邊際誤差母體平均數(shù)區(qū)間估計所需的樣本數(shù)課件

第8章區(qū)間估計統(tǒng)計實例FoodLion於1957年成立時的名 稱是FoodTown，目前已是美國 最大的連鎖超市之一，在美國的 東南部11州共有1,200家分店。FoodLion建立了七類存貨組合的

LIFO指標(biāo)，包括雜貨、紙類/家用品、寵物用品、美容保健產(chǎn)品、乳品、香菸/菸草，以及啤酒/酒。最近一年，美容保健產(chǎn)品類的LIFO指標(biāo)是1.015，以95%的信賴水準(zhǔn)，F(xiàn)oodLion求算樣本估計值的邊際誤差是0.006。母體的LlFO指標(biāo)的95%區(qū)間估計值是1.009到1.021。此種準(zhǔn)確度是很理想的。第8章區(qū)間估計

第290頁2第8章區(qū)間估計8.1母體平均數(shù)：σ已知8.2母體平均數(shù)：σ未知8.3樣本大小的決定8.4母體比例第8章區(qū)間估計

第289頁3點估計量的值不會恰好等於母體參數(shù)值。區(qū)間估計值(intervalestimate)

通常是由點估計值加或減某個值求得，我們稱這個加減值是邊際誤差

(marginoferror)。區(qū)間估計值的一般形式是：點估計值

邊際誤差區(qū)間估計值可以讓我們瞭解：點估計值與母體參數(shù)值的接近程度。邊際誤差與區(qū)間估計值第8章區(qū)間估計

第290頁4母體平均數(shù)的區(qū)間估計值的通式如下：

邊際誤差與區(qū)間估計值第8章區(qū)間估計

第291頁58.1母體平均數(shù)：σ已知為了求算母體平均數(shù)的區(qū)間估計值，必須知道母體的標(biāo)準(zhǔn)差σ或樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s以計算邊際誤差。σ很少是已知的數(shù)值，但歷史資料或其他某些可用的訊息，讓我們得以在抽樣前取得母體標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)良估計值。在此情況下，可視母體標(biāo)準(zhǔn)差已知，我們稱此為σ已知(σknown)

的情況。第8章區(qū)間估計

第291頁6母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ已知樣本平均數(shù)的抽樣誤差等於或少於的機率為1-α。

α/2α

/2所有值的1-α的抽樣分配第8章區(qū)間估計7

α

/2α

/2的抽樣分配[--------------------------------------------------][--------------------------------------------------][--------------------------------------------------]此區(qū)間不包含μintervalincludesm此區(qū)間包含μ母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ已知所有值的1-α

第8章區(qū)間估計8母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ已知母體平均數(shù)的區(qū)間估計值：σ已知 其中： 為樣本平均數(shù)

1-α為信賴係數(shù)

zα/2

為右尾面積α/2的標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的z

值

σ為母體標(biāo)準(zhǔn)差

n為樣本大小第8章區(qū)間估計

第293頁9邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)第7章CJW例子中的歷史資料顯示，滿意度分數(shù)的母體是標(biāo)準(zhǔn)差σ＝20

的常態(tài)分配。第8章區(qū)間估計

第292頁圖8.110邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表，我們可以發(fā)現(xiàn)有95%的常態(tài)分配隨機變數(shù)的值會落在離平均數(shù)±1.96個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。因為

的抽樣分配是常態(tài)分配，因此，有95%的

值必須落在μ±1.96σ

內(nèi)。洛依德公司的例子中，

的抽樣分配是常態(tài)分配，標(biāo)準(zhǔn)誤σ＝2。因為±1.96σ

＝1.96(2)＝3.92。我們的結(jié)論是：樣本大小為n＝100而得到的樣本平均數(shù)會有95%落在母體平均數(shù)±3.92的範(fàn)圍內(nèi)(見圖8.2)。第8章區(qū)間估計

第291-292頁11邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)第8章區(qū)間估計

第292頁圖8.212邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)以洛依德公司為例，如果以3.92為邊際誤差，可以用

