2022-2023學(xué)年安徽省池州市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

2022-2023學(xué)年安徽省池州市普通高校對口

單招高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

、單選題(30題)

己知事物A與B為相互獨立事件，則P(AB)等于()

A.P(A)+P(B)

B.P(A)-P(B)

C.P(A)4P(B)-P(A)P(B)

D.P(A)P(B)

設(shè)=則1而/(”2階一/(、=

2.i%()o

A.-2/3B.2/3C.lD.3/2

3.

設(shè):=/(".r..其中u=x,.r=『,且恭務(wù)都存在,則靠等于(

).

、亞4虬trnaf、

A.d?K-7??B.-*-?x+?2y

d)a〉dudv

C.電?…2、.)D.更.亞.2/

ordudv'

已知f{x+1)=xe，",則/'(x)=

A.xexB.(x-l)exC.(x+l)exD.(jc+l)ex+,

4.

5.已知田/停］T,則/'侍等于，)A.-2B.-lC.l/2D.1

下列函數(shù)在區(qū)間［0,3］上不滿足拉格朗日定理條件的是()

A./(x)=2JC2+x+1

R/(JT)=cos(x+1)

2

C./(X)=-7

1—J-

6.D./(r)=In(l*x)

7.設(shè)函數(shù)/(x)在點4處連續(xù)，則F列結(jié)論肯定正確的是

lim，0)-，5)必存在

A.A.與x-x?

limf(x)=/(x)

B.f0

「lim/(x)=O

L?“Tia

lim/(x)w/(/)

D.一

8.設(shè)/(r+y,i>y)=>+/?則/(z，y)=.

9.某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過50年的概率為0.8,超過60年的

概率為0.6,該建筑物經(jīng)歷了50年后，它將在10年內(nèi)倒塌的概率等

于【】

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

10.

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(Xo，y°)存在一階偏導(dǎo)數(shù)，則豕

dx尸兒

A.lim、x°+Ax)-/a。)

A*TOAX

Blimf(Xo+△/%)一/。()，凡)

△J。Ax

cljmf-o,%+Ax)--(x。，y0)

-AX

DIm"/*、，yo+Ay)-"/，Uo)

△XTOAX

U設(shè)/(x)=詈，RiJ[J/(x)dx]z=

cosx

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.X

D.x

12微分方程工v'-Wny=0的通解為

設(shè)則/(x)

13.()o

-22JX1

—x2-----+C

A.33

32X)

-x3--+C

B.23

蘇？+c

C.23

涉彳+c

D.

limln(x-l)=

14.1廣

A.A.OB.lC.eD.-oo

函數(shù)y在定義域內(nèi)單調(diào)（）

A.增加且凸B.增加且凹

C.減小且凸D.減少且凹

16.設(shè)隨機變量￡取非負(fù)整A為值?且P依?船-次.用￡的數(shù)學(xué)期望E（g）

A.A.-1B.0C.1D.2

17.設(shè)f(x)=x(x+l)(x+2),則fn,(x)=

A.A.6B.2C.lD.0

曲線？=工面+（）

A.僅有水平漸近線B.既有水平漸近線又有鉛直漸近線

18.c.僅有鉛直漸近線D.既無水平漸近線又無忸直漸近線

下列定積分等于零的是

A.Jx2cosxdx

B.jxsiordr

C.J(x+sinr)dxD.J(ex+x)tlr

In(I+

20%----------()

A.ooB.OC.lD.l/2

21.

若下列各極限都存在，其中不成立的是

A.

x-*OX

B.lim/(x)~^(--=/(xo)

EQX-XO

C.lin/5+42-o)=fGo)

LOh

D.5二一尸巳二一8：八工。)

LOAX

22.函數(shù)y=x+cosx在(0,2?r)內(nèi)[]

A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.不單調(diào)D.不連續(xù)

23.若f(u)可導(dǎo)，且y=f(ex),則dy=[]

A.F(ex)dx

B.f(ex)exdx

C.f(ex)exdx

D.r(ex)

f(x:sinx+l)dx=

J

24.'()o

A.OB.lC.2D.3

已知丁=包孕，則y'=

25.%()o

cosx

A.2"

-cosx

B.2x

xcosx-2sinx

x3

xcosx+2sinx

x3

26.

