2023年中學生標準學術能力高考數(shù)學診斷試卷

2023年中學生標準學術能力高考數(shù)學診斷試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={x|/—4x+3<0},B=[y\y-則4nB=()

A.[2,3)B.(1,3)C.[2,+oo)D.(3,+8)

2.設z是純虛數(shù)，若皆是實數(shù)，貝ijz的虛部為()

A.-3B.—1C.1D.3

3.已知函數(shù)/(x)=，？sin(3X+,)—C0S(3X+w)(3>0,|伊|<兀)，則''函數(shù)f(x)是偶函

數(shù)"是‘卬=_?的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若圓(*-a)2+(y-3)2=20上有四個點到直線2x-y+l=0的距離為n，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A/13、,,，17,、n/1317、

A.(-00,-y)U(y,+oo)B.(-y,y)

Q7Q7

C.(-00,--)u(2，+0°)D.(一十5)

5.若7"+盤+[7吁1+…+或工7+讖+1是9的倍數(shù)，則自然數(shù)〃為()

A.4的倍數(shù)B.3的倍數(shù)C.奇數(shù)D.偶數(shù)

6.現(xiàn)將0-9十個數(shù)字填入下方的金字塔中，要求每個數(shù)字都使用一次，第一行的數(shù)字中最

大的數(shù)字為a,第二行的數(shù)字中最大的數(shù)字為b,第三行的數(shù)字中最大的數(shù)字為c,第四行的

數(shù)字中最大的數(shù)字為d,則滿足。<6<?<￡/的填法的概率為()

A，ioB17Dl

7.在矩形ABCD中，已知4B=24。=4,E是4B的中點，將△4DE沿直線0E翻折成△&DE,

連接41c.當二面角4-DE-。的平面角的大小為60。時，則三棱錐&-CDE外接球的表面積

為()

A.罟B.187rC.19兀D.罟

2

8.已知a>0且a豐1,若集合4=(x\2x<logax｝,B=(x\y=Inx+ln(1-x)｝,且力些B,

則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)U(l,e』B.(0,1)u[溫+8)

C.(i,l)u(l,向D.(l,l)u[ei+8)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.設a>0,b>0,滿足3a+2b=1,下列說法正確的是()

A.ab的最大值為5B.乙+〈的最小值為8AA3

24ab

C.+匕2的最小值為表D.9a2+4/的最小值為1

10.己知等差數(shù)列｛an｝的前般項和為%,滿足的+a2+。3=21,S5=25,下列說法正確的

是()

2

A.an=2n+3B.Sn=—n+lOn

C.5｝的最大值為S5D.｛」一｝的前10項和為一黑

11.已知△ABC的內(nèi)角4B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知b=4,c=6,△ABC的面

積S滿足(b+c)2=(4C+8)S+a2,點。為AABC的外心，滿足m=4而+〃而，則下列

結論正確的是()

A.S=6B.CB-A0=10C.|而|=號D.4=2-亨

12.己知P(Xi，y])，<2(%2，、2)是橢圓[+竽=1上兩個不同點，且滿足/刀2+9y，2=-2,

則下列說法正確的是（）

-

A.|2%i+3yl—3|+\2X2+3y2—31的最大值為6+2A/5

B.|2Xi+3yl-3|+\2x2+3y2-3|的最小值為3—屋

C.|%i—3yx+5|+|x2-3y2+5］的最大值為2V"$1°

D.|%1—3yl+5|+|x2—3y2+5］的最小值為10—2V-2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知點M為拋物線y2=8x上的動點，點N為圓M+⑶-4/=5上的動點，則點M到y(tǒng)軸

的距離與點M到點N的距離之和最小值為.

14.己知/(%)為R上的偶函數(shù)，函數(shù)/i(x)=x2/(x)在［0,+8)上單調遞增，則不等式(1一

x)2/(l-x)-(3+x)2/(3+x)>0的解集為______.