±3.92來計算μ的區(qū)間估計值。為了解釋區(qū)間估計值的意義，我們先假定選取三個不同的隨機樣本，每個樣本都有100名CJW的顧客，第一個樣本的樣本平均數(shù)是圖8.3的。由圖8.3可看出，自

加減3.92得到的區(qū)間會涵蓋母體平均數(shù)μ。如果隨機樣本得到的

如圖8.3所示，可以看到

顯然不等於，但是自

加減3.92得到的區(qū)間仍會涵蓋母體平均數(shù)。然而，若第三個樣本平均數(shù)是圖8.3的

，情況又是如何？我們可看出此情況下的

±3.92而形成的區(qū)間並未涵蓋母體平均數(shù)μ。因為

落在抽樣分配的右尾，而且距離μ超過3.92。第8章區(qū)間估計

第292頁13邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)圖8.3陰影區(qū)內(nèi)的任何樣本平均數(shù)

所建立的區(qū)間，都會包含母體平均數(shù)μ。由於所有可能的樣本平均數(shù)有95%都落在陰影區(qū)，所以將樣本平均數(shù)

加或減3.92所形成的所有區(qū)間，有95%會包含母體平均數(shù)μ。第8章區(qū)間估計

第292頁14邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)第8章區(qū)間估計

第293頁圖8.315邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)假定最近數(shù)週內(nèi)，洛依德公司的品管團隊調(diào)查100位顧客，得到的樣本平均滿意度分數(shù)是＝82，以±3.92計算區(qū)間估計值，可以得到82±3.92。因此，以最近一個月的樣本資料得到的區(qū)間估計值是82－3.92＝78.08到82＋3.92＝85.92。由於以

±3.92建立的各種區(qū)間估計值中，有95%的區(qū)間估計值會包含母體平均數(shù)，因此，我們可以說有95%的信心，78.08到85.92的區(qū)間會包含母體平均數(shù)μ。我們也可以說，這個區(qū)間是在95%的信賴水準(zhǔn)(confidencelevel)

下建立的。其中，0.95稱為信賴係數(shù)(confidencecoefficient)，區(qū)間78.08到85.92則稱為95%信賴區(qū)間(confidenceinterval)。第8章區(qū)間估計

第293頁16邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)我們運用式(8.1)來建立CJW的95%信賴區(qū)間。95%信賴區(qū)間，其信賴係數(shù)(1－α)＝0.95，因此，α＝0.05。利用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的機率表，右尾面積是α/2＝0.05/2＝0.025，z0.025＝1.96。洛依德公司的樣本平均數(shù)是＝82，σ=20，樣本大小n=100。我們可以得到

因此，利用式(8.1)，邊際誤差是3.92，95%的信賴區(qū)間是82－3.92＝78.08到82＋3.92＝85.92。第8章區(qū)間估計

第293-294頁17邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)雖然95%的信賴水準(zhǔn)很常使用，但其他如90%及99%的信賴水準(zhǔn)也很常見。最常見的信賴水準(zhǔn)之zα/2值整理在表8.1。第8章區(qū)間估計

第294頁表8.118邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)使用這些值及式(8.1)，CJW問題的90%信賴區(qū)間是因此，在90%的信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差是3.29，信賴區(qū)間是82－3.29＝78.71到82＋3.29＝85.29。同樣地，99%的信賴區(qū)間是

因此，在99%的信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差是5.15，信賴區(qū)間是82－5.15＝76.85到85＋5.15＝87.15。比較90%,95%及99%三種信賴水準(zhǔn)，我們可以看到，信賴水準(zhǔn)提高時，信賴區(qū)間的寬度也會增加。第8章區(qū)間估計

