第六章圖形的相似（知識(shí)歸納題型突破）

第六章圖形的相似（知識(shí)歸納+題型突破）掌握相似圖形的概念、會(huì)判斷相似圖形，熟練掌握相似的判定與性質(zhì)。能應(yīng)用相似的判定方法解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。一、相似三角形的判定方法（1）基本事實(shí)法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所截得的三角形與原三角形相似；（2）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；（4）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.二、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比相似三角形的面積比等于相似比的平方相似三角形對(duì)應(yīng)高（中線、角平分線）的比等于相似比三、K型相似在Rt△ABC和Rt△CDE中，B、C、D三點(diǎn)共線，∠B=∠D=∠ACE=90°△ABC∽△CDE在△ABC和△CDE中，B、C、D三點(diǎn)共線，∠B=∠D=∠ACE=60°△ABC∽△CDE在△ABC和△CDE中，B、C、D三點(diǎn)共線，∠B=∠D=∠ACE△ABC∽△CDE四、位似圖形（1）位似圖形：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．

注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．

（2）位似圖形的主要特征是：①每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線②不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．題型一比例的性質(zhì)【例1】如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，逐項(xiàng)判斷，即可．【詳解】A、，變形為：，不符合題意；B、，變形為：，符合題意；C、，變形為：，不符合題意；D、，變形為：，不符合題意；故選：B．【例2】若，則的值為（

）A． B．1 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由，，，故選：A．【例3】已知四條線段a、b、c、d滿足，則下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由已知，可得，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由已知，可得，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由已知，可得，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由已知，可得，那么，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．鞏固訓(xùn)練1．若，且，則等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】B【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，若b2=ac，則b：c可求．【詳解】∵a：b=3：2，且b2=ac，∴b：c=a：b=3：2．故選B．2．若，則．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，即可．【詳解】∵，∴．故答案為：．題型二比例尺【例4】在一幅比例尺是1：5000000的地圖上，量得上海到杭州的距離是3.4cm．那么上海到杭州的實(shí)際距離是（）A．17km B．34km C．170km D．340km【答案】C【分析】要求3.4厘米表示的實(shí)際距離是多少千米，根據(jù)“圖上距離÷比例尺＝實(shí)際距離”，代入數(shù)值計(jì)算即可求解．【詳解】解：（厘米），17000000厘米＝170千米，答：上海到杭州的實(shí)際距離是170千米，故選：C．【例5】、兩地的實(shí)際距離米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實(shí)際距離的比是．【答案】【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離，直接求出即可．【詳解】解：250米厘米，∴比例尺；故答案為：．鞏固訓(xùn)練3．某地圖上1cm2面積表示實(shí)際面積900m2，則該地圖的比例尺是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)該地圖的比例尺是1：x，根據(jù)面積比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．【詳解】解：設(shè)該地圖的比例尺是1：x，根據(jù)題意得：1：x2＝1：9000000，解得x1＝3000，x2＝?3000（舍去）．則該地圖的比例尺是1：3000；故選：B．4．若在比例尺為的地圖上，測(cè)得兩地的距離為1.5厘米，則這兩地的實(shí)際距離是千米【答案】15【分析】設(shè)兩地間的實(shí)際距離是xcm，由在比例尺為1：1000000的地圖上，量得兩地間的距離為1.5厘米，即可得方程，解方程即可求得x的值，然后換算單位即可求得答案．【詳解】解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離是xcm，∵比例尺為1：1000000，量得兩地間的距離為1.5cm，∴，解得：x=1500000，∵1500000cm=15km，∴兩地間的實(shí)際距離是15千米，故答案為：15．5．在比例尺為1：800000的鹽城市地圖上，大豐實(shí)驗(yàn)初中與濱海第一初級(jí)中學(xué)的圖上距離為16cm，則實(shí)際距離為km．【答案】128【分析】根據(jù)比例尺直角計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)實(shí)際距離為xcm，∵比例尺為1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案為：128．題型三比例線段【例6】下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例線段的定義，讓最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意，故選：D．【例7】已知線段是線段，的比例中項(xiàng)，，，則為（）cm.A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得，代入數(shù)值，解答出即可，注意線段為正值．【解答】解：由題意得，∵，∴∴，（舍）∴．故選：C．鞏固訓(xùn)練6．下列各組線段中，不成比例的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例；不相等即不成比例．【詳解】A、從小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合題意;B、從小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合題意;C、從小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合題意;D、從小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合題意.故選B．7．線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，其中a=4，b=5，則c=【答案】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得c2=ab，從而易求c．【詳解】∵線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，∴c2=ab，∵a=4，b=5，∴c2=20，∴c=2（負(fù)數(shù)舍去），故答案是2.8．（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對(duì)化簡(jiǎn)，得，把的值代入，即可【詳解】（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．題型四由平行判斷成比例的線段【例8】如圖，在□ABCD中，AE＝AD，連接BE，交AC于點(diǎn)F，AC＝12，則AF為（）A．3 B．4 【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得，然后求出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出、的比，然后求解即可．【詳解】解：在中，，，，，，，．故選：D．【例9】如圖，在中，E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線上的四等分點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)AD∥BC，得到，根據(jù)四等分點(diǎn)和MG得到CG，可得MC=MF=4，再證明可得HF，可得MH．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴，∵E，F(xiàn)，G依次是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，MG=1，∴，∴CG=3，∴MF=MC=MG+CG=4，∵AD∥BC，∴，∴HF=4，∴MH=MF+HF=8，故選D．【例10】如圖，，則．【答案】9【分析】由平行線得出比例式，求出BC的長(zhǎng)，即可得出求AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：BC=6，∴AC=AB+BC=9，故答案為：9．鞏固訓(xùn)練9．已知M，N分別為上的兩點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可得答案．【詳解】解：，，，，，，故選：C．10．如圖，D、E分別是AC和AB上的點(diǎn)，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，將△ADE沿著AB邊向右平移，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，平移的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，由平行線等分線段定理得到AE＝BE＝5，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠C＝90°，，∴∠ADE=∠C=90°，∴是直角三角形，∴，