15.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，要求任意兩個偶數(shù)數(shù)字之

間至少有一個奇數(shù)數(shù)字，則符合要求的六位數(shù)的個數(shù)有個

16.若關于x的不等式婚(2卜-乃<尢+3對任意的久6(0,+8)恒成立，則整數(shù)k的最大值為

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

23

在數(shù)列5｝中，的=：,(3n+9)-(n4-l)an+i=(n+2)an.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)設的前n項和為右，證明：S"<3-管.

18.(本小題12.0分)

己知A/IBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且2bcos4—a=2c.

(1)求角B；

(2)設乙4BC的角平分線BD交AC于點D,若BD=2,求△ABC的面積的最小值.

19.(本小題12.0分)

如圖所示，在三棱錐4一BCO中，滿足BC=CD=3/3,點M在CO上，且CM=5MC,△4B0

為邊長為6的等邊三角形，E為BD的中點，尸為AE的三等分點，且24F=FE.

⑴求證：FM〃面4BC；

(2)若二面角4-BD-C的平面角的大小為與，求直線與面ABD所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

為提高學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數(shù)學建?！边x修課，為了解學生對“數(shù)

學建?！钡呐d趣度是否與性別有關，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問卷調查，其中認

為感興趣的人數(shù)占70%.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認為學生

(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二次訪談,

記選出高三女生的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C以2x±y/~5y=0為漸近線，其上焦點F坐標為(0,3).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)不平行于坐標軸的直線，過戶與雙曲線C交于P,Q兩點，PQ的中垂線交y軸于點7,問^是

否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

設/'(x)=3。eR)-

(1)求/(X)的單調性，并求/(X)在％=2處的切線方程；

(2)若f(ex)?/(*)<k?(，nx+1)在xe(1,+8)上恒成立,求k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???集合4=[x\x2—4%+3<0]=(x\l<%<3},

B={y\y=6尸2-1}={y\y>2),

則ACB={x|2<x<3].

故選：A.

求出集合力，B,利用交集定義能求出anB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：可設z=bi(bK0),

3+z_3+bi_(3+瓦)(l-i)_3+b,-

1+i-1+i-(l+t)(l-i)~2+2⑵頭數(shù)'

故b—3=0,解得b=3,即z的虛部為3.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結合純虛數(shù)、實數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)、實數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：函數(shù)/'(久)=7~~3sin(a)x+(p')—cos(cox+(p)(to>0,\cp\<兀)，

即/(%)=2sin(a>x+<p—

則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)o9Y=上兀+*fcGZ,

即9=/ot+竽，keZ,

當k=-1時，(p=

故“函數(shù)/(x)是偶函數(shù)”是“0=-針的必要不充分條件.

故選:B.

求出函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的充要條件，進而求得結論.

本題考查了三角函數(shù)的性質、充分必要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為圓的方程為(x—a)2+(y-3)2=20,所以圓心為(a,3),半徑為2，石，

又圓(x-a)2+(y-3產(chǎn)=20上有四個點到直線2x-y+1=0的距離為，虧，

所以圓心到直線2x-y+1=0的距離d<

所以年仔I<即12a—2|<5,得到一5<a<

故選：D.

將圓Q-a/+⑶-3)2=20上有四個點到直線2x-y+l=0的距離為門，轉化為圓心到直線

的距離d<門，從而利用點到直線的距離公式求出結果.

本題考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：當幾=1時，7n+墨+1771-1+…++/+1=7+2=9,

是9的倍數(shù)，滿足題意，故排除

故選：C.

根據(jù)二項式定理的性質，利用整除的性質即可得到結論.

