第二章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析3

2.4

利用Z變換對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析1傅里葉變換和Z變換都是對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析的重要數(shù)學(xué)工具。信號的頻域分析指的是信號的傅里葉變換，Z變換則是分析域更為擴(kuò)大的一種變換，Z變換比傅里葉變換的應(yīng)用更廣泛。2.4.1

系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域一般稱為特性。系統(tǒng)的時(shí)域特性用單位脈沖響應(yīng) 表示，對 進(jìn)行傅里葉變換，得到（2.4.1）稱 為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，所以又稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。將 進(jìn)行Z變換，得到（2.4.2）2對于y(n)=x(n)*h(n)兩邊取Z變換Y(Z)=X(Z)H(Z)，所以H(Z)=Y(Z)/X(Z)對N階差分方程(1.4.2)式(2.4.8)進(jìn)行Z變換，利用Z變換性質(zhì)（p42）ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z)3如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(e

jω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.4.3)重寫前面公式42.4.2

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果系統(tǒng)用N階差分方程表示，即將上式進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)5將上式進(jìn)行因式分解，得到式中，

是 的零點(diǎn)，

是它的極點(diǎn)，A是常數(shù)。A僅決定幅度大小，不影響頻率特性的實(shí)質(zhì)。系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布都會影響系統(tǒng)的頻率特性，而影響系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性的只是極點(diǎn)分布。6系統(tǒng)的因果性指的是系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，如果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)，它的單位脈沖響應(yīng)一定是因果序列。因此得到結(jié)論，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域包含∞點(diǎn)。所以因果序列Z變換的極點(diǎn)均集中在以為半徑的圓內(nèi)。7如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求，按照Z變換的定義因此得到結(jié)論:系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含單位圓。綜上所述，得出系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件: 的極點(diǎn)應(yīng)集中在單位圓內(nèi)。8例2.4.1：，分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性解：系統(tǒng)的極點(diǎn)為（1）收斂域取收斂域包含，故是因果系統(tǒng)收斂域不包含單位圓，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為9收斂域取收斂域不包含 ，不是因果系統(tǒng)收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為收斂域取收斂域不包含，不是因果系統(tǒng)收斂域不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為102.4.5

根據(jù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)用N階差分方程描述，系統(tǒng)函數(shù)如下式所示式中，

和 分別是系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，共有M個(gè)零點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)。系統(tǒng)的頻響特性主要取決于系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布，系數(shù)A只影響幅度大小。11下面介紹用幾何方法分析研究零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的影響。將系統(tǒng)函數(shù)分子、分母同乘以 ，得到12設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將代入上式，得到(2.4.20)對于 ，在Z平面上可以用坐標(biāo)原點(diǎn)O到單位圓上B點(diǎn)的矢量OB來表示，該矢量的長度是1，相角ω就是和水平坐標(biāo)之間的夾角。13對于極點(diǎn)z=

，在Z平面上則用坐標(biāo)原點(diǎn)O到 的矢量表示。相應(yīng)的零點(diǎn)

用 表示。當(dāng)頻率ω由O連續(xù)增大，經(jīng)過 再到2 時(shí)，矢量OB便圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，如下圖(a)所示。14對于 ，則用從極點(diǎn) 到單位圓上一點(diǎn)B的矢量表示，該矢量稱為極點(diǎn)矢量。極點(diǎn)矢量的長度用 表示，矢量的相位，就是矢量和水平坐標(biāo)之間的夾角，用對于零點(diǎn)，有零點(diǎn)矢量，用表示。表示，零點(diǎn)矢量的長度用

表示，相位用 表示。零極點(diǎn)矢量如下圖(b)所示。15將零極點(diǎn)矢量用下式表示，得到幅頻特性和相頻特性公式16式(2.4.22)說明，系統(tǒng)的幅頻特性等于系統(tǒng)零點(diǎn)矢量長度之積除以極點(diǎn)矢量長度之積。式(2.4.23)說明，相頻特性等于ω(N-M)與零點(diǎn)矢量的相角之和減去極點(diǎn)矢量的相角之和（設(shè)A>0）。(2.4.22)17(2.4.23)幅頻特性：相頻特性：當(dāng)頻率ω由0變化到2時(shí)，這些零、極點(diǎn)矢量的終點(diǎn)B沿單位圓旋轉(zhuǎn)一周，零、極點(diǎn)矢量的長度和相角不斷變

化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以計(jì)算出幅頻特性和相頻特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22)定性分析估計(jì)幅頻特性。(2.4.22)18(2.4.23)零極點(diǎn)分布對幅頻特性的影響19極點(diǎn)影響幅頻特性的峰值，峰值頻率在極點(diǎn)的附近；極點(diǎn)越靠近單位圓，峰值越高，越尖銳；極點(diǎn)在單位圓上，峰值幅度為無窮，系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點(diǎn)影響幅頻特性的谷值，谷值頻率在零點(diǎn)的附近；零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零；零點(diǎn)在單位圓上，谷值為零；處于坐標(biāo)原點(diǎn)的零極點(diǎn)不影響幅頻特性。2.4.7已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性,N=8。解：H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的頻響。零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定20N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，N=8，極零點(diǎn)分布如圖所示。當(dāng)ω從零變化到2π時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零，在兩個(gè)零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般將具有如圖所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅度特性21例2.4.8 定性分析（利用幾何法分析）并畫出矩形序列的幅頻特性。N=8。解：零點(diǎn)：極點(diǎn)：階極點(diǎn)z=1處的極點(diǎn)零點(diǎn)相互抵消。N=8，這樣極零點(diǎn)分布及其幅頻特性如圖所示。自學(xué)例2.4.822圖 N=8矩形序列極零點(diǎn)分布及幅度特性23當(dāng)ω=0開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅頻特性等于零。幅頻特性為零的頻率為24ωk=(2

π

/N)k,k=1,2,…,