2011MCM論文(中文版)解析

2011MCM滑雪場(chǎng)問題摘要隨著單板U型滑雪項(xiàng)目的普及，人們對(duì)觀看和欣賞該項(xiàng)目的比賽水品的要求也越來預(yù)告，這就要求運(yùn)動(dòng)員在空中做出更多和更高難度的空翻轉(zhuǎn)體、前刃起飛轉(zhuǎn)體、后手抓前板、后刃起飛轉(zhuǎn)體、前手抓前板等漂亮動(dòng)作，而這些動(dòng)作的完成都取決于騰空的高度。而影響騰空高度的一個(gè)主要因素是滑雪場(chǎng)的形狀。針對(duì)上述問題，本文以半管狀的滑雪場(chǎng)其橫切面分別是半圓的一部分和冪函數(shù)曲線進(jìn)行了研究。在僅考慮一個(gè)滑板運(yùn)動(dòng)員所能達(dá)到的最大垂直間距為目標(biāo)，根據(jù)能量守恒原理，分別對(duì)橫切面是部分半圓和冪函數(shù)曲線：建立了微分方程數(shù)學(xué)模型，然后以某一個(gè)具體運(yùn)動(dòng)員為例，在一定的合理假設(shè)下給出了它們各自具體的形狀。隨后，又以運(yùn)動(dòng)員在空中空翻轉(zhuǎn)體為目標(biāo)，在保持一定的高度的前提下，使其旋轉(zhuǎn)的角度最大化建立目標(biāo)函數(shù)，通過對(duì)上述曲面進(jìn)行修改：對(duì)該曲面的高度適當(dāng)降低，再在其上邊沿加一個(gè)稍向下傾斜的平面，通過模型的建立，以一個(gè)具體的運(yùn)動(dòng)員的比賽數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該模型的正確性。最后，為了使該模型具有實(shí)用性，對(duì)模型從四個(gè)方面進(jìn)行了取舍：建造的U型槽，應(yīng)有一定的傾斜；在底部加上一個(gè)適度寬的平面；在槽上邊沿加一個(gè)適度寬的平臺(tái)和在平臺(tái)的外邊沿加一個(gè)適當(dāng)高的護(hù)欄。并給出了建造U型槽的最短長(zhǎng)度。關(guān)鍵詞：垂直間距等量守恒生物力學(xué)滑雪場(chǎng)

一、問題的分析在處理U型槽形狀的問題時(shí)，我們對(duì)第一個(gè)問題做了兩種討論。一種是===，或者====并且在每一種情況寫取得了具體的結(jié)果。這樣就需要兩個(gè)變量來描述形狀，即槽所對(duì)應(yīng)的半徑R和槽的深度h，且。我們發(fā)現(xiàn)，使運(yùn)動(dòng)員騰空高度最大化的問題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)過程中能量損失最小的問題。而能量損失又分為三個(gè)部分接觸槽時(shí)的能量損失摩擦力所作的負(fù)功空氣阻力所作的負(fù)功這樣，我們以騰空高度H為目標(biāo)函數(shù)建立了微分方程模型。首先對(duì)于空氣阻力來說，考慮到運(yùn)動(dòng)員的速度變化范圍并不大，空氣阻力所做的負(fù)功大小僅與運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)，這樣我們就把空氣阻力所作負(fù)功的值當(dāng)做一個(gè)常數(shù)來對(duì)待。而在建立模型的過程中我們發(fā)現(xiàn)，如果h很接近于R，摩擦阻力做的負(fù)功很大，入槽時(shí)的能量損失較小。如果h很小的話，則恰好相反，入槽時(shí)的能量損失很大，而摩擦阻力做的負(fù)功很小。這樣我們就需要在這兩者之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，確定最佳的R和h的值，使兩者的損失總和最小從而獲得最大的騰空高度H。更進(jìn)一步的，我們考慮到U型槽可能具有部分半圓以外的其他形狀。我們把其截面的方程設(shè)為冪函數(shù)，用與前一種模型相同的思想來求解。首先我們對(duì)“其他可能的要求”從四個(gè)方面進(jìn)行探討，我們對(duì)模型的改進(jìn)應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)?？罩信まD(zhuǎn)最大化；動(dòng)作銜接順利；落地平穩(wěn)；不影響運(yùn)動(dòng)員的騰空高度。