本題主要考查多項式的整除問題，利用特殊值法是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：方法一：由題可知，

第四行：d=9,可選位置有4個，其余位置任取3個數(shù)，共有盤黑種情況：

第三行：取剩下6個數(shù)中最大的數(shù)為c,可選位置有3個，其余位置任取2個數(shù)，共有廢用種情況;

第二行：取剩下3個數(shù)中最大的數(shù)為人可選位置有2個，其余位置任取1個數(shù)，共有6的種情況;

第一行：最后1個數(shù)作為a,

所有滿足a<b<c<d的填法共有盤尚能度?為種情況，位置不限的情況共有48種，

故滿足a<b<c<d填法的概率為：P=或周情河=4；

410

方法二：

最大的數(shù)d在第4行的概率P4=4=|，

在前3行中，最大的數(shù)c在第3行的概率P3=|=5

在前2行中，最大的數(shù)b在第2行的概率P2=|,

7177

則aVb<cVd的概率P=P4xP3xP2=1xAx9=捻.

故選：c.

方法一：先填第四行：取這10個數(shù)中最大數(shù)作為d,剩余位置任取3個數(shù)填入：填第三行：取剩余

6個數(shù)中最大數(shù)作為c,剩余位置任取2個數(shù)填入；填第二行：取剩下3個數(shù)中最大數(shù)作為b,剩余

位置任取1個數(shù)，最后剩下的1個數(shù)作為a,即可求出所有滿足要求的情況，根據(jù)古典概型公式計

算即可；

方法二：分別討論最大的數(shù)在第4行，前3行中最大的數(shù)在第3行，前2行中最大的數(shù)在第2行的概

率，然后由相互獨立事件的概率乘法公式可得.

本題主要考查了排列組合知識，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：設CD,DE的中點分別為F,G,三棱錐兒-CDE外接球的球心為0,

易知DEICE,DALA^E,DAX=ArE=2,F0_L平面DEC,

GO_L平面&DE,

易得&G_LOE,1OE,N&GF=60。，NOGF=30。，

222

???&G=FG=y/~2,GO=亨，Ar0=ArG+G0=2+|=y,

???三棱錐4-COE外接球的表面積為4兀.力。=等.

故選:A.

設CD,DE的中點分別為F,G,三棱錐4-CDE外接球的球心為0,可得G。，平面4DE,進而可

得NOGF=30。，可得4。2=4G2+GM,可求三棱錐&-CDE外接球的表面積.

本題考查空間幾何體的外接球的問題，考查運算求解能力，屬中檔題.

8.【答案】B

2

【解析】解：依題意，B={x|0<x<^},A={x\2x<logax},且A麋B,

①當0Va<1時，作出y=2/和y=log?！返拇笾聢D象，

：■VdV-f解得0VQV不

2

②當Q>1時，設f(%)=2x-logax,

當0<%W1.時，loga%<0,則/(%)>0恒成立，4=0,滿足A曝B,

于是當時，AB,當且僅當A=0,即不等式/(%)N0對VxW(0,+8)恒成立,

八X)=4X-焉,由八X)=。得,X=1高當。<X"J高時,f(x)<0；當X>]今時,

f'(x)>0,

???/(X)在(0,上單調遞減,

11.1_1ln(4Zna)

-=f而一/°9。而=而+FT'

???備+嚅？2BPl+ln(4Zna)>01.：4lna>^,...a>

???當a2獲時，/(尤)NO恒成立，4=。，滿足4呈B,

綜上得，a的取值范圍為：(0二)u[e而,+8).

4/

故選:B.

可求出B={x|0<xV討論a：0<。<1時，可畫出y=2/和y=log?！返膱D象，根據(jù)圖象可

得出2x(1)2>Eoga：,從而可解出。的范圍;a>1時，可設/(x)=2/一log?！?可看出當0V%W1

時,/(%)>0恒成立,4=。，從而得出Q>1時，要滿足4睡B,只需A=0,即對任意的x6(0,+8),

/(X)20恒成立.然后通過導數(shù)可求出f(x)的最小值，然后讓最小值滿足/+等㈣N0,然后

解出a的范圍即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域和單調性，借助函數(shù)圖象解決函數(shù)問題的方法，對數(shù)的運算性質，

對數(shù)的換底公式，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最值的方法，基本初等函數(shù)的求導公式，考查了計算能力，

屬于難題.

