6隨機信號-4（非平穩(wěn)隨機信號的分析）

第五章

隨機信號分析與處理基礎非平穩(wěn)隨機信號的分析主講人：齊冬蓮非平穩(wěn)隨機信號的分析時-頻域分析小波變換分析希爾伯特-黃變換分析一、時-頻域分析對于非平穩(wěn)信號，以傅立葉變換為基礎的分析方法顯得無能為力，因為對于這類信號，往往不滿足Fourier變換所要求的條件。時頻域分析短時傅立葉變換魏格納變換基于魏格納分布的具有一系列優(yōu)良特性的信號時-頻域分析方法研究非平穩(wěn)信號最廣泛使用的一種方法一、時-頻域分析（一）短時傅立葉變換基本思想：認為在小的時間間隔區(qū)間內(nèi)信號是平穩(wěn)的，可以用傅立葉變換來分析它們，得出各個時間間隔區(qū)間的頻譜，這些頻譜的集合就可以反映頻譜隨時間的變化信號：時窗函數(shù)的作用：一、時-頻域分析在時刻 的頻譜情況，即短時傅立葉變換描述了信號頻反映了信號譜與時間的相關性短時傅立葉變換信號功率密度譜使時間局部化“最優(yōu)”的Gabor變換決定，反映了信號的頻譜和信號的頻譜和功率密度譜由不同的時刻功率密度譜的時-頻分布一、時-頻域分析（二）魏格納變換原信號時-頻描述式對

的傅里葉變換（魏格納變換）魏格納變換形式二信號的魏格納變換在時域和頻域是對稱的魏格納變換是完全非局部的一、時-頻域分析沿整個ω軸的積分，等于魏格納變換的性質(zhì)在固定時刻t下，信號 的魏格納變換信號在該時刻的瞬時功率的魏格納變換沿整個軸的積分，等于信?在固定頻率 下，信號號在頻率處的能譜密度?信號 的魏格納變換沿整個t軸、整個ω軸的雙重積分，等于信號的能量?一、時-頻域分析例1求下列矩形脈沖信號的魏格納變換解：的魏格同樣的積分的上下限：因為

時，函數(shù)取值為1?？梢娂{變換確是時間t和頻率ω的函數(shù)，并且在時域上具有與寬度一、時-頻域分析例2求無限持續(xù)調(diào)頻波的魏格納變換解：二、小波變換分析傅里葉變換局限性傅立葉變換無論在時域還是在頻域都是一種全局的變換，它無法表述信號的時頻局部性質(zhì)，因而不適合用來分析非平穩(wěn)的、瞬時變化激烈的信號。短時傅立葉變換或魏格納變換等時-頻分析方法又受到了測不準原理的制約，不可能同時具有良好的頻率分辨率和時間分辨率小波變換優(yōu)越性小波變換發(fā)展了Gabor加窗傅立葉變換的局部化思想，在窗函數(shù)中引入可供展縮的參數(shù)，構成一個“柔性”時頻窗，使其在較高的頻率處時域窗可以自動地變窄，具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率；而在較低的頻率處時域窗又可以自動地變寬，具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率。從而保證同時具有良好的時域和頻域分析精度二、小波變換分析），其傅立（一）小波基函數(shù)和小波變換基本小波函數(shù)/小波母函數(shù)

定義：設 是定義在 上平方可積的函數(shù)（即葉變換為 ，且該函數(shù)滿足依賴于參數(shù)a、b的小波函數(shù)定義：由函數(shù) 經(jīng)伸縮和平移所得到的一族函數(shù)a：時間軸伸縮函數(shù)；b：平移參數(shù)傅里葉變換：二、小波變換分析小波母函數(shù)又稱為窗口小波函數(shù)原始 中心移動窗口寬度窗口中心原始中心移動中心寬度時間分辨率頻率分辨率結論：可以通過伸縮因子a調(diào)節(jié)窗口的大小，通過平移因子b調(diào)節(jié)窗口的位置，實現(xiàn)以任意的尺度來分析任意位置的信號二、小波變換分析小波變換定義：連續(xù)小波中的參數(shù)b起著平移的作用，參數(shù)a的變化不僅改變窗口的形狀和大小，而且也改變連續(xù)小波的頻譜結構基本小波的能量：的能量：雖然是 的展縮函數(shù)，但卻保持了能量不變。所以小波窗函數(shù) 具有面積不變但形狀可調(diào)的特性小波反變換或重構：二、小波變換分析尺度和位移離散化的小波變換尺度參數(shù)a:位移參數(shù)b:小波基函數(shù)的小波變換“離散”是指對尺度參數(shù)和位移參數(shù)的離散化，所以仍然是連續(xù)信號的小波變換二、小波變換分析基本小波函數(shù)Haar小波Morlet小波Mexican