第294頁19實際樣本數(shù)大部分的實際應(yīng)用中，以式(8.1)建立母體平均數(shù)的信賴區(qū)間時，樣本大小n≥30就已足夠。如果母體不是常態(tài)分配，但大致上對稱，樣本大小至少為15，也可以利用式(8.1)得到良好的近似信賴區(qū)間。邊際誤差與區(qū)間估計：σ已知(實例)樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態(tài)時，才能使用式(8.1)。第8章區(qū)間估計

第294頁208.2母體平均數(shù)：σ未知如果不能在抽樣前假定母體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，就要以樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計母體標(biāo)準(zhǔn)差。此種情況稱為σ

未知(σ

unknown)

的情況。若以s來估計σ，邊際誤差及母體平均數(shù)的區(qū)間估計值是根據(jù)稱為t分配(tdistribution)

的機率分配求算而得。第8章區(qū)間估計

第296頁21t分配是由一群類似的機率分配所組成的。任一t分配都有其特定的參數(shù)，即所謂的自由度(degreesoffreedom)?？赡苡凶杂啥葹?、自由度為2、自由度為3等等不同的t分配。第8章區(qū)間估計

第296頁t

分配22當(dāng)自由度增加時，t分配和標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的差距將愈來愈小，圖8.4顯示t分配在自由度10和20時與標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配圖的比較。當(dāng)自由度較高時，t分配較不分散，且更接近標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)機率分配。另外也請注意，t分配的平均數(shù)為0。t分配第8章區(qū)間估計

第296頁23t分配標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配t

分配

(自由度20)t

分配(自由度10)0z,t第8章區(qū)間估計

第297頁圖8.424t分配我們將以t的右下標(biāo)表示t分配右尾的機率，正如z0.025表示標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配右尾面積為0.025所對應(yīng)的值一樣，t0.025代表t分配右尾面積為0.025所對應(yīng)的t值。通常，我們以tα/2表示t分配右尾面積為α/2時所對應(yīng)的t值(見圖8.5)。第8章區(qū)間估計

第297頁25t分配第8章區(qū)間估計

第297頁圖8.526t分配附錄B的表2為t分配表，表8.2為t分配表的一部分，表中的每一列對應(yīng)到特定自由度的t分配。當(dāng)t分配的自由度為9時，則t0.025＝2.262；同理，t分配的自由度是60時，t0.025＝2.000。當(dāng)自由度繼續(xù)地增加，則t0.025愈逼近z0.025＝1.96。T分配表中自由度為無限大(∞)的對應(yīng)欄位中可發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配的z

值。假如自由度大於100，就可用自由度無限大的t值來近似。自由度超過100的t分配，標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)z

值是很好的近似值。第8章區(qū)間估計

第297頁27標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)z

值第8章區(qū)間估計

第298頁表8.2t分配28t分配第8章區(qū)間估計

第298頁表8.229t分配第8章區(qū)間估計

第298頁表8.230t分配第8章區(qū)間估計

第298頁表8.231母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知區(qū)間估計 其中： 1-

α=信賴係數(shù) tα/2=

自由度為n-1，而右尾面積為α/2 所對應(yīng)的t值 s=樣本標(biāo)準(zhǔn)差第8章區(qū)間估計

第299頁32母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知(實例)某個研究調(diào)查了美國家庭的信用卡帳戶餘額，以瞭解信用卡債務(wù)的情形。研究中共有70個家庭的信用卡帳戶資料的餘額，如表8.3。因為沒有任何歷史資料，我們並不知道信用卡帳戶餘額的母體標(biāo)準(zhǔn)差，因此，必須利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s

來估計母體標(biāo)準(zhǔn)差σ。接下來，我們要建立母體平均數(shù)的95%信賴區(qū)間。第8章區(qū)間估計

第299頁33母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知(實例)第8章區(qū)間估計

第299頁表8.334母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知(實例)首先，利用表8.3的資料算出樣本平均數(shù)＝$9,312，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s＝$4,007。信賴水準(zhǔn)是95%，樣本大小是70，自由度為n－1＝69，查表8.2可得適當(dāng)?shù)膖0.025值。我們可在自由度為69的列找到右尾是0.025時的t0.025