∵DE∥BC，AD＝DC＝4，∴AE＝BE＝5，∴當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，平移的距離為BE＝5,故選：C．11．如圖，已知一組平行線abc，被直線m、n所截，交點(diǎn)分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，則DE的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵a∥b∥c，∴，即，∴DE＝3.6，故答案為：3.6．題型五黃金分割【例11】某品牌汽車將汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若車頭與倒車鏡的水平距離為1.58米，倒車鏡到車尾部分的水平距離較長(zhǎng)，則該車車身總長(zhǎng)約為（

）【答案】A【分析】設(shè)整個(gè)車身長(zhǎng)為，點(diǎn)C表示倒車鏡位置，根據(jù)黃金分割確定的長(zhǎng)，繼而確定車身長(zhǎng)，對(duì)照選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：如圖，設(shè)整個(gè)車身長(zhǎng)為，點(diǎn)C表示倒車鏡位置，根據(jù)題意，米，∴米，∴車長(zhǎng)米，故選A．【例12】鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：是的黃金分割點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為，，，故選：A．鞏固訓(xùn)練12．主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處是最自然得體的，現(xiàn)在班級(jí)元旦晚會(huì)開(kāi)始了，主持人從講臺(tái)黃金分割點(diǎn)C走到另一個(gè)黃金分割點(diǎn)D，若講臺(tái)的長(zhǎng)為米，則的長(zhǎng)為（

