高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：直線的方程（二）-重難點(diǎn)題型精講（教師版）

專題2.5直線的方程（二）-重難點(diǎn)題型精講1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過(guò)定點(diǎn)，則可以利用直線的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).2．兩條直線的位置關(guān)系3．直線系方程具有某一種共同屬性的一簇直線稱為直線系，其方程稱為直線系方程.直線系方程通常只含有一個(gè)獨(dú)立參數(shù)，常見(jiàn)的直線系方程有以下幾類：4．直線方程的實(shí)際應(yīng)用利用直線方程解決實(shí)際問(wèn)題，一般先根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，然后分析直線斜率是否存在，從而能夠?yàn)榻鉀Q問(wèn)題指明方向，避免解決問(wèn)題出現(xiàn)盲目性.【題型1求直線方程】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：根據(jù)所給條件，選擇合適的直線方程形式，進(jìn)行求解即可.(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.【例1】（2022·江西省高一階段練習(xí)（理））經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．x+y?7=0或x?y+1=0 B．x+y?7=0或x?y+1=0或4x?3y=0C．x?y?7=0或x+y+1=0 D．x+y?7=0或x?y+1=0或3x?4y=0【解題思路】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，求出每一種情況的直線方程即可.【解答過(guò)程】①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率k=4?03?0=43②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為xa+ya=1，將點(diǎn)A3,4代入，的3a③當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為xa+y?a=1，將點(diǎn)A3,4代入，的3a綜上所述，直線方程為：4x?3y=0或x+y?7=0或x?y+1=0.故選：B.【變式1-1】（2022·福建·高二階段練習(xí)）過(guò)（1，2），（5，3）的直線方程是（）A．x+4y+7=0 B．x?4y+7=0C．4x+y+7=0 D．4x?y+7=0【解題思路】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)（1．2），（5，3），所以直線方程為y?2x?1=3?2故選：B.【變式1-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P3,?23且傾斜角為135°A．3x?y?53=0 C．x+y?3=0 【解題思路】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出答案.【解答過(guò)程】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為135°，所以直線的斜率k=tan所以直線方程為y+23=?x?故選：D．【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1，則直線l的方程為（

A．y=3x B．y=3x?2 C．【解題思路】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.【解答過(guò)程】由題意知：直線l的斜率為3，則直線l的方程為y=3故選：C.【題型2直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：將已知的方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式、斜截式或截距式方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)方程法：將已知的方程中含有參數(shù)的項(xiàng)放到一起，整理成關(guān)于參數(shù)的方程，若直線過(guò)定點(diǎn)，則其解就是動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【例2】（2021·廣東東莞·高二階段練習(xí)）直線kx?y+1=3k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)【解題思路】直線恒過(guò)定點(diǎn)，把參數(shù)提取公因式kx?3?y+1=0，使【解答過(guò)程】把直線方程整理為kx?3?y+1=0，令x?3=0?y+1=0，故x=3故選：C.【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線(2k?1)x?y?1=0所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．0,12 B．12,0 C．【解題思路】直線化為點(diǎn)斜式，可以看出直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】直線方程可以化為y+1=(2k?1)x，則此直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,?1)，故選：D.【變式2-2】（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線l在x軸上，y軸上的截距的倒數(shù)之和為常數(shù)1k，則該直線必過(guò)定點(diǎn)（

A．0,0 B．1,1 C．k,k D．1【解題思路】設(shè)直線l在x軸上，y軸上的截距分別為a，b，可得直線l的方程為xa+yb=1【解答過(guò)程】設(shè)直線l在x軸上，y軸上的截距分別為a，b，且ab≠0，所以直線l的方程為xa又因?yàn)?a+1所以該直線必過(guò)定點(diǎn)k,k．故選：C．【變式2-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)直線l:x+my?1=0m∈R的說(shuō)法中正確的是（

A．直線l的斜率為?m B．直線l的斜率為?C．直線l過(guò)定點(diǎn)0,1 D．直線l過(guò)定點(diǎn)1,0【解題思路】討論m≠0和m=0兩種情況可得.【解答過(guò)程】直線l:x+my?1=0可化為my=?x?1當(dāng)m≠0時(shí)，直線l的方程可化為y=?1mx?1，其斜率為?當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=1，其斜率不存在，過(guò)點(diǎn)(1,0，所以A，B，C不正確，D正確．故選：D.【題型3求與已知直線垂直的直線方程】【方法點(diǎn)撥】(1)一般地，與直線垂直的直線方程可設(shè)為；過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程可設(shè)為.(2)利用互相垂直的直線的斜率之間的關(guān)系求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程(針對(duì)兩直線斜率均存在且不為零的情況).【例3】（2022·河南·高二階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(4,?2)且與直線3x?4y+6=0垂直的直線方程是（