設(shè)函數(shù)/(#)=/+e'+3?.則/'(x)等于().

3xJ+3*In3B.3/+3e;+x?3,

,-y-*4+3+3*inxD.+J+3，

4/

27.函數(shù)f(x)在點xo處有定義，是f(x)在點xo處連續(xù)的()。

A.必要條件，但非充分條件B.充分條件，但非必要條件C.充分必要條

件D.非充分條件，亦非必要條件

28.

在下列函數(shù)中，當(dāng)了一。時，函數(shù)八工)的極限存在的是

x2+2?x<0但"0,

A.f(H)=<3,z=0,B./(X)=J

2Sx>01,x=0

5^—,x<0

2-xz.1

C./(x)=Jsin—,NW0,

0,x=0,D./(])=<x

1l,x=0

x+^-,x>0L

Li

29.

，牛女品中有次品4件,從中任取5件的不可能步件推(>.

?T件都是正品"B."5件那也次'

D.“至少有一件知?

設(shè)/(1)=/*/+1必(a>0且的常數(shù)),則/(1)=

A.a(l+lna)B.a(l-lna)C,a\naD.a+-

30.0

二、填空題(30題)

31.帆(手)=-----?

曲線y=z+e，在點(0.1)處的切線斜率4=

33.已知Jf(x)dx=xln(l+x)+C,則吩￡?)(1*=

34.'4。+幻

35.設(shè)曲線y=axex在x=0處的切線斜率為2,則a=

36.

設(shè)/(x)=ln1-ln2,則/'(1)=________________

37.x

38.

曲線y=67一2422+7，的上凸區(qū)間是.

2工4+公一2二

39.吧?3+5工-3o

設(shè))=?,際00",貝I」j/=

40.工=0

41.

、e[X注°fl

設(shè)/")='x則[f(x)dx=______________?

ex<0J-]

42.曲線y=x3-3x2+5x-4的拐點坐標(biāo)為.

43.

j=x2e"—a*(a>0,a/1),貝I」，=

44.

設(shè)Z=x2y+y2,則dz=

..X2+X-2

45.1^~TT~

46.j

47.

設(shè)了'(sinx)=cos2x,貝ijf(x)=.

48.

設(shè)z=ulny,而〃=cosx,v=ex?貝ij，=_______________.

dx

49.

設(shè)函數(shù)/(x)在x=4處連續(xù)且可導(dǎo).且/'(4)=2,則limO")=

*-**x-4

設(shè)z=1+jy-則尊”3=______.

50.ay…

51設(shè)函數(shù)y=3：則底單調(diào)遞增區(qū)間為.

設(shè)J：/(0dz=苧，則［-^/(V7)dx=.

52.

53.

1-COSX

vhm---；-----

L0X-----------------

設(shè)z=tan(町-，)，則手=.

54.ax-----------------------

設(shè)函數(shù)/(X)在工=2處連續(xù)，且㈣/fF存在，則/⑵=

56.

57.

函數(shù)y=3x2+6x+5的單調(diào)減少區(qū)間是

設(shè)J：f(f)di=y,貝I」J：9f{4x)dx=

58.

設(shè):/=Z"+*＞，則dz=________.

59.

60.

當(dāng)A-*0時，f（工。+3h）—f（H?！猦）+2h是h的高階無窮小量，則f（x0）=

三、計算題（30題）

計算定積分『yi-e-bdx.

61.J"

62.計算定積分I：后寸也

+,(lr?

.,求微分方程入飛泮的通解.

65.