）米A． B．2 C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：不妨設(shè)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A，∵講臺(tái)的長(zhǎng)為米，C、D都是講臺(tái)的黃金分割點(diǎn)，∴米，∴，∴米，故選A．13．若線段長(zhǎng)為，是的黃金分割點(diǎn)且，則線段．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的概念及得到，從而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：是的黃金分割點(diǎn)且，，線段長(zhǎng)為，，，故答案為：．14．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義解答，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)．【詳解】解：點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，設(shè)，，，，，，（舍去），，故答案為：．15．某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長(zhǎng)之比為），若車頭與倒車鏡的水平距離為，則該車車身總長(zhǎng)為m．【答案】5【分析】設(shè)該車車身總長(zhǎng)為，利用黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車倒車鏡到車尾的水平距離為，則根據(jù)題意列方程，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)該車車身總長(zhǎng)為，∵汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置，∴汽車倒車鏡到車尾的水平距離為，∴，解得，即該車車身總長(zhǎng)為5米．故答案為：5．16．（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）厘米；（2）或．【分析】（1）根據(jù)條件建立等式，求解即可；（2）利用分類討論的思想討論出黃金分割點(diǎn)，得出與原線段比例分別為和，然后建立等式求解．【詳解】解：（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，且，可知，此時(shí)厘米；（2）線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，與原線段比例分別為和，故或．題型六相似圖形性質(zhì)【例13】如圖所示，一般書本的紙張是在原紙張多次對(duì)開(kāi)后得到．矩形沿對(duì)開(kāi)后，再把矩形沿對(duì)開(kāi)，依此類推．若各種開(kāi)本的矩形都相似，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的面積是矩形面積的2倍，得出相似圖形面積比是相似比的平方，進(jìn)而得出的值【詳解】解：∵矩形的面積是矩形面積的2倍，∴∵各種開(kāi)本的矩形都相似，∴，∴．故選：B．【例14】下列各組四邊形中是相似多邊形的是（

）A．一組鄰邊為厘米和厘米與一組鄰邊為厘米和厘米的矩形B．有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)菱形C．邊長(zhǎng)分別為厘米和厘米的兩個(gè)菱形D．兩個(gè)高相等的等腰梯形【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的定義，即可求解．【詳解】解：B菱形一個(gè)內(nèi)角確定，則每個(gè)內(nèi)角都可以確定下來(lái)，同時(shí)，菱形四邊相等，對(duì)應(yīng)成比例，是相似多邊形，則B選項(xiàng)符合題意；A選項(xiàng)邊不對(duì)應(yīng)成比例，不是相似多邊形，則A選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)菱形有不穩(wěn)定性，形狀不固定，不是相似多邊形，則C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)等腰梯形形狀不固定，不是相似多邊形，則D選項(xiàng)不符合題意．故選：B【例15】?jī)蓚€(gè)相似多邊形的面積之比為，則它們的對(duì)應(yīng)高之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似多邊形面積的比等于相似比的平方，即可求得相似多邊形的相似比，再由相似多邊形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵兩個(gè)相似多邊形的面積之比為，∴相似比是，又∵相似多角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，∴對(duì)應(yīng)邊上高的比為．故選：A．鞏固訓(xùn)練17．若一個(gè)多邊形的各邊長(zhǎng)分別為2，3，4，5，6，另一個(gè)和它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為24，則另一個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意得：，解得：，故選：B．18．如圖，將一張兩邊長(zhǎng)分別為和的矩形紙片兩次對(duì)折后展開(kāi)，得到四個(gè)全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，則x的值為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】求出折疊后小矩形的一條邊長(zhǎng)，然后根據(jù)相似圖形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵大矩形的一條邊長(zhǎng)為，∴折疊后小矩形的一條邊長(zhǎng)為，∵小矩形和原矩形相似，∴，解得（負(fù)值已舍去），故選：B．19．下列各命題中，是真命題的是（）A．在與中，，B．底角都為的兩個(gè)等腰梯形相似C．一組鄰邊之比為的兩個(gè)平行四邊形相似D．有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)等腰三角形相似【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理、相似多邊形的判定定理、等腰梯形、平行四邊形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、在與中，，，則，原說(shuō)法錯(cuò)誤；B、底角都為的兩個(gè)等腰梯形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，則不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤；C、一組鄰邊之比為的兩個(gè)平行四邊形，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不一定相似，原說(shuō)法錯(cuò)誤；D、有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)等腰三角形相似，原說(shuō)法正確；故選：D．題型七證明三角形相似（小題）【例16】如圖，在中，，，垂足為D，則圖中相似三角形共有（

）對(duì)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】可證得，，所以相似三角形有3對(duì)．【詳解】解：∵,∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴共有3對(duì)相似三角形．故選：D【例17】如圖，以下三個(gè)三角形中，相似的是（