9.【答案】AC

【解析】解：因為a>0,b>0,滿足1=3a+2b22V6abt當且僅當3a=2b=；,即a=g

Zo

b時取等號，

4

故abW白，人正確；

24

1+1=<^+1)(3a+2b)=8+y+y>8+=8+4口,當且僅當y=與且3a+2b=1

時取等號，8錯誤；

由題意得2b=1-3a>0,

1

故0<a<W，

所以a2+b2=a2+￡2=fa2-U+；，

4424

根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，當。=得時，函數(shù)取得最小值表，C正確；

11

因為四筍)24生|竺!，當且僅當3a2=即a=&=

6-4-

解得9a2+4爐日，O錯誤.

故選：AC.

由已知結合基本不等式及二次函數(shù)的性質分別檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解:等差數(shù)列｛Qn｝中，。1+。2+的=21，所以3a2=21,解得心=7,

又S5=5a3=25,所以%=5,

所以公差d=a3-a2=-2,

所以的=9,an=9-2X（九一1）=—2n+11,選項A錯誤；

前n項和為%=9n+迎￥芻=一/12+10人選項B正確；

令即=-2n+11=0,得〃=:，所以。5>0，。6<0，設幾｝的最大值是S5，選項C正確；

因為鼠LT6一所以｛鼠白二｝的前10項和為5弓一力=一卜<一擊）=一意選項

an^n+laanan+lan^n+l?乙V-11V9

。正確.

故選：BCD.

根據(jù)等差數(shù)列｛冊｝的通項公式和前幾項和公式，求出即和治,再判斷選項中的命題是否正確.

本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式應用問題，是基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：???(b+c)2=+8)S+Q2,且b=4,c=6,

:.Z?24-c2—a24-2bc=(4AT-3+8)?1bcsinA,

???2bccosA+2bc=(2V-3+4)bcsinA^

???48cosA4-48=48(V-3+2)sinA,

???cosA4-1=(V-3+2)sirh4,

???cos2/l+2cosA4-1=(74-4V-3)(1—cos2/l)，解得cosA==或-1(舍去)，???sinA=

???S=gbcsinA=；x4x6xg=6,A正確；

如圖，。為△ABC的外心，則:

A

11

--的

2同前2

--

1-同=

1I

荏|2-：|市|2=92一夕2=18-8=10,B正確;

------->一，■>--->2....,，，，，?

—?—?—?AO,AB=XAB4-uAB,AC—?—?—?—>__>2

-AO=XAB+fiAC>二"_一一，一2，且n80T8=18,40?AC=8，AB=

AO-AC=AAB-AC+fiAC

___>2___,___?

36,AC=16,48-AC=bccosA=12y/~~39

f36A4-12y/~3u=18,,/^-/B（6A4-2y/-3u=3.2V_33V~3八-「市

???《廣，"，化簡得《廣，外，解A7得ZHa=2-寺，〃=2—『，。正確；

112門；1+16〃=8+4^=23M2

根據(jù)余弦定理，a2=匕2+?2一2bccosA=16+36-2x4x6x^=52-240=4（13-

6V-3），a=2,13-6日，

根據(jù)正弦定理，急=里耳邁=2R=2|萬|,...|衲=2,13-6廳C錯誤.

2

故選：ABD.

根據(jù)（b+c）2=（4門+8）S+a2及b=4,c=6及余弦定理可得出cosA+1=（O+2）sinA，

兩邊平方即可求出cosA=華，sinA=i然后根據(jù)三角形面積公式可求出S=6,A正確；根據(jù)

LN

通?刀=荏?而-而?而及向量數(shù)量積的計算公式可求出瓦?布的值，從而判斷B的正誤；由

'--->---?---?2---?--->

而=2荏+〃而可得出竺竺甘"，岑，然后可得出關于九“的方程組，解出a即

AO-AC=AAB-AC+I1AC

可判斷。的正誤；根據(jù)余弦定理可求出a,根據(jù)正弦定理可求出|而|的值，從而判斷C的正誤.