為了達(dá)到這些要求，我們將U型池邊緣一小部分替換成一段近似垂直的斜平面，斜平面高度和所替換的邊緣部分等高，高度約為0.5m,替換后，斜平面與水平方向的夾角在80°至90°。改善后的U型槽優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在1運(yùn)動(dòng)員在出槽前的瞬間需要對(duì)壁施力，以將他的速度方向從指向U型槽外側(cè)轉(zhuǎn)向指向U型槽的內(nèi)側(cè)，而與水平夾角更大的斜平面會(huì)有利于運(yùn)動(dòng)員做動(dòng)作。2由于運(yùn)動(dòng)員在出槽時(shí)的用刃方向與速度方向的夾角跟速度損失率之間存在正相關(guān)關(guān)系，因此，為了盡量減小速度損失，我們就需要盡量減小角，在用刃方向不變的情況下，斜平面與水平方向夾角的增大，使得用刃方向和速度方向的夾角變小，因此，速度損失減小，這樣更有利于騰空高度的增加。同時(shí)由上一條可知，運(yùn)動(dòng)員可以用更小的力蹬壁，這樣也更加方便他控制速度方向。3從摩擦力的角度考慮，摩擦力，提供支持力的有重力在施力點(diǎn)法向方向的分力，以及運(yùn)動(dòng)員在該點(diǎn)所施加的蹬力。而在我們對(duì)模型進(jìn)行修正后，這兩個(gè)力都在變小，所以摩擦力也會(huì)變小。這樣就可以在一定程度上減少摩擦力所做的負(fù)功，從而增大運(yùn)動(dòng)員的騰空高度。為提高場(chǎng)地實(shí)用性，場(chǎng)地設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)除要適合運(yùn)動(dòng)員做技術(shù)動(dòng)作之外，還要保證運(yùn)動(dòng)員的安全性，因此我們從提高安全角度出發(fā)，進(jìn)行三個(gè)方面的改進(jìn)分別是：第一，U型槽放置在斜面上，傾斜角度限制在20°左右，這樣做能為運(yùn)動(dòng)員提供一定的重力勢(shì)能，彌補(bǔ)滑行過程中摩擦做功造成的能量損失；第二，在U型槽底部增加一個(gè)寬5米左右的平面，這樣就能夠在給運(yùn)動(dòng)員充分反應(yīng)時(shí)間的同時(shí)，方便他做上升的準(zhǔn)備。第三，槽邊緣的垂直壁的角度要接近但是小于90°。二、變量說明（缺省）三、模型假設(shè)：1運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中，由于其重心不斷變化，這對(duì)模型的求解帶來困難，故假設(shè)把運(yùn)動(dòng)員與模板一起看做是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其總質(zhì)量為m.2對(duì)于同一個(gè)場(chǎng)地，不同的運(yùn)動(dòng)員的垂直間距也是不同的，故只對(duì)一名固定的運(yùn)動(dòng)員在什么樣的滑雪場(chǎng)地上滑雪垂直距離最大。3由于運(yùn)動(dòng)員在滑雪的過程中，在滑雪場(chǎng)地的那個(gè)位置用力，用力多大是不確定的，故假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中是不用力的。四、模型的建立和求解4.1、在本題中我們首先考慮該滑雪場(chǎng)的橫截線是半圓形，我們選取滑雪場(chǎng)的橫截線為半圓的一部分或半圓。在滑雪過程中，運(yùn)動(dòng)員騰空高度取決于能量損失的大小，其能量損失可以分為3個(gè)部分，即：入槽時(shí)的能量損失空氣阻力引起的能量損失滑行過程中的摩擦力做功能量損失假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員第一次下滑是從滑雪場(chǎng)的上邊沿開始，我們把該運(yùn)動(dòng)員到達(dá)上邊沿的速度等效成運(yùn)動(dòng)員從一定的高度上自由降落，設(shè)這個(gè)高度為d，運(yùn)動(dòng)員最大的騰空高度為H。我們以圓弧的圓心O為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸，以豎直方向?yàn)閥軸，建立直角坐標(biāo)系。則圓的方程為即，運(yùn)動(dòng)員接觸槽和離開槽的點(diǎn)分別為A和B。