第十章-點(diǎn)估計(jì)課件

前言所謂統(tǒng)計(jì)推斷，就是根據(jù)從總體中抽取得的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本對(duì)總體進(jìn)行分析和推斷。即由樣本來(lái)推斷總體，或者由部分推斷總體。——這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心內(nèi)容。它的基本問(wèn)題包括兩大類(lèi)問(wèn)題，一類(lèi)是估計(jì)理論；另一類(lèi)是假設(shè)檢驗(yàn)。而估計(jì)理論又分為參數(shù)估計(jì)與非參數(shù)估計(jì)，參數(shù)估計(jì)又分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。對(duì)一些并不關(guān)心其分布類(lèi)型的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，只關(guān)心總體的某些數(shù)字特征，如期望、方差等，通常把這些數(shù)字特征稱(chēng)為參數(shù)。這時(shí)，抽樣的目的就是為了解出這些未知的參數(shù)。2023/12/61皖西學(xué)院數(shù)理系第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題2023/12/62皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/63皖西學(xué)院數(shù)理系例某種同型號(hào)的產(chǎn)品N個(gè)，其合格率θ未知，對(duì)該批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn),從中隨機(jī)抽取n個(gè)(n<<N).當(dāng)?shù)趇次抽到的產(chǎn)品合格時(shí)，記Xi=1，反之記Xi=0.如何估計(jì)參數(shù)θ的取值。分析：研究對(duì)象是總體〔產(chǎn)品〕的合格率θ.總體X可以看作是服從參數(shù)為θ的0－1分布，由樣本分布與總體分布的關(guān)系，可以確定樣本X1,X2,…，Xn的的聯(lián)合分布。如果樣本X1,X2,…，Xn的觀(guān)測(cè)值記為則樣本的聯(lián)合分布為2023/12/64皖西學(xué)院數(shù)理系怎樣確定θ的取值呢？方法一：利用樣本的函數(shù)和總體參數(shù)的關(guān)系。如：其期望方法二：分析出現(xiàn)樣本觀(guān)測(cè)值的原因。出現(xiàn)該樣本觀(guān)測(cè)值的可能性〔概率〕應(yīng)該較大。2023/12/65皖西學(xué)院數(shù)理系第二節(jié)估計(jì)方法2023/12/66皖西學(xué)院數(shù)理系一、替換原理與矩法估計(jì)所謂替換原理就是用樣本矩替換總體矩，也稱(chēng)為矩法。1、基本思想：2023/12/67皖西學(xué)院數(shù)理系2、具體做法：【樣本矩替代總體矩】2023/12/68皖西學(xué)院數(shù)理系例1設(shè)有一批同型號(hào)的燈管，其壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的11只，測(cè)得其壽命如下：110，184，145，122，165，143，78，129，52，130，168.用矩法估計(jì)求λ的值。解:總體的期望EX=μ1=樣本均值=130.55.2023/12/69皖西學(xué)院數(shù)理系例2設(shè)總體有均值μ及方差σ2，今有6個(gè)樣本觀(guān)測(cè)值為-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30.求μ和σ2的矩估計(jì)。解:2023/12/610皖西學(xué)院數(shù)理系例3設(shè)是來(lái)自上均勻分布樣本。，未知，求的矩估計(jì)。解：注：①矩估計(jì)不唯一（矩估計(jì)的缺陷）；

②一般盡可能用低階矩來(lái)估計(jì)。2023/12/611皖西學(xué)院數(shù)理系二、最大似然估計(jì)例4設(shè)有外形相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和99個(gè)黑球，現(xiàn)隨機(jī)取一箱，并從中取出一球，結(jié)果取得白球，問(wèn)這只球是從哪個(gè)箱子取出的？【“最像”即是“最大似然”的意思】解：記B-取得白球，A1－取到甲箱，A2－取到乙箱.2023/12/612皖西學(xué)院數(shù)理系則這批觀(guān)測(cè)值出現(xiàn)的概率是

2023/12/613皖西學(xué)院數(shù)理系樣本的聯(lián)合分布2023/12/614皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/615皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/616皖西學(xué)院數(shù)理系所以似然函數(shù)為：2023/12/617皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/618皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/619皖西學(xué)院數(shù)理系最大似然估計(jì)的不變性2023/12/620皖西學(xué)院數(shù)理系第三節(jié)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性2023/12/621皖西學(xué)院數(shù)理系一、無(wú)偏性2023/12/622皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/623皖西學(xué)院數(shù)理系其中所以2023/12/624皖西學(xué)院數(shù)理系例2設(shè)總體服從R(0,θ)上的均勻分布，則θ的最大似然估計(jì)不具有無(wú)偏性。解：由上節(jié)知，θ的最大似然估計(jì)是總體X的密度為總體X的分布函數(shù)為2023/12/625皖西學(xué)院數(shù)理系所以的密度函數(shù)為注：θ的矩估計(jì)則是θ的無(wú)偏估計(jì)。即θ的最大似然估計(jì)不是θ的無(wú)偏估計(jì)。2023/12/626皖西學(xué)院數(shù)理系補(bǔ)充說(shuō)明2023/12/627皖西學(xué)院數(shù)理系二、有效性無(wú)偏估計(jì)只涉及到一階矩（均值），雖然計(jì)算簡(jiǎn)便，但是往往會(huì)出現(xiàn)一個(gè)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)有多個(gè)，而無(wú)法確定哪個(gè)估計(jì)量好。那么，究竟哪個(gè)無(wú)偏估計(jì)更好、更合理，這就看哪個(gè)估計(jì)量的觀(guān)察值更集中地接近在真實(shí)值的附近，即估計(jì)量的觀(guān)察值更密集的分布在真實(shí)值的附近。而方差是反映隨機(jī)變量取值的分散程度，所以無(wú)偏估計(jì)以方差最小者為最好、最合理。2023/12/628皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/629皖西學(xué)院數(shù)理系一般地，最大似然估計(jì)量比矩法估計(jì)量更優(yōu)良。2023/12/630皖西學(xué)院數(shù)理系三、相合性隨樣本容量的增大，估計(jì)值能穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值，即是相合性。2023/12/631皖西學(xué)院數(shù)理系注：一般的估計(jì)量都具有相合性。2023/12/632皖西學(xué)院數(shù)理系2023/12/633皖西學(xué)院數(shù)理系四、均方誤差〔補(bǔ)充內(nèi)容〕2023/12/634皖西學(xué)院數(shù)理系均方誤差＝點(diǎn)估計(jì)的方差+偏差的平方