本題考查了正弦定理和余弦定理，向量數(shù)量積的運算及計算公式，三角形外心的定義，考查了計

算能力，屬于難題.

12.【答案】AD

【解析】解：己知4（右,yi）,8（肛,丫2）是橢圓［+竽=1上兩個不同點，

則置+組=1，g+型1,設x=m,3y=n,C（m1,n1'）,D（m2,n2））。為坐標原點，

4444

則反=（瓶1，n1），0D=（7712,九2），

:.Tn：+九：=4,m2+=4且+m2n2=-2,

??.C、。兩點均在圓血2+/=4的圓上，且4COD=120。，

\CD\=2O>

根據(jù)點到直線的距離公式，知口X（四常型+12起常二31）=cX（生喏且+

12m2+n2-3|

~E-

為C、。兩點到直線2%+y—3=0的距離￡、為之和的V5倍.

設CD的中點為E,E到直線2%+y—3=0的距離6/3,

則dI+d2=2d3<2（幽+為=2+1，

的最大值為/虧（

|2/+3yl-3|+\2X2+3y2-3|x2+*）=6+2<5,

di+d2=2d3>2（一|0E|+合）=-2+1，

|2與+3、1一3|+|2次+3丫2-3|的最小值為/虧*（-2+捻）=6-2/虧，故A正確，8錯誤；

同理可得C錯誤，。正確.

故選：AD.

設刀=m,3y=n,C（m^n^,D（m2,n2）,。為坐標原點，則元=（恤,%）,0D=（m2,n2）>進

一步得到C、。兩點均在圓m2+必=4的圓上，S.ACOD=120°,\CD\=2>f3,再根據(jù)點到直線

的距離公式得到HX產(chǎn)1月-3|+|2外地2-31）的最大值與最小值可判斷AB,同理可判斷CD.

本題考查了直線與圓的位置關系及點到直線的距離，考查了轉化思想和計算能力，屬難題.

當且僅當4、M、N、F共線時取等號，

則點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為仁-2.

故答案為：V5-2.

由拋物線的定義，結合圓與拋物線的位置關系求解即可.

本題考查了拋物線的定義，重點考查了圓與拋物線的位置關系，屬中檔題.

14.【答案】(—8,—1)

【解析】解：根據(jù)題意，/(乃為R上的偶函數(shù)，

對于函數(shù)h。)=%2/(乃，其定義域為R,

有八(-X)=X2/W=以彷，則無0)也是R上的偶函數(shù)，

又由九(X)=X2/(%)在［0,+8)上單調遞增,則(1-x)2/(l-X)-(3+x)2/(3+X)>0Qh(l-

x)>h(3+x),

則有|1-X|>|3+x|,解可得：x<-l,即不等式的解集為(-8,-1).

故答案為:(-8,-1).

根據(jù)題意，分析可得h(x)也是R上的偶函數(shù)，結合八。)的單調性可得原不等式等價于|1-可>|3+

x|,解可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質以及應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題.

15.【答案】108

【解析】解：滿足要求的六位數(shù)按照偶數(shù)數(shù)字所在的位置可以分為以下幾類：

第一類：0,2,4排在從左至右的第一位，第三位，第五位，

先排第一位有2種排法，再排第三位和第五位有鹿種排法，再將奇數(shù)排在第二，四，六位有心種

排法，

所以第一類包含的六位數(shù)的個數(shù)為2國用=24；

第二類：0,2,4排在從左至右的第一位，第三位，第六位，

先排第一位有2種排法，再排第三位和第六位有掰種排法，再將奇數(shù)排在第二，四，五位有房種

排法，

所以第二類包含的六位數(shù)的個數(shù)為2掰“=24；

第三類：0,2,4排在從左至右的第一位，第四位，第六位，

先排第一位有2種排法，再排第四位和第六位有屬種排法，再將奇數(shù)排在第二，三，五位有房種

排法，

所以第三類包含的六位數(shù)的個數(shù)為2國題=24；

第四類：0,2,4排在從左至右的第二位，第四位，第六位，

先排偶數(shù)數(shù)字有質種排法，再將奇數(shù)排在第一，三，五位有“種排法，

所以第四類包含的六位數(shù)的個數(shù)為“心=36；

由分類加法計數(shù)原理可得滿足條件的六位共有24+24+24+36=108個.