）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）【答案】B【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．即可判斷．【詳解】第（1）個(gè)三角形的第三角是，第（2）個(gè)三角形的第三角是，第（3）個(gè)三角形的第三角是，∴（2）和（3）兩個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，∴（2）和（3）兩個(gè)三角形相似．故選：B．【例18】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：，，，然后根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【詳解】解：∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，∴，，，A．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個(gè)三角形與不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該三角形的三邊分別為：，，，且，則這個(gè)三角形與相似，故此選項(xiàng)符合題意；C．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個(gè)三角形與不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該三角形的三邊分別為：，，，但，則這個(gè)三角形與不相似，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．鞏固訓(xùn)練20．下列條件中的兩個(gè)等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、有一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形的三組角分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形相似，不符合題意；B、當(dāng)一個(gè)等腰三角形的底角為，而另一個(gè)等腰三角形的頂角是時(shí)，這兩個(gè)等腰三角形不相似，符合題意；C、有一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形的三組角分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形相似，不符合題意；D、有一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形的三組角分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形相似，不符合題意；故選：B．21．如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是．?【答案】【分析】利用相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等即可求解．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，∴，故答案為：．22．在一張由復(fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成4cm，則這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積是【答案】32【分析】復(fù)印前后的圖案按照比例放大或縮小，因此它們是相似圖形，按照相似圖形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵在一張由復(fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成4cm，∴相似比，∴面積比，∴這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積．故答案是：32．23．一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2，4，5，6，另一個(gè)與它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為24，則該多邊形的最短邊長(zhǎng)為．【答案】8【分析】該多邊形的最短邊長(zhǎng)為．利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：該多邊形的最短邊長(zhǎng)為．由相似多邊形的性質(zhì)可知：，，故答案為：8．24．若，它們的面積比為，則與的周長(zhǎng)之比為．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比，可得與的相似比；即可得與的周長(zhǎng)之比．【詳解】已知與相似且面積之比為，得與的相似比為；得與的周長(zhǎng)之比為．故答案為．題型八證明三角形相似（解答題）【例19】如圖，四邊形四邊形，且，，，，，．求，的大小和的長(zhǎng)．【答案】，，．【分析】由四邊形四邊形，根據(jù)相似四邊形的對(duì)應(yīng)角相等，即可求得，，又由四邊形的內(nèi)角和等于，即可求得的度數(shù)；根據(jù)相似四邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形四邊形，，，∴，，∵，∴，∵四邊形四邊形，∴，∵，，，∴，解得：．∴，，．【例20】如圖，點(diǎn)、在線段上，是等腰三角形，，且．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】由相似三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)可得，可得結(jié)論．【詳解】解：證明：，，，，，，又，．【例21】已知：在和中，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】直接在線段（或它的延長(zhǎng)線）上截取，得出，再證明，進(jìn)而得出答案．【詳解】證明：在線段（或它的延長(zhǎng)線）上截取，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，∵，∴，∴，又，，∴，，∴，在和中，∴，∴．【例22】如圖，和都是的高，相交于F點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，即，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由(1)，可得，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵點(diǎn)是的中點(diǎn),,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案為：．鞏固訓(xùn)練25．如圖，D是上一點(diǎn)，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由，即可證明．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴．26．如圖，在和中，于A，于D，相交于點(diǎn)O，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)相似三角形的判定即可．【詳解】證明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．27．如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，，，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】首先求出的長(zhǎng)，再求出，根據(jù)即可證明．【詳解】解：，，，，，又，．28．如圖，D，E分別為邊上兩點(diǎn)，且，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角即可證明相似．【詳解】證明：，，，，，，，，，又，．29．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，連接為上一點(diǎn)，連接，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，得到，然后由，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵，∴∴．題型九相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【例23】如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積為（