如圖1為設(shè)計(jì)的場(chǎng)地的橫截線。圖1設(shè)計(jì)的半圓弧型場(chǎng)地圖1設(shè)計(jì)的半圓弧型場(chǎng)地的橫截面4.1.1.1由圖1可得運(yùn)動(dòng)員入槽時(shí)接觸A點(diǎn)的速度方向與A點(diǎn)的切線方向不一致。所以會(huì)存在能量損失。運(yùn)動(dòng)員在接觸A點(diǎn)時(shí)和槽發(fā)生碰撞，切向速度不變，法向速度消失。運(yùn)動(dòng)員由高度d處，降落至A點(diǎn)時(shí)，速度為。由分解速度圖1知：法向速度為，切線方向速度。從最高點(diǎn)到A點(diǎn)，利用動(dòng)能定理得，·························（1）由圖中的幾何關(guān)系得········································（2）發(fā)生碰撞后能量損失為·······························（3）將（1）式代入得·····································（4）4.1.1.2根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理，空氣的阻力：其中為空氣阻力系數(shù)；為空氣密度；為物體迎風(fēng)面積；為物體與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。運(yùn)動(dòng)員在槽內(nèi)滑行的過程中受到三個(gè)力的作用，分別是重力在曲線的切線方向的分力、空氣阻力和槽對(duì)人的摩擦力。假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員身高為172cm、體重為65kg運(yùn)動(dòng)員的截面積大約為,。根據(jù)我們?cè)谇懊娴哪Σ亮Φ墓Γ约耙话氵\(yùn)動(dòng)員的入槽速度，計(jì)算可得運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)的速度在左右。計(jì)算可得空氣阻力的最大值為。在由入槽處A點(diǎn)滑向最低點(diǎn)C點(diǎn)的過程中，重力切線方向的大小隨著的增大而減小，當(dāng)較小時(shí)，sin較小，雪地的摩擦力較小。在斜面上重力切線方向上的分力是，它的大小接近于650N，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣阻力，所以可以將空氣阻力忽略。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員接近于最低點(diǎn)時(shí)，接近90度，重力幾乎無水平分力，但此時(shí)雪地的摩擦力達(dá)到最大，，當(dāng)時(shí)，，與空氣阻力相比仍然很大。綜上所述，在計(jì)算向心力時(shí)，空氣阻力的影響可以忽略不計(jì)。又由于運(yùn)動(dòng)員的在一次從A點(diǎn)到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間很小，而空氣阻力在所作的負(fù)功在這段時(shí)間里幾乎不變，所以空氣阻力的大小不會(huì)對(duì)我們的模型造成實(shí)質(zhì)性的影響，在后面的計(jì)算中，我們忽略了空氣阻力的作用。4.1.1.3滑行過程中摩擦力做功對(duì)能量的損失在下降過程中，重力在曲線的切線方向的分力與運(yùn)動(dòng)員的速度方向一致，在上升過程中重力在曲線的切線方向的分力與運(yùn)動(dòng)員的速度方向不一致，所以我們把滑行過程分為下降和上升兩個(gè)階段?；羞^程中摩擦力做功的能量損失1、下滑過程的摩擦力做功的能量損失對(duì)下滑過程中的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行受力分析得圖2下降過程的受力分析其中圖2下降過程的受力分析解上述微分方程組，得：·········（5）其中為任意常數(shù)。在入槽時(shí)，，運(yùn)動(dòng)員切線方向的速度。