=

1.995。

因此，母體平均數(shù)的點估計值是$9,312，邊際誤差是$955，95%信賴區(qū)間是9,312－955＝$8,357到9,312＋955＝$10,267。第8章區(qū)間估計

第299-300頁35母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知如果母體是常態(tài)分配，式(8.2)的區(qū)間估計公式可以適用於任何大小的樣本，並產(chǎn)生確切的區(qū)間估計值。如果母體不是常態(tài)分配，則式(8.2)只是區(qū)間估計的近似值。此種情況下，近似值的近似程度則視母體的分配及樣本大小而定。第8章區(qū)間估計

第300頁36母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知大部分的實際應(yīng)用中，以式(8.2)建立母體平均數(shù)的信賴區(qū)間時，樣本大小n≥30就已足夠。但是，如果母體分配有嚴(yán)重的偏態(tài)或是離群值，許多統(tǒng)計學(xué)者會建議最好將樣本大小增加到50或更多。如果母體不是常態(tài)分配，但大致上對稱，樣本大小至少為15，也可以用式(8.2)得到良好的近似信賴區(qū)間。但在樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態(tài)時，才能使用式(8.2)。第8章區(qū)間估計

第300頁37母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

使用小樣本(實例)以Scheer工業(yè)公司訓(xùn)練計畫之評估為例，說明小樣本下之區(qū)間估計的推算過程。Scheer工業(yè)公司的製造經(jīng)理想要利用電腦來輔助訓(xùn)練公司的維修人員，希望經(jīng)由電腦訓(xùn)練可減少訓(xùn)練時間。為了評估這種訓(xùn)練方式，該經(jīng)理希望能夠估計在電腦輔助下的平均訓(xùn)練時間。假設(shè)管理者同意20名員工接受這項新的訓(xùn)練，每一位員工所需的訓(xùn)練天數(shù)如表8.4所示，樣本資料的直方圖如圖8.7所示。第8章區(qū)間估計

第300頁38母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

使用小樣本(實例)第8章區(qū)間估計

第301頁表8.439母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

使用小樣本(實例)第8章區(qū)間估計

第301頁圖8.740母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

使用小樣本(實例)計算出的樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差如下。

查表得知自由度為n－1＝19時，t0.025＝2.093，運用式(8.2)可求得95%信賴區(qū)間的估計值。

因此，母體平均數(shù)之點估計值為51.5天，邊際誤差是3.2天，母體平均數(shù)之95%信賴區(qū)間為51.5－3.2＝48.3天到51.5＋3.2＝54.7天。第8章區(qū)間估計

第301頁41母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

區(qū)間估計程序總整理圖8.8列出兩種情況下的母體區(qū)間估計程序。大部分的實際應(yīng)用中，樣本大小n≥30就已足夠。如果母體是常態(tài)分配或近似常態(tài)，即使樣本大小不到30也可使用。但是σ未知的情況，如果母體有嚴(yán)重的偏態(tài)或是有離群值，樣本大小最好為n≥50。第8章區(qū)間估計

第302頁42母體平均數(shù)的區(qū)間估計：σ未知

區(qū)間估計程序總整理第8章區(qū)間估計

第302頁圖8.843令

E=所要的邊際誤差。

E

值是使用者在特定信賴水準(zhǔn)下願意接受的邊際誤差。8.3樣本大小的決定第8章區(qū)間估計

第305頁44邊際誤差母體平均數(shù)區(qū)間估計所需的樣本數(shù)母體平均數(shù)區(qū)間估計的樣本大小第8章區(qū)間估計

第305-306頁45母體平均數(shù)區(qū)間估計的樣本大小即使σ未知，如果先前已有σ的初始值或計畫值(planningvalue)，仍可使用式

(8.3)。實務(wù)上有下列方式可供選擇：利用前側(cè)實驗獲得的母體標(biāo)準(zhǔn)差作為σ的計畫值。利用前測實驗獲得的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為σ的計畫值。利用判斷或「最佳猜測法」來決定σ值。例如，先估計母體的最大值與最小值，最大值與最小值的差距可作為全距的估計值，再將全距除以4作為標(biāo)準(zhǔn)差的約略估計值，以作為母體σ的計畫值。第8章區(qū)間估計