已知二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個特解分別為V-jnZr.wucosZ;求相應(yīng)

的微分方程.

66.已知"T'=zlnz.求y?.

67.設(shè)…(x)由方程e，=x)所確定.求%

計算定積分〃2+2cos2zdz.

Oo.Jo

69.求函數(shù)fix)=xe*在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

70求函數(shù)、=21'+3/-121+1的單調(diào)區(qū)間.

加求板限㈣花廠.

72.求函數(shù)z=arctan(理y)的全微分.

73求不定積分|「e"+ln(1+.r)Mr.

74.已知x=-l是函數(shù)f(x)=ax3+bx2的駐點，且曲線y=fj)過點0,5),

求a,b的值.

求lim(*—?-—'.\

75.…㈠—J

76.計算也

設(shè)可叫樽窗窗.

求極限lim/1+-\e，.

78..I-

計算定積分1：cos，Hsinxdx.

79.

求不定枳分1n（z+，=產(chǎn)）業(yè).

80.

(X?r—ln(1+H)?JI

巳知函數(shù)工■工(y)由參數(shù)方程J確定，求產(chǎn).

81.]^=arctan/y

82.設(shè)/⑺是連續(xù)函數(shù)，且//⑺d,一?求/⑺.

83.求微分方程2/+5,'=51,—2r—1的通解.

求不定積分j,J—

84.「工，1+工

85.求“分方程37+5工-5,'.0的通解.

86.設(shè)函數(shù)y=近工)由方程y=(Inx尸?x1**確定，求y'.

87.設(shè)函數(shù)y=x4sinx,求dy.

88.設(shè)曲線y=4-x2(xN0)與x軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D(如

圖中陰影部分所示).

①求D的面積S；

②求圖中x軸上方的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

89.求微分方程uC'的通解.

nn計算定積分「ln（z+Ddi.

90.人

四、綜合題（10題）

證明：方程4工一1=『言不在（0.1）內(nèi)僅有一個根.

91.J1+，

id明：當(dāng)r'I't'?In］+/-'.

92.一rr_r

苦，在［明句上連續(xù),存在e.M兩個常數(shù)?且滴足“VA4人證明，恒省

93.融--n）——

94.

設(shè)函數(shù)F（x）=△空歹（1〉0）,其中/（外在區(qū)間［a.+8）上連續(xù)./"（工）在

＜?.+°°）內(nèi)存在且大于零.求證:F"）在（a.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

求函數(shù)人"=上一。++J的單調(diào)區(qū)間和極值.

95.

96.

過曲線.V-產(chǎn)（工＞0）上一點作切線/.平面圖形D由曲線.、,-切線/及

J軸國成.

求：（D平面圖形D的面積，

（2）平面圖形D燒1軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

97.

設(shè)函數(shù)y=ar1-6ari在［-1,2］上的最大值為3,最小值為-29,又a＞。,求a,b.

98.

過曲線y-^tx^O)上某點A作切線.若過點A作的切線?曲線，=，及，軸圍成

的圖形面積為之.求該圖形繞」軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體枳V.

99.

求由曲線yr尸與直線1=1.1=2及y=0圍成平面圖形的面枳S以及該圖形燒

，軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

2(j-1)

100.證明：當(dāng)工＞I時＞工+1'?

五、解答題(10題)

101.

計算limV^'(J”+2——3).

102.

求/(x^)=2x5.-3x2-2/+10的極值點與極值.

103.

(D求曲線y=1-，與直線y-x=1所圍成的平面圖形的面積A；

(2)求(1)中的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積9.

104.

3

計算limzsin—.

jr-*co工

設(shè)由方程二+一二嗚確定.求去。

106.

計算

J7(1-x1)5

107.求由曲線y=ex、x2+y2=l>x=l在第一象限所圍成的平面圖形的面

積A及此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。

108.