）A．4x?3y?19=0 B．4x+3y?10=0C．3x?4y?16=0 D．3x+4y?8=0【解題思路】由垂直關(guān)系確定方程斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.【解答過(guò)程】由題設(shè)，與直線3x?4y+6=0垂直的直線斜率為?43，且過(guò)所以y+2=?43(x?4)故選：B.【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(?1,2)且與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y?3=0 D．x?2y+5=0【解題思路】求出與直線x?2y+1=0垂直的直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程.【解答過(guò)程】直線x?2y+1=0的斜率kl=12，因?yàn)閘⊥l'，故l'的斜率k故選：B．【變式3-2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，則BC邊上的高所在直線的方程為（

）．A．3x+2y?3=0 B．2x?y?2=0C．2x?y+1=0 D．2x+y?2=0【解題思路】根據(jù)B,C所在直線的斜率求得高線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)锽(2,1)，C(0,2)，故可得B,C所在直線的斜率為2?10?2則BC邊上的高所在直線的斜率k=2，又其過(guò)點(diǎn)A(1,0故其方程為y=2(x?1)，整理得：2x?y?2=0.故選：B.【變式3-3】（2021·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,1)，則線段AB的垂直平分線方程為（

）A．4x+2y?5=0 B．4x?2y?5=0 C．x+2y?5=0 D．x?2y?5=0【解題思路】應(yīng)用兩點(diǎn)式求線段AB的斜率，進(jìn)而可得垂直平分線的斜率，結(jié)合AB中點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)斜式寫(xiě)出垂直平分線方程.【解答過(guò)程】由題設(shè)，kAB故線段AB的垂直平分線的斜率為2，又AB中點(diǎn)為(2,3所以線段AB的垂直平分線方程為y?3整理得：4x?2y?5=0.故選：B.【題型4求與已知直線平行的直線方程】【方法點(diǎn)撥】(1)一般地，方程中系數(shù)A，B決定直線的斜率，因此，與直線平行的直線方程可設(shè)為()，這是常用的解題技巧.當(dāng)時(shí)，直線與重合.(2)一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程可設(shè)為.(3)利用平行直線的斜率相等求出斜率，再用點(diǎn)斜式求出直線方程.【例4】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)A2,3且與直線l:2x?4y+7=0平行的直線方程是（

A．x?2y+4=0 B．x?2y?4=0 C．2x?y+1=0 D．x+2y?8=0【解題思路】利用平行直線的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線方程，代入所過(guò)點(diǎn)可得答案.【解答過(guò)程】由題意設(shè)所求方程為2x?4y+c=0c≠7因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3所以2×2?4×3+c=0，即c=8，所以所求直線為x?2y+4=0.故選：A.【變式4-1】（2022·全國(guó)·高二）與直線x+y?1=0平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（

）A．x?y+1=0 B．x+y+5=0 C．x+y?5=0 D．x?y?1=0【解題思路】由直線平行及直線所過(guò)的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.【解答過(guò)程】與直線x+y?1=0平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為y?3=?(x?2)，整理得x+y?5=0．故選：C.【變式4-2】（2021·廣東·高二期中）若直線l1：2x?3y+4=0與l2互相平行，且l2過(guò)點(diǎn)(2,1)，則直線lA．3x?2y?2=0 B．3x?2y+2=0C．2x?3y?1=0 D．2x?3y+1=0【解題思路】由兩條直線平行得到斜率，進(jìn)而通過(guò)點(diǎn)斜式求出直線方程.【解答過(guò)程】由題意，l1的斜率為23，則l2的斜率為23，又l2過(guò)點(diǎn)2,1故選：C.【變式4-3】（2021·天津市高二階段練習(xí)）與直線y=?2x+3平行，且與直線y=3x+4交于x軸上的同一點(diǎn)的直線方程是（

）A．y=?2x+4 B．y=C．y=?2x?83 【解題思路】先求出直線y=3x+4交于x軸交點(diǎn)P(?43,0)，再設(shè)與直線y=?2x+3【解答過(guò)程】設(shè)直線y=3x+4交于x軸于P點(diǎn)，令y=0，則x=?43，所求直線與y=?2x+3平行，設(shè)y=?2x+m，把P(?4代入得?2×(?43)+m=0所求直線方程為：y=?2x?8故選：C.【題型5根據(jù)兩直線平行或垂直求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】(1)考慮直線的斜率是否存在，若斜率都存在，則依據(jù)斜率間的關(guān)系求解.(2)已知兩直線垂直求解參數(shù)時(shí)，需要注意斜率是不是零.【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l1過(guò)(0,0)、(1,?3)兩點(diǎn)，直線l2的方程為ax+y?2=0，如果l1//lA．-3 B．13 C．?1【解題思路】先求直線l1斜率，再根據(jù)兩直線平行列式求得a【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1過(guò)(0,0)、(1,?3)兩點(diǎn)，所以直線l1斜率為因?yàn)橹本€l2的方程為ax+y?2=0，所以直線l2斜率為因?yàn)閘1//故選：D.【變式5-1】（2022·重慶八中高一期末）已知直線x＋y＋1＝0與直線2x－my＋3＝0垂直，則m＝（