） B．8 C． D．【答案】C【分析】證明，求得，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：C．【例24】如圖，的直角邊，斜邊，則＝；它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】由勾股定理可求出的長(zhǎng)度，由正方形的性質(zhì)證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：∵的直角邊，斜邊，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，，∴，∴，即，解得：，故答案為：；．【例25】如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，可得進(jìn)而證明，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）證明可得，由（1）可得，進(jìn)而即可得證．【詳解】（1）證明：∵，是的中點(diǎn)，∴，，∴，又，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴，即，∴，鞏固訓(xùn)練30．有一塊銳角三角形余料，邊為，邊上的高為，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為和的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長(zhǎng)為的邊在上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有幾個(gè)（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得底層可以放置個(gè)小長(zhǎng)方形，根據(jù)頂層與的邊交于點(diǎn)，可得，由此可求出的值，可得共堆疊的層數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：∵的底邊為，最底層的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為的邊在上，∴底層可以放置個(gè)小長(zhǎng)方形，即，如圖所示，頂層小長(zhǎng)方形與的邊交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∴，且，，，∴相似比為，∴，則，∴，∵小長(zhǎng)方形零件的高為，∴，即可以疊四層，∴共有個(gè)，故選：．31．如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得，證明，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵梯形中，，∴，又∵∴∴，∴∴∴即；（2）解：∵∴∵∴，∴則∵∴，∴32．如圖，交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)若四邊形的面積為16，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合已知得到，則可得，然后可得結(jié)論；（2）根據(jù)求出，然后可得的面積．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．題型十重心【例26】如圖，點(diǎn)為的重心，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，則與的周長(zhǎng)之比為（

）A．： B．： C．： D．：【答案】B【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，先證四邊形為平行四邊形，從而得，進(jìn)而可證點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而得，則，設(shè)，則，則，再證得：：：：，然后證得相似比為：：，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，如圖所示：點(diǎn)為的重心，，分別為的中線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，，即，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例可知，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，設(shè)，則，，，，，，：：：：，，，，相似比為：：，與的周長(zhǎng)之比為：，故選：B．【例27】如圖，點(diǎn)為的重心，連接，則．【答案】【分析】三角形的重心是三邊中線的交點(diǎn)，根據(jù)重心分中線的線段關(guān)系（即）即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為的重心，即是的中線，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴，∴，故答案為：．【例28】如圖，在中，是邊上的中線，G是重心，，交于點(diǎn)E，則．【答案】2【分析】根據(jù)重心的概念得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理解答．【詳解】解：是重心，，，，故答案為：2．鞏固訓(xùn)練33．如圖，在中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的重心．，則．【答案】4【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的重心，∴，∴；故答案為：4．34．如圖，在中，點(diǎn)G是的重心，如果，那么與的面積之比是．【答案】【分析】根據(jù)判斷出和相似，再根據(jù)重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，求出兩三角形對(duì)應(yīng)中線的比，也就是相似比，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)D，∵點(diǎn)G是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，，點(diǎn)M為的重心，若將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)為．【答案】【分析】由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證全等即可求得旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，點(diǎn)M為的重心∴,∵點(diǎn)∴點(diǎn)∵將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°過(guò)點(diǎn)作軸，連接∵∴∵∴∴∴點(diǎn)故答案為：題型十一位似圖形【例29】如圖．三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為位似中心畫一個(gè)三角形，使它與位似，且位似比是，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分與在原點(diǎn)同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可【詳解】解：當(dāng)與在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，∵與關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比是，，∴，即；當(dāng)與在原點(diǎn)異側(cè)時(shí)，∵與關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比是，，∴，即；故選C．【例30】如圖，與是位似圖形，是位似中心，點(diǎn)A、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，若與的面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，由與的面積之比為得到，即可得到．【詳解】解：∵與是位似圖形，是位似中心，∴，∵與的面積之比為，∴，∴．故選：A鞏固訓(xùn)練36．在平面直角坐標(biāo)系中，有三個(gè)點(diǎn)，，．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與的位似圖形，位似比為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與的位似圖形，位似比為，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故答案為：．37．如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，相似比為，則和的面積比是．【答案】【分析】先利用位似的性質(zhì)得到，相似比為，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．【詳解】解：與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，，相似比為，與的面積之比為．故答案為：．38．如圖，在