[例7－9]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的體積應(yīng)變

V和形狀改變比能uf。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：

x

y

z[例7－10]證明彈性模量E、泊桑比

、剪切彈性模量G之間的關(guān)系為。

3

1證明：純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為用主應(yīng)力計算比能§7–6強度理論的概念§7–8莫爾強度理論§7–7常用四個強度理論

§7–6強度理論的概念PP

塑性材料屈服破壞脆性材料斷裂破壞單向拉伸時材料的破壞準(zhǔn)則可通過試驗很容易地建立起來。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二向應(yīng)力狀態(tài)或三向應(yīng)力狀態(tài)），材料的破壞與三個主應(yīng)力的大小、正負的排列，及主應(yīng)力間的比例有關(guān)。各種組合很多，無法通過試驗一一對應(yīng)地建立破壞準(zhǔn)則。于是，人們比著單向拉伸提出一些假說，這些假說通常稱為強度理論，并根據(jù)這些理論建立相應(yīng)的強度條件

1

1

2

2

1

2

3§7–7常用四個強度理論一、第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）該理論認為材料發(fā)生脆性斷裂破壞是由最大拉應(yīng)力引起的：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大拉應(yīng)力

1達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂破壞的極限應(yīng)力

u，材料發(fā)生脆性斷裂破壞，即根據(jù)第一強度理論建立的強度條件為：二、第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）該理論認為材料發(fā)生脆性斷裂破壞是由最大拉應(yīng)變引起的：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大拉應(yīng)變

1達到單向拉伸時發(fā)生脆性斷裂破壞的極限應(yīng)變

u，材料發(fā)生脆性斷裂破壞，即根據(jù)第二強度理論建立的強度條件為：三、第三強度理論（最大剪應(yīng)力理論）該理論認為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由最大剪應(yīng)力引起的：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大剪應(yīng)力

max達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的極限應(yīng)變

u，材料發(fā)生塑性屈服破壞，即根據(jù)第三強度理論建立的強度條件為：四、第四強度理論（形狀改變比能理論）該理論認為材料發(fā)生塑性屈服破壞是由形狀改變比能引起的：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)形狀改變比能uf

達到單向拉伸時發(fā)生塑性屈服破壞的形狀改變比能uf

u，材料發(fā)生塑性屈服破壞，即根據(jù)第三強度