故答案為：108.

根據(jù)偶數(shù)所在位置將滿足要求的6位數(shù)分為幾類，利用排列知識和分步乘法計數(shù)原理求出各類的元

素個數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理求滿足要求的所有六位數(shù)的個數(shù)即可.

本題考查排列組合的應用，屬于基礎題.

16.【答案】1

【解析】解：因為e/2k-%)<%+3對任意的xe(0,+8)恒成立，

等價于2k<+x對于任意x6(0,+8)恒成立，令/'(%)=巧合+x,xE(0,+8),則((久)=1-

x+2_ex-x-2

~ex~-―-'

令9(x)=e”一%—2,x6(0,4-oo),則/(%)=e*—1>0,

所以g(x)=ex-x-2在%G(0,+8)上單調遞增,

又因為g(l)=e—3<0,g(2)=e2—4>0,

x

所以g(X)在(1,2)上有且僅有一個根%o，滿足gQo)=e°-x0-2=0,即靖。=3+2,

當％6(0,&)時，g(%)V0,即((%)V0,函數(shù)/"CO單調遞減，

%七(的,+8)時,g(x)>0,即f'Q)>0,函數(shù)/(%)單調遞增,

所以f(%)min=/(%o)=+%0=+%0=%0++】=%0+2+一1，

由對勾函數(shù)可知3+；-1<&+2+4-1<4+)-1,

3XQ+Z4

嗎</(xo)<*

又因為2/cVf(&),即AV挈，Z<A￡O)<^,kEZ,

所以kW1,

故答案為：1.

參變分離將恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，然后利用導數(shù)求最值可得.

本題考查了轉化思想，利用導數(shù)解決恒成立問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴由刖+9)飛+1)2限】=5+2)3即，*鬻滬4需耨

liII乙)I>cIXI

又察=所以｛黑篝｝是以到首項，以3為公比的等比數(shù)列，

所以｛奔="白尸=京故”儡京

⑵證明：由⑴可知0n=年冊=嘉.竽〈竽，

所以Sn=+。2+…+%1<條+.+…+^^，

盡T2,3n+1麗172,3,,n+1

令”=式+旨+…+鏟，則=笆+]+…+^TT，

兩式相減得那=|+&+*+…+￡)-(n+1)-^7=g+§]]—(n+1)?

nn-7=工+工-工,2__(+i).1=」一2w+5._j_

Nnnnn，

33十223⑺十?3n+l663

所以74=[一篝，

所以治<?等

【解析】⑴由(3“+9)?+1)2%】=5+2)3即可得需滬=g?鬻從而管等｝是

以3為首項，以之為公比的等比數(shù)列，進一步求出，懸的通項公式即可得到｛即｝的通項公式；

(2)由⑴可知與="%=嚕?審<手，進一步令北=彖+1+…+竽，再利用錯位相減

QHTZ)'J?1十Z5S33°

求和法求出”即可證明Sn=01+(12+…+41<3—?.

本題考查數(shù)列的遞推公式，錯位相減求和法，涉及不等式放縮法的運用，考查學生邏輯推理與數(shù)

學運算的能力，屬于較難題.