設(shè)n=ln（jr2一?。?其中v=求生.

djr

o2

求E(0和D(<)-

109設(shè)隨機變量。的分布列為建桐同方

求曲線y=4與直線y=x-Zy=0所圍成圖形的面積/及該圖

no.形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

六、單選題（0題）

設(shè)八則器

A.cos(x+y)

B.-cos(x+y)

sin(x+y)

-

111.D.sin(x+y)

參考答案

l.D

2.A

根據(jù)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義可知

I」

hmj匹凡=-2//(l)=-2x1x1

Ih

3.B

答應(yīng)選B.

分析本翹考查的知識點是二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算.

dzdfdudf加，dfdf,

dyHu8ydrdyduAr

所以選B.

［解析1用換元法求出/(x)后再求導(dǎo)

用x—1換式中的x得/(x)=(x-l)e",

..所以/'(x)=ex+(x-l)ex=xe*

【解析1先用或合函數(shù)求導(dǎo),再求/I!).

因為卻■(升/'(5)?卜占)■

則陪卜“?

5B當(dāng)*=2時.得/代)=-1.故選B.

6.C

7.B

8/2.V二2y

9.A

設(shè)A=｛該建筑物使用壽命超過50年｝,B=｛該建筑物使用壽命超過60

年｝,由題意，P(A)=0.8,P(B)=0.6,所求概率為：

0.25.

10.B解析

由二元偏導(dǎo)數(shù)的定義解析式：

次=5/(*。+—，為)-/(孫兒)

x=x

dx0"TOAx

y=y()

可知應(yīng)選B.

ll.B

12.y=/(。為任意常數(shù)”=DC為任意常數(shù))

13.A

因為/(x)=dr=—一"-丁+C,所以選A.

14.D

limln(x-I)=-o0.

*-?r

15.D

16.C

17.A

因為f(x)=x3+3x?+2x,所以F"(x)=6。

18.A

19.C

20.D

21.C

22.A由y=x+cosx,所以y'=l-sinx>0(0

23.B因為y=f?x),所以,y,=F(ex)exdx

24.C

2

J((xsinx+l)dr=J'dx=2.

25.C

f(sinx)/x2-sinx-(A2/_xcosx-2sinx

因為y=

26.A

答應(yīng)選A.

提示本愿考杳的知識點是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.只需注寶e'是常數(shù)即可，

27.A

28.C

29.B

答應(yīng)選B.

分析本—3作的知見點是不可能事件的微念.不可的幣件是指在一次試驗中不可能陵生

ft,由于只好4件次品.一次取出5件都是次品兄:根本不可能的?所以選B.

I解析］f\x)=(x°)z+(axX+(ina)z=axa~'+axIna

...所以/'(l)=a+alna=a(l+lna),選A.

30.A

7T

317'

32.

33.exln(l+ex)+C

n

~2

［解析］\~~\=2廣一,=2arctanVxl***=2-=—

J|

344(l+x)1+(47I>42

35.因為y,=a(ex+xex),所以％=a(i+x)e'|.“=a=2.

36.C

［解析］/(x)=-lnx-ln2

f\x)=-1

X

所以廣⑴=T

?J/?

38.(-22)

39.2

一1

由y，=2??oir

e2，故y=~2e*.

*?=o

40,-26"VL-JC

41.3-e1

c\k+f\dx=cJ+2=3-J

Jo*

42.

令

填(1,-1).因為y"=6x-6=0,得x=l,此時y(l)=-l,所以拐點坐標(biāo)為(I.-]).

43.

e~(2.r-1)-ax\na

y—2ze++十(一彳)-axlna=er(2x—1)—a*Ina.

44.2xydx+(x2+2y)dy

因為z\=2xy,z；=/+21y

所以dz=z：dx+z:d>=2x>dx+(A2+2y)dy

45.應(yīng)填2

【解析】計算極限時一定要注意極限的不同類型，當(dāng)XTO時，本題不是“號”型，所以直接

利用極限的四則運算法則計算即可.但當(dāng)XT1時，本題是“號”型，可用因式分解約去零因式等

方法求解.

