敏感性分析運(yùn)籌學(xué)課件

11:17第三

講

線性規(guī)劃：靈敏度分析與對(duì)偶李勇建博士主要內(nèi)容線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題線性規(guī)劃的靈敏度分析問(wèn)題11:1711:17線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題的來(lái)源對(duì)偶問(wèn)題的應(yīng)用和經(jīng)濟(jì)解釋對(duì)偶問(wèn)題的轉(zhuǎn)化11:17原問(wèn)題

約束：

對(duì)偶問(wèn)題最優(yōu)解：x1=50,x2=250；Z*=2750011:17如果把三種資源分別以價(jià)格

出租或買出，那么出讓相對(duì)于生產(chǎn)一單位第j種產(chǎn)品的資源消耗的價(jià)值應(yīng)不低于第j種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)價(jià)值因此有但是買方會(huì)把價(jià)格壓到最低：y1：y2：y3：11:17對(duì)偶問(wèn)題決策變量：yi收買該公司一單位i種資源時(shí)付給的價(jià)格目標(biāo)函數(shù)：約束：此極小問(wèn)題稱為原問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題，解是分別稱為原料1，2，3的影子價(jià)格或?qū)ε純r(jià)格..

11:17y1,y2,y311:17舉例原問(wèn)題Max50x1+30x2S.t.4x1+3x21202x1+x250x1,x20對(duì)偶問(wèn)題Min120y1+50y2S.t.4y1+2y2503y1+y230y1,y2011:17對(duì)偶規(guī)劃的應(yīng)用一般來(lái)說(shuō)，線性規(guī)劃問(wèn)題是確定資源的最優(yōu)分配方案；對(duì)偶問(wèn)題則是確定對(duì)資源的恰當(dāng)估價(jià)，以確定資源的最有效利用；可借助資源的影子價(jià)格確定一些內(nèi)部結(jié)算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞；對(duì)于一些緊缺資源，可以借助于影子價(jià)格機(jī)制規(guī)定上交的利潤(rùn)額，控制一些經(jīng)濟(jì)效益低的公司自覺(jué)地節(jié)約使用緊缺資源。影子價(jià)值的內(nèi)涵影子價(jià)格不是資源的實(shí)際價(jià)格，反映了資源配置結(jié)構(gòu)，其它數(shù)據(jù)固定，某資源增加一單位導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的增量。

對(duì)資源i總存量的評(píng)估：購(gòu)進(jìn)or出讓對(duì)資源i當(dāng)前分配量的評(píng)估：增加or減少第一，影子利潤(rùn)說(shuō)明增加哪種資源對(duì)經(jīng)濟(jì)效益最有利第二，影子價(jià)格告知以怎樣的代價(jià)去取得緊缺資源第三，影子價(jià)格是機(jī)會(huì)成本，提示資源出租/轉(zhuǎn)讓的基價(jià)第四，利用影子價(jià)格分析新品的資源效果：定價(jià)決策第五，利用影子價(jià)格分析現(xiàn)有產(chǎn)品價(jià)格變動(dòng)的資源緊性第六，可以幫助分析工藝改變后對(duì)資源節(jié)約的收益第七，可以預(yù)知哪些資源是稀缺資源而哪些資源不稀缺資源定價(jià)的決策方案例：某廠生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品，（1）如何安排每周的利潤(rùn)為最大?

（2）如果企業(yè)可以不生產(chǎn)，那資源出讓如何定價(jià)？甲乙資源成本資源擁有量原材料(kg)設(shè)備(工時(shí))電力(度)943451020501360200300銷售價(jià)格(元)3903521、最優(yōu)生產(chǎn)決策資源定價(jià)的決策方案2、資源獲利決策如果決策者考慮自己不生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，而把原擬用于生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的原材料、設(shè)備工時(shí)、電量資源全部出售給外單位，或者做代加工，則應(yīng)如何確定這三種資源的價(jià)格。設(shè)原材料的單位出讓獲利為y1，設(shè)備工時(shí)的單位出讓獲利為y2，電量的單位出讓獲利為y3

。出讓決策的線性規(guī)劃模型：11:17閱讀和自學(xué)：參考書(shū)P60-61，第3.3.4節(jié)11:17想一想產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本是什么:表示減少一件產(chǎn)品j