18.【答案】解：(l)2bcosA-a=2c,由余弦定理可得乃.也正包一Q=2c，

2cb

整理可得：c2+a2-b2=-ac,由余弦定理可得：c24-a2-h2=2accosB,

可得cosB=——>而8G(0,7T),

所以B—|TT；

⑵由⑴及題意可得乙4B。=ACBD=p

SAABC=\AB-BC?sin|?r=^BD?(AB+BC)?sin*而BD=2,

所以4B-BC=2Q4B+BC)24,48?BC,可得4B-BC216,當且僅當4B=BC時取等號,

所以SMBC=?BC?sin)*x16x?=4門,

所以△4BC的面積的最小值為4/耳.

【解析】(1)由余弦定理可得cosB的值，再由B角的范圍，可得B角的大小；

(2)由等面積法及均值不等式，可得4B-BC的最小值，進而求出三角形面積的最小值.

本題考查余弦定理及等面積法求三角形的面積和均值不等式的應用，屬于基礎題.

19.【答案】(1)證明：在BE上取一點N,使得BN=3NE,連接FN,

NM,

因為8。=6,所以BN=為。=1,NE=2,ED=3,且鋁=；，

6FE2

所以黑=喋=:，所以FN〃/W,

NEFE2

因為FNC平面ABC,ABu平面4BC,所以FN〃平面4BC,

因為零=器=4所以NW/%

因為NM仁平面ABC,BCu平面4BC,所以NM//平面4BC,

又因為FNCNM=N,所以平面FNM〃平面ZBC,

又因為FMu平面FNM,所以FM〃平面ABC.

(2)解：因為4E1BD,CE1BD,所以二面角4一BD-C的平面角為乙4EC=手

又因為4EnCE=E,所以BD1平面AEC,

因為BDu平面ABD,所以平面ZBDJ_平面4EC,

因為平面ABDn平面ZEC=AE,過點C作CH1AE,

所以CH1平面48D,所以CH=CEsing=?CE，

因為CE=J(3<3)2-32=所以CH=?x3/7=亨,

即點C到平面4BD的距離為亨，

又因為MD=WCD，所以點M到平面ABD的距離為gx率=卑.

6624

計算3"盛=彎=冬=有

在ADME中，0M=亨，DE=3,

由余弦定理得E"2=32+（亨）2—2X3X亨x強=爭

所以EM=等，

所以直線EM與平面4BD所成角的正弦值為sin。=胃=彳泮.

、/1UZ

-2~

【解析】（1）在BE上取一點N,使得8N=：NE,連接FN,NM,由喘=震=孑正明尸N〃AB,得

出FN〃平面ABC,由零=需=g證明NM〃BC,得出NM〃平面ABC,證明平面FNM〃平面ABC,

得出FM〃平面ABC.

（2）由題意知二面角A-BD-C的平面角為乙4EC,過點C作CH1AE,得CH_L平面4BD,求出CE、

CH,得出點C到平面48。的距離，由此求出點M到平面480的距離，△DME中利用余弦定理求得

EM,再計算直線EM與平面2BD所成角的正弦值.

本題考查了空間中的平行關系應用問題，也考查了線面角的計算問題，是中檔題.

20.【答案】解：（1）列聯(lián)表如下:

感興趣不感興趣合計

方4:12416

女生9514

合計21930

30x(12x5-4x9)2

K2*0.4082<2.072,

16x14x21x9

所以沒有85%的把握認為學生對“數(shù)學建模”選修課的興趣度與性別有關;

(2)由題意可知X的取值可能為0,1,2,3,

則P(x=0)=|=^

p(y_1\_以、_I。

p(v__5

。5-2)一可一正'

P(X=3)/=會

故X的分布列為:

X0123

51051

P

42211421

數(shù)學期望E(X)=0X^+lX^+2X^+3Xy-=i

T,乙JLJLi,4JLO

【解析】(1)由題可得列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表可得小進而即得；

(2)由題可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，進而可得分布列，再利用期望公式即

得.

本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望，考查運算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)雙曲線C以2x±1%=0為漸近線,

則可設雙曲線方程為(2x+Cy)(2x-V-5y)=A，

—，

54

??,上焦點/坐標為(0,3),