對(duì)運(yùn)動(dòng)員滑至最低點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用動(dòng)能定理，········（6）在最低點(diǎn)時(shí)利用牛頓第二定律，得··········································（7）由（6）式和（7）式解得··················（8）將（8）式其帶回（1）式，解得，····（9）將（9）式代入（5）式，得N1的表達(dá)式為·····································································（10）所以運(yùn)動(dòng)員在下降過程中摩擦力做功為2、上升過程的摩擦力做功的能量損失其中圖3上升過程的受力分析解微分方程，得：圖3上升過程的受力分析·······························（11）其中為任意常數(shù)在最低點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員滑至最低點(diǎn)時(shí)的速度達(dá)到最大，速度為。由動(dòng)能定理得：··························（12）在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得···························（13）由（12）式和（13）式解得此時(shí)可以求出常數(shù)·························（14）將（14）式代入（11）式得出·········································································（15）運(yùn)動(dòng)員在上升過程中摩擦力做的功為：······（16）由以上可得運(yùn)動(dòng)員從U型槽最高點(diǎn)下落開始，在雪地中滑行，直到上升到最高點(diǎn)的過程。全程運(yùn)用動(dòng)能定理，得，·······································（17）于是，我們建立數(shù)學(xué)模型如下：其中利用數(shù)學(xué)軟件解得時(shí)可以取得最大的騰空高度。4.1.2對(duì)于模型的擴(kuò)展我們又考慮該滑雪場(chǎng)的橫截線是拋物線型。假設(shè)槽的截面曲線為時(shí)，其中，和都為待定參數(shù)。截線圖如圖所示當(dāng)運(yùn)動(dòng)員處于下滑狀態(tài)時(shí)，對(duì)其進(jìn)行受力分析，如下圖圖4下降過程的受力分析圖4下降過程的受力分析解得,··································································（18）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員處于上滑狀態(tài)時(shí)，對(duì)其進(jìn)行受力分析，如圖所示圖5上升過程的受力分析圖5上升過程的受力分析解得····（19）公式（2）（4）均為微分方程，對(duì)于微分方程的求解，我們采用數(shù)值算法中的改進(jìn)歐拉算法進(jìn)行求解。解得a=0.08，k=5。得到的開口寬度為11.6m，深度為5.2m。根據(jù)國(guó)際雪聯(lián)的規(guī)定水平寬度為9-13m，深度為4.7-5.7m。我們根據(jù)拋物線型槽設(shè)計(jì)出橫截線圖如下：圖6拋物線型槽的橫截線圖6拋物線型槽的橫截線圖7拋物線型槽的三維圖圖7拋物線型槽的三維圖對(duì)比半圓弧型槽和拋物線型槽，我們發(fā)現(xiàn)拋物線型槽，更接近實(shí)際情況，能夠使運(yùn)動(dòng)員獲得更大的騰空高度。4.2問題二在對(duì)國(guó)際雪聯(lián)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)【1】進(jìn)行研究之后，我們對(duì)“其他要求”進(jìn)行了定義，包括：空中扭轉(zhuǎn)最大化便于順利的銜接下一次的動(dòng)作盡量減小運(yùn)動(dòng)員的速度損失以保證其騰空高度優(yōu)美的空中姿態(tài)與落地平穩(wěn)為了達(dá)到這些要求，我們將U型池的邊緣一小部分替換為一段近似垂直的斜平面。它的高度應(yīng)該與替換掉的曲面部分的高度相同。