）A．2 B．12 C．－2 D．【解題思路】利用兩條直線垂直的一般式方程結(jié)論列式求解即可.【解答過(guò)程】解：∵直線x＋y＋1＝0與直線2x－my＋3＝0垂直，∴1×2+1?(?m)=0，則m＝2，故選：A．【變式5-2】（2022·山東·高二階段練習(xí)）已知條件p：直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，條件q:a=?1，則p是qA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先求出兩條直線平行時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值，再判斷兩者之間的條件關(guān)系.【解答過(guò)程】若直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，則1×當(dāng)a=1時(shí)，x+a2y?1=0此時(shí)直線x+y+1=0與直線x+a當(dāng)a=?1時(shí)，x+a2y?1=0此時(shí)直線x+y+1=0與直線x+a故若直線x+y+1=0與直線x+a2y?1=0平行，則a=±1若a=?1，則直線x+y+1=0與直線x+a故p是q的必要不充分條件.故選：C.【變式5-3】（2021·山西·高二階段練習(xí)（文））若直線ax?y?2=0與直線(a+4)x+ay+1=0垂直，則a=（

）A．0 B．?3 C．0或?3 D．0或3【解題思路】根據(jù)l1:A【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€ax?y?2=0與直線(a+4)x+ay+1=0垂直，所以a(a+4)?a=0，解得a=0或a=?3，故選：C.【題型6直線方程的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，然后分析直線斜率是否存在，結(jié)合實(shí)際條件進(jìn)行求解，注意結(jié)果要滿足實(shí)際情境.【例6】（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個(gè)矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，點(diǎn)Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，經(jīng)測(cè)量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，求線段AB所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大，確定此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)并求出此最大面積（精確到1m2）【解題思路】（1）推導(dǎo)出A（0，20），B（30，0），由此能求出線段AB所在直線的方程．（2）設(shè)Q（x，y），則直線AB的方程為x30+y20=1（0≤x≤30），求出RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1?x30）＝20?23x，由此能求出當(dāng)x＝5，y=50【解答過(guò)程】解：（1）由題意得AO＝80﹣60＝20，OB＝100﹣70＝30，∴A（0，20），B（30，0），∴線段AB所在直線的方程為：x30+（2）設(shè)Q（x，y），則直線AB的方程為x30+y20=1（0∵RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1?x30）＝20∴草坪的占地面積為：S矩形PQRC＝RQ×PQ＝（100﹣x）（80﹣y）＝（100﹣x）（80﹣20+2＝（100﹣x）（60+2=?=?23（x﹣5≈?23（x﹣5）2+6017．（0≤x∴當(dāng)x＝5，y=503時(shí)，才能使草坪的占地面積最大，最大面積為6017m2，此時(shí)Q（5，【變式6-1】（2022?封開(kāi)縣校級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形OABC中，點(diǎn)C（1，3）．（1）求OC所在直線的斜率；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD所在直線的方程．【解題思路】（1）根據(jù)原點(diǎn)坐標(biāo)和已知的C點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率k=y1?（2）根據(jù)平行四邊形的兩條對(duì)邊平行得到AB平行于OC，又CD垂直于AB，所以CD垂直于OC，由（1）求出的直線OC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1，求出CD所在直線的斜率，然后根據(jù)求出的斜率和點(diǎn)C的坐標(biāo)寫(xiě)出直線CD的方程即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)C（1，3），∴OC所在直線的斜率為kOC（2）在平行四邊形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直線的斜率為kCD∴CD所在直線方程為y?3=?13(x?1)，即x+3【變式6-2】（2021春?達(dá)州期末）圖1是臺(tái)球賽實(shí)戰(zhàn)的一個(gè)截圖．白球在A點(diǎn)處擊中一球后，直線到達(dá)臺(tái)球桌內(nèi)側(cè)邊沿點(diǎn)B，反彈后直線到達(dá)臺(tái)球桌內(nèi)側(cè)另一邊沿點(diǎn)C，再次反彈后直線擊中桌面上點(diǎn)D處一球．以臺(tái)球桌面內(nèi)側(cè)邊沿所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知A（1，1），B（0.4，0）．（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是(x0，76)，求x0.（提示：直線AB與直線【解題思路】（1）根據(jù)題意，由直線的兩點(diǎn)式方程分析可得答案；（2）根據(jù)題意，求出直線BC的方程，進(jìn)而可得C的縱坐標(biāo)，又由DC//AB，求出直線CD的方程，由此分析可得答案．【解答過(guò)程】解：（1）由A（1，1），B（0.4，0）知，直線AB的方程是y?01?0化簡(jiǎn)得直線AB方程為5x﹣3y﹣2＝0；（2）根據(jù)條件，直線BC的斜率為kBC=?53