所節(jié)省的資源可以增加的利潤(rùn).產(chǎn)品的差額成本是什么:11:17如果則用這些資源來(lái)生產(chǎn)這種產(chǎn)品更為有利可圖.如果表明已經(jīng)在其他地方以更為有利可圖的方式使用這些資源，沒(méi)有必要生產(chǎn)產(chǎn)品j.其經(jīng)濟(jì)解釋是:在利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)計(jì)劃中(1)邊際利潤(rùn)大于0的資源沒(méi)有剩余;(2)有剩余的資源邊際利潤(rùn)等于0;(3)安排生產(chǎn)的產(chǎn)品機(jī)會(huì)成本小于等于利潤(rùn);(4)機(jī)會(huì)成本大于利潤(rùn)的產(chǎn)品不安排生產(chǎn).對(duì)偶問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)解釋11:17對(duì)偶的一般形式11:1711:17例1：寫出下面線性規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃11:171，建立對(duì)偶表11:17y1y2y32，寫出對(duì)偶規(guī)劃11:17閱讀和自學(xué)：參考書(shū)P56-59，第3.3.1和3.3.2節(jié)11:17線性規(guī)劃的敏感性分析什么是敏感性分析偉恩德公司案例研究目標(biāo)函數(shù)系數(shù)分析右端項(xiàng)的影子價(jià)格分析11:17原材料6大塊8小塊產(chǎn)品

桌

椅Profit=$20/Table Profit=$15/Chair自己動(dòng)手11:17如果桌子的利潤(rùn)是$35，最優(yōu)解會(huì)怎樣變化呢？如果又有一個(gè)額外的大塊，會(huì)增加總利潤(rùn)嗎？如果桌子和椅子構(gòu)成改變，最優(yōu)解會(huì)變化嗎？如果還有一些原材料，你愿意以多大的代價(jià)購(gòu)買呢？拼裝玩具生產(chǎn)自己動(dòng)手你怎么來(lái)分析這些問(wèn)題？想想看！11:17什么是敏感性分析定義：建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解后，研究線性規(guī)劃的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)（系數(shù)）ci,aij,bj

變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響數(shù)學(xué)模型只是實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)粗略的抽象最優(yōu)解一般只是針對(duì)某一特定的數(shù)學(xué)模型管理者要對(duì)未來(lái)做各種假設(shè)，在這些假設(shè)下，測(cè)試可能產(chǎn)生的結(jié)果，通過(guò)對(duì)各種結(jié)果深入分析來(lái)指導(dǎo)決策通常，在取得最初版本模型的最優(yōu)解之后，進(jìn)行分析才能取得對(duì)問(wèn)題深入的認(rèn)識(shí)這種分析稱為what-if分析或敏感性分析（SensitivityAnalysis）意義：what-if分析可以表明改變這些決策對(duì)結(jié)果的影響，從而有效指導(dǎo)管理者作出最終的決策11:17偉恩德公司案例研究實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究修正的偉恩德例子，門的單位利潤(rùn)PD=$300降到PD=$200，而最優(yōu)解不變實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究修正的偉恩德例子，門的單位利潤(rùn)PD=$300增加到PD=$500，而最優(yōu)解不變實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究修正的偉恩德例子，門的單位利潤(rùn)從PD=$300增加到PD=$1000，最優(yōu)解改變實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究在偉恩德的例子中系統(tǒng)改變門的單位利潤(rùn)得到數(shù)據(jù)表實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究其中最后三欄表示了門窗單位利潤(rùn)的最優(yōu)域。實(shí)際舉例RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX1300.000000450.000000300.000000X2500.000000INFINITY300.000000

11:17最優(yōu)域敏感性分析如何在不重新求解模型的條件下，確定如果目標(biāo)函數(shù)的幾個(gè)系數(shù)同時(shí)變化，可能造成對(duì)最優(yōu)解的影響

如果偉恩德公司兩種新產(chǎn)品單位利潤(rùn)的估計(jì)值都是不精確的，將會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生怎樣的影響？

11:17偉恩德公司案例研究修正的偉恩德問(wèn)題模型，其中門，窗的單位利潤(rùn)分別被改為PD=$450,PW＝$400，但是最優(yōu)解不變實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究修正的偉恩德問(wèn)題模型，其中門，窗的單位利潤(rùn)分別被改為PD=$600,PW＝$300，從而最優(yōu)解改變實(shí)際舉例11:17偉恩德公司案例研究偉恩德例子中系統(tǒng)改變門，窗單位利潤(rùn)得到的數(shù)據(jù)表實(shí)際舉例11:17百分之百法則目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)的百分之百法則(The100percentruleforsimultaneouschangesinobjectivefunctioncoefficients)：如果目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一系數(shù)變動(dòng)量占該系數(shù)最優(yōu)域允許變動(dòng)量的百分比，而后，將各個(gè)系數(shù)的變動(dòng)百分比相加，如果所得的和不超過(guò)百分之一百，最優(yōu)解不會(huì)改變，如果超過(guò)百分之一百，則不能確定最優(yōu)解是否改變。

11:17可用于確定在保持最優(yōu)解不變的條件下，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變動(dòng)范圍