一方面不能太高，否則會(huì)因?yàn)槟Σ磷龉Χ黾幽芰繐p耗，不利于運(yùn)動(dòng)員騰空。另一方面，垂直距離也不能太短，否則無法起到應(yīng)有的效果。對(duì)一般的運(yùn)動(dòng)員來講，滑雪板的長(zhǎng)度大概在150cm?！尽啃逼矫娴母叨葢?yīng)該相當(dāng)于運(yùn)動(dòng)員的后腳內(nèi)側(cè)距離板尾的長(zhǎng)度，大約等于滑板長(zhǎng)度的1/3左右。這段長(zhǎng)度約為50cm,與水平面夾角85°~90°之間。下面我們進(jìn)行詳細(xì)的論述。根據(jù)我們?cè)谏蟼€(gè)問題中的結(jié)果，原出槽處切線的傾斜角為74.1°（R=6.2m，h=4.5m），此方向即為運(yùn)動(dòng)員對(duì)板用力前瞬間的速度方向，指向U型池的外側(cè)。為了使速度方向指向其內(nèi)側(cè)以完成下一個(gè)技術(shù)動(dòng)作，運(yùn)動(dòng)員在出槽時(shí)需要對(duì)滑雪板施加作用力。在出槽壁的一剎那，由于雪板的前沿即將失去支攆，此時(shí)受力點(diǎn)應(yīng)離開板的中心．逐漸向板后部過渡，使板的受力點(diǎn)始終在臺(tái)壁上，前腳順勢(shì)滑出，后腳應(yīng)逐漸用力踏板。在獲得足夠反作用力的同時(shí)，保持拋物線軌跡的流暢和合理的出槽角度。【2】經(jīng)過我們的改動(dòng)，可以有以下三點(diǎn)有利之處：1）如下圖所示，我們假設(shè)運(yùn)動(dòng)員用力蹬壁時(shí)，所施加的力的水平方向的分力是一個(gè)定值，該分力的反作用力，這個(gè)分力可以用來改變運(yùn)動(dòng)員水平方向的速度分量。因?yàn)樵谔砑有逼矫嬷蟪霾鬯俣鹊姆较蚺c水平方向的夾角大于原夾角，即：，又因?yàn)椋?，所以即在改?dòng)后的模型中運(yùn)動(dòng)員只需要對(duì)壁施加一個(gè)更小的力，就可以產(chǎn)生所需的。Figure8:ForceanalysisafterimprovementonthepointawayfromhalfpipeFigure7:ForceanalysisbeforeimprovementFigure8:ForceanalysisafterimprovementonthepointawayfromhalfpipeFigure7:Forceanalysisbeforeimprovementonthepointawayfromhalfpipe這樣就能夠方便運(yùn)動(dòng)員控制出槽的速度方向，進(jìn)而方便其做各種扭轉(zhuǎn)動(dòng)作。同時(shí)也能避免運(yùn)動(dòng)員飛出U型槽，方便其銜接下一個(gè)技術(shù)動(dòng)作。、2）更進(jìn)一步的，我們通過查詢資料發(fā)現(xiàn)，在出槽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員速度方向和用刃方向的夾角和速度損失率存在著正相關(guān)的關(guān)系【2】。見表和圖NameTheinstantaneousvelocityofsnowboardfrontierawayfromhalfpipeTheinstantaneousvelocityofwholesnowboardawayfromhalfpipeTheanglebetweenvelocityanddirectionofsnowboardedgeVelocitylosingrateShi11.397.732032.1Sun10.208.244.019.2Huang13.7312.093.911.9Zeng11.6511.550.30.9Liu11.209.824.112.3Pan12.009.116.024.0HHistogram1:thecomparisonchartofthevelocityinandoutthehalfpipe005101520253035ShiSunHuangZengLiuPannamevelocitylosingratetheanglebetweenvelocityanddirectionofsnowboardedgevelocitylosingrateLinegraph1:Linegraph1:therelationsdiagrambetweenvelocitylosingrateoutofthehalfpipeandthedirectionofsnowboard如圖9所示。