Hat小波DOG小波二、小波變換分析（二）多分辨率分析小波分析可以自動地適應信號的不同頻率成分，用大“窗”觀察變化緩慢的低頻成分，用小“窗”觀察快速變化的高頻成分，這種過程被稱為“多分辨分析”。較好地解決了參數(shù)離散化這一問題，使得小波系數(shù)的計算變得快速簡捷，并將所有正交小波基函數(shù)的構造方法統(tǒng)一了起來，為以后的構造設定了框架。二、小波變換分析一次分解過程（下采樣）平滑近似（低頻部分）變化細節(jié)（高頻部分）“二抽取”環(huán)節(jié)多級分解過程平滑近似（低頻部分）變化細節(jié)（高頻部分）二、小波變換分析信號重構過程濾波器H和G的單位脈沖滿足：低通濾波器和高通濾波器的單位沖激響應滿足：濾波器H的單位沖激響應為：二、小波變換分析（三）小波分析變換的應用例3下圖是帶有心室晚電位的心電圖，心室晚電位是心電圖中偶爾出現(xiàn)

的一種不正常波動，它持續(xù)時間短，幅度小，較難發(fā)現(xiàn)。采用Morlet小波函數(shù)（）對它進行小波變換，即取小波函數(shù)為：小波變換式為很明顯，當a取值16時心室晚電位信息得到突現(xiàn)。因此，當需要察看心電圖是否存在心室晚電位時，可以專門調(diào)看a=16的Morlet小波變換曲線二、小波變換分析例4電力系統(tǒng)發(fā)生短路故障時，故障信號既包含了基波和高次諧波等周期分量，也包含了指數(shù)型的非周期衰減分量，信號具有奇異性。利用小波變換多分辨率分析，通過獲取三相電壓信號分解系數(shù)模極大值發(fā)生時刻，能檢測出故障是否發(fā)生，并獲取故障發(fā)生時刻；同時比較三相電流信號分解系數(shù)模，可以確定故障相。接地短路故障時電壓波形接地短路故障時電流波形接地短路故障電壓、電流信號及其多分辨率分析三、希爾伯特-黃變換希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang

Transform，HHT)是一種用于分析非平穩(wěn)非線性信號的方法，包括經(jīng)驗模態(tài)分解和希爾伯特變換兩個步驟。經(jīng)驗模態(tài)分解依據(jù)信號（數(shù)據(jù)）自身的時間尺度特征將其逐級分解成局部對稱的各個分量，并篩選出一系列固有模態(tài)函數(shù)和一個殘余量。由于是依據(jù)信號特征分解信號，所以無須預先設定基函數(shù)，這一點與建立在先驗性的諧波基函數(shù)的傅里葉分解和小波基函數(shù)的小波分解具有本質(zhì)性區(qū)別。進一步對各固有模態(tài)函數(shù)進行Hilbert變換，得到信號瞬時頻率特性。經(jīng)驗模態(tài)分解方法能很好地體現(xiàn)原信號所特有的非平穩(wěn)特性，并具有適應性、正交性、后驗性、完整性等特點。三、希爾伯特-黃變換（一）經(jīng)驗模態(tài)分解通過篩選分解，得到的固有模態(tài)函數(shù)必須滿足以下兩個條件：

對于一個數(shù)據(jù)向量，極值點個數(shù)和過零點個數(shù)必須相等或者最多相差一個；

在任意點，由局部極大值點構成的包絡線和局部極小值點構成的包絡線的平均值為零。第一個條件類似于傳統(tǒng)平穩(wěn)高斯信號的窄帶要求，第二個條件將經(jīng)典的全局性要求修改為局部性要求，利用極值包絡的均值為零強制信號局部對稱，排除了由于波形不對稱而引起的瞬時頻率特性的波動三、希爾伯特-黃變換經(jīng)驗模態(tài)分解過程010203040506找出信號 的局部極小值點和極大值點，將其用三次樣條函數(shù)分別擬合為原信號的下包絡線和上包絡線計算出上下包絡線的均值m(t)若上式不滿足固有模態(tài)函數(shù)的條件，則重復篩選，k次后產(chǎn)生第一個固有模態(tài)函數(shù)得到第一個數(shù)據(jù)余項篩選處理，得到第二個固有模態(tài)函數(shù)重復篩選，直到最后一個余項已是單調(diào)函數(shù)不能再分解為止三、希爾伯特-黃變換（二）希爾伯特變換與希爾伯特譜Hilbert變換固有模態(tài)函數(shù)的解析函數(shù)定義亦即剔除余項后的原信號三、希爾伯特-黃變換（三）希爾伯特-黃變換的應用例5

結合經(jīng)驗模態(tài)分解和平均幅度差函數(shù)方法分析語音信號，并檢測信號端點。部分固有模態(tài)函數(shù)體現(xiàn)噪聲信號特征，可以予以剔除；利用剔除主要噪聲后的各階固有模態(tài)函數(shù)重構語音信號；繼而應用平均幅度差函數(shù)，檢測語音信號端點純元音e的語音信號時域波形加入信噪比為SNR=25高斯白噪聲后的時域波形元音e的固有模態(tài)函數(shù)（1-8階）含噪元音e的固有模態(tài)函數(shù)（1-8階）三、希爾伯特-黃變換為了檢測語音信號端點，利用剔除主