第306頁46母體平均數(shù)區(qū)間估計的樣本大小(實例)在一個美國租車費用的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，租用中型汽車的平均費用是每天$55。假設(shè)原先執(zhí)行這項調(diào)查的公司想要執(zhí)行另一項新的調(diào)查，以估計現(xiàn)階段在美國租用一輛中型汽車一天所需的費用。在設(shè)計此項新的研究時，計畫主持人特別指定在估計每天租車費的母體平均數(shù)時，必須採用的邊際誤差為$2，信賴水準(zhǔn)則為95%。我們可以瞭解到計畫主持人所指定的邊際誤差E＝2，而95%的信賴水準(zhǔn)表示z0.025＝1.96。第8章區(qū)間估計

第306頁47母體平均數(shù)區(qū)間估計的樣本大小(實例)如此，只需要得到母體標(biāo)準(zhǔn)差σ的計畫值，即可算出符合條件的樣本大小。此時，一位分析師看過先前研究的樣本資料後，得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差為$9.65，將此值當(dāng)作σ的計畫值，可得

如此，此項新的研究至少需要89.43個中型汽車日租金的樣本大小，才能滿足計畫主持人之邊際誤差為$2的要求。在這個例子中，算出的n值有小數(shù)點，我們採無條件進位法，因此，建議的樣本數(shù)是90個中型汽車租金的樣本。第8章區(qū)間估計

第306頁48母體比例p

的區(qū)間估計值的通式是8.4母體比例第8章區(qū)間估計

第308頁49的抽樣分配在計算邊際誤差時扮演關(guān)鍵角色。若np≥5且n(1－p)≥5，則的抽樣分配會近似

常態(tài)分配。母體比例的區(qū)間估計第8章區(qū)間估計

第308頁50母體比例的區(qū)間估計第8章區(qū)間估計

第308頁圖8.951母體比例的區(qū)間估計區(qū)間估計 其中：

1-α是信賴係數(shù)zα/2為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配右尾面積α/2所對應(yīng)的

z

值

是母體比例第8章區(qū)間估計

第309頁52母體比例的區(qū)間估計(實例)為了想瞭解女性高爾夫球員對高爾夫球課程的看法，針對全美900位女性高爾夫球員進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有396位女性高爾夫球員對練習(xí)發(fā)球的次數(shù)感到滿意，如此，對發(fā)球次數(shù)感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例的點估計為396/900＝0.44。第8章區(qū)間估計

第309頁53母體比例的區(qū)間估計(實例)利用式(8.6)及95%的信賴水準(zhǔn)，我們可得

因此，在95%的信賴水準(zhǔn)下，邊際誤差為0.0324且母體比例的區(qū)間估計為0.4076至0.4724之間。此調(diào)查結(jié)果得到的結(jié)論是：我們有95%的信心說，有40.76%至47.24%的女性高爾夫球員對其練習(xí)發(fā)球的次數(shù)感到滿意。第8章區(qū)間估計

第309頁54所需的樣本數(shù)n

的公式如下邊際誤差我們並不能使用上述公式來求算特定邊際誤差下的樣本大小，因為必須在抽樣後才能得知。因此，我們需要的計畫值以便計算所需的樣本大小。以符號p*表示的計畫值。母體比例的區(qū)間估計的樣本大小第8章區(qū)間估計

第309頁55母體比例區(qū)間估計值所需的樣本數(shù) 此計畫值可依下列程序獲得：利用以前來自相同或類似的樣本之樣本比例作為計畫值p*。利用前測實驗選擇適當(dāng)?shù)臉颖荆藰颖颈壤导纯勺鳛橛嫯嬛祊*。利用判斷或「最佳猜測」來決定p