其中和分別為模型改變前后滑雪板的軸向速度的方向。和表示滑雪板的用刃方向與人速度方向的夾角。若需要減小速度損失率，則應(yīng)該從減小角入手。在加上這一小段垂直距離之后，減小為，所以速度損失率必然減小。Figure9:Theanglebetweenvelocityanddirectionofsnowboardedgebeforeandafterimprovement另外，由1）知，運(yùn)動(dòng)員需要施加給板的力減小，這顯然能夠Figure9:Theanglebetweenvelocityanddirectionofsnowboardedgebeforeandafterimprovement使他更容易的控制板的方向，從而更容易控制夾角以減小速度損失率。這樣，減小了速度損失率，就減小了能量損失，從而就能達(dá)到更高的騰空高度。而高度是運(yùn)動(dòng)員做各種轉(zhuǎn)體動(dòng)作和獲得更高得分的基礎(chǔ)。3）再次對(duì)出槽點(diǎn)進(jìn)行受力分析，如下圖Figure11:AfterImprovementFigure10Figure11:AfterImprovementFigure10重力在作用點(diǎn)法向量上的分量和人給板的力，它們的反作用力分別為和，這兩者之和組成了運(yùn)動(dòng)員所受的支持力。在圖一和圖二中，，，則。這樣，由于摩擦因數(shù)相同，在模型改動(dòng)后運(yùn)動(dòng)員所受的摩擦力顯然要減小。從而可以減小其能量損失，使運(yùn)動(dòng)員而獲得更高的騰空高度。綜上所述，在U型槽的邊緣增加一段垂直高度之后，可以使運(yùn)動(dòng)員獲得更大出槽速度，達(dá)到更高的高度，同時(shí)也有利于他控制出槽的角度，做出轉(zhuǎn)體動(dòng)作和銜接下一個(gè)動(dòng)作。這樣就能在其他條件不變的情況下，使運(yùn)動(dòng)員獲得一個(gè)相對(duì)較高的分?jǐn)?shù)。4.3問題三：實(shí)用場(chǎng)的建設(shè)在建造practical場(chǎng)地時(shí)，除了要考慮騰空高度，方便運(yùn)動(dòng)員做出高質(zhì)量的動(dòng)作之外，還有一個(gè)重要的問題就是安全問題。由于單板滑雪是一項(xiàng)在高速中需要做出復(fù)雜動(dòng)作的項(xiàng)目，在訓(xùn)練和比賽的過程中會(huì)有較大的受傷概率?！締伟寤︰型場(chǎng)地技巧運(yùn)動(dòng)員膝、腕關(guān)節(jié)損傷的調(diào)查分析】那么就需要盡量對(duì)場(chǎng)地的結(jié)構(gòu)進(jìn)行完善，以減少運(yùn)動(dòng)員受傷事故的發(fā)生。出于以上考慮，我們從三個(gè)方面改進(jìn)賽道。1）在建造U型槽時(shí)，使其有一定的傾斜。在運(yùn)動(dòng)員滑動(dòng)的過程中由于摩擦力做負(fù)功，如果U型槽不傾斜，而運(yùn)動(dòng)員要在U型槽中反復(fù)上下幾次完成比賽動(dòng)作，這樣會(huì)把運(yùn)動(dòng)在第一次入槽時(shí)的能量大量消耗，騰空的高度會(huì)迅速地降低，導(dǎo)致后面的動(dòng)作質(zhì)量下降，失去了比賽的競(jìng)技性和欣賞性。為了使運(yùn)動(dòng)員保證該項(xiàng)目的后面幾次動(dòng)作的質(zhì)量，騰空高度就不能降低，在后面幾次上下滑行過程中就需要不斷的補(bǔ)充能量，而補(bǔ)充能量的最好方法就是使其U型槽傾斜，這樣運(yùn)動(dòng)員在下滑時(shí)可以沿一條向下傾斜的曲線滑行，而從底部向上滑行時(shí)盡量垂直向上，從而從上邊沿到底部的高度就大于從底部到上邊沿的高度，這樣可以利用高度差的重力勢(shì)能來補(bǔ)充每一次的往返動(dòng)作所消耗的能量。根據(jù)歷次冬奧會(huì)和極限運(yùn)動(dòng)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)的往返路線及運(yùn)動(dòng)員的體重以及通過模型一計(jì)算的運(yùn)動(dòng)員每作一次往返所消耗的能量，經(jīng)計(jì)算U型槽的傾斜角應(yīng)在16度到18度