百分百法則通過(guò)將允許的增加或減少值在各個(gè)系數(shù)之間分?jǐn)?，從而可以直接顯示出每個(gè)系數(shù)的允許變動(dòng)值

線性規(guī)劃研究結(jié)束以后，如果將來(lái)?xiàng)l件變化，致使目標(biāo)函數(shù)中一部分或所有系數(shù)都發(fā)生變動(dòng)，百分百法則可以直接表明最初最優(yōu)解是否保持不變

百分之百法則的作用11:17右端項(xiàng)的影子價(jià)格分析分析函數(shù)約束右端值變動(dòng)的原因也是不能得到模型的參數(shù)的精確值，只能對(duì)其作大略的估計(jì)。因此要知道萬(wàn)一這些估計(jì)不準(zhǔn)確產(chǎn)生的后果更主要的理由是因?yàn)檫@些常數(shù)往往不是由外界決定的而是管理層的政策決策。在建模并求解后，管理者想要知道如果改變這些決策是否會(huì)提高最終收益影子價(jià)格分析就是為管理者提供這方面的信息11:17影子價(jià)格在給定線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)值的條件下，影子價(jià)格（shadowprice）就是約束常數(shù)增加微小的量，使得目標(biāo)函數(shù)值增加的量。11:17Maxz=20A+30BS.t.工序1:2A+B≤40工序2:A+2B≤40工序3:A+B≤25非負(fù)約束：A≥0,B≥0最優(yōu)解：A=10,B=15,Z=650影子價(jià)格：工序1的為0；工序2的為10；工序3的為10實(shí)際舉例11:17Maxz=20A+30BS.t.工序1:2A+B≤40→41工序2:A+2B≤40工序3:A+B≤25非負(fù)約束：A≥0,B≥0最優(yōu)解：A=15,B=10,Z=650沒(méi)有變化，工序1的影子價(jià)格是011:17Maxz=20A+30BS.t.工序1:2A+B≤40工序2:A+2B≤40→41工序3:A+B≤25非負(fù)約束：A≥0,B≥0最優(yōu)解：A=9,B=16,Z=650→660增加了10元，工序2的影子價(jià)格是10但是若增加太多，例如增加100小時(shí)，該約束不再是限制約束了，增加的價(jià)值反而不是1000元。也就是說(shuō)存在上限。11:17Maxz=20A+30BS.t.工序1:2A+B≤40工序2:A+2B≤40工序3:A+B≤25→26非負(fù)約束：A≥0,B≥0最優(yōu)解：A=12,B=14,Z=650→660增加了10元，工序3的影子價(jià)格是10同工序2，只有在生產(chǎn)能力有較小的變動(dòng)時(shí)適用11:17同時(shí)改變右端項(xiàng)如果，多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)，那么管理層又該如何來(lái)評(píng)估可能造成的影響呢？這種問(wèn)題很常見(jiàn)！11:17同時(shí)改變幾個(gè)或所有函數(shù)約束的約束右端值，如果這些變動(dòng)的幅度不大，那么可以用影子價(jià)格預(yù)測(cè)變動(dòng)產(chǎn)生的影響。如果所有的百分比之和不超過(guò)百分之一百，那么，影子價(jià)格還是有效的，如果所有的百分比之和超過(guò)百分之一百，那就無(wú)法確定影子價(jià)格是否有效

The100percentrule百分之百法則11:17修正的偉恩德問(wèn)題，其中一個(gè)小時(shí)的工作時(shí)間從工廠3移到工廠2，模型的求解。

實(shí)際舉例WyndorCaseStudy偉恩德公司案例研究11:17不斷將工廠3的工作時(shí)間轉(zhuǎn)移到工廠2，從而生成數(shù)據(jù)表實(shí)際舉例WyndorCaseStudy偉恩德公司案例研究11:17百分之百法則設(shè)參數(shù)a變化的最優(yōu)范圍的上下限分別為[a’,a’’]，若參數(shù)a變化增加到a*，則可行增加的百分比＝(a*-a)/(a’’-a)；若參數(shù)a變化減少到a*，則可行減少的百分比＝(a-a*)/(a-a’)。注意：不是(a-a*)/(a”-a’)。對(duì)所有變化的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，求其占可行增加和可行減少的百分比的絕對(duì)值之和。若絕對(duì)值之和不超過(guò)100%，則最優(yōu)解不變；對(duì)所有變化的約束條件右側(cè)的值系數(shù)，求其占可行增加和可行減少的百分比的絕對(duì)值之和。若絕對(duì)值之和不超過(guò)100%，則影子價(jià)格起作用；注意：當(dāng)允許增加（減少）的量為無(wú)窮大時(shí)，則對(duì)任意增加