46.

[解析]因為dr=-ln2x|=lln:2.

x2h2

X--X3+CX--X3+C

47.33解析：

因為//(sinx)-cos2x=1-sin2x

設(shè)/=sinx則/'(r)=l一/

即廣仁)=12

于是/(x)-J/\x)dx=|(1-xz)dx=JC一**+C

48.cosx-xsinx

方法一

dzdzdudzdv,.u

—=~------F?—=Inv,(z—sinx)x+-,ex

drdudrovdxv

=-si.nx-m[ex+-C-O--S-X--ex=-xsm.x+cosx

ex

方法二

將〃=cosx,y=e”代入z=〃lnv中，得

z=cosxlnex=xcosx

貝lj—=cosx-xsinx

dx

49.2

50.

(-oc.O](-oc.O]

51.

52.16

53.1/2

54.

答應(yīng)填廠23c

CO?（町-N）

提示Z對，求偏導(dǎo)時應(yīng)視，為常數(shù)，并用一元函數(shù)求導(dǎo)公式計算.

55.1

56.

57.（心,-1）

函數(shù)的定義域為（―，+-）.

令y'=6x+6=6（x+1）=0

解得駐點：x=-l

在區(qū)間（y>,-D內(nèi)，/<o,y單調(diào)減少；在區(qū)間（-1,+響內(nèi)，/>o,y單調(diào)增加.

58.

16

［解析］利用變上限積分的定義，當(dāng)上限取某一定值時，其值就唯一確定.

因為［'/（/）<?/=y所以當(dāng)x取b或2時有J"a）d/=g-,j"f（t）dt=~

設(shè)-/x=t?則x=?\dx=2rdr

x14

T2

于是J：+，(4)dx=2j^/(Vx)d(>/x)=2jiV(0dr=2-=16

59.

60.-1/2

61.

令「一"則l—kui明山一筮山,且當(dāng)工二°時“當(dāng)當(dāng)工=ln2

時合,于是

o

*laf____________

，1-e“dr

sinrdr

■f^3

=-[InCcscZ-cot/)]------

n-ln(2—W)—

令e-r=sin/?則r=—Insin/<Lr且當(dāng)工=0時,，=-i當(dāng)”=In2

vsin/Z

卜于是

o

lai_

-e〃—COSZcosr

sin，fsin/

+sinrd/

-fln(csc/—cot，)]：一

—ln(2-瓜)一

x/l—(x—1)2d(J—1)=

oJo

令fn^inAp>

-e-------,cosh?cos/idA

=9j,(?+cos2〃

cos2Ad(2A)

=/+4*sin2/jI=n

62.44I-jT,

y/2x—JTidx=f>/l-(x-l)2d(x-1)=fy/\—t2dt

。JoJ-l

令t0

cosA?cos/idA

=y|J1+CO§2A)d/l

=嚴(yán)+J/期d⑵)

=。+4-sin27in

44T'

63.

根據(jù)題意.先做出積分區(qū)域.如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進(jìn)行計算.

Jd_yj,v/i：^r，￡+-dz

三.n

23T

根據(jù)題意，先做出積分區(qū)域.如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進(jìn)行計算.

‘M：''y/xl+?dx=/d@r?rdr

64.

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy??'=l+1—siny,即

d(sinv)?.?1

————Fsmv=1+1?

djr

令?=siny.則方程化為患+〃=工+】,屬線性方程.用求通解公式得

u(1+l)ef*-FC]

=e-[J(H+1)cJdj+C]

=e-'[(z+1)e'—e*+Cj

+c).

則原方程的通解為3iny=eW+C).

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?y'=>r+】一siny,即

"瞥+si”=i+l.

djr

令“=siny.則方程化為招+“=工+1.屬線性方程,用求通解公式得

u=e-htJcx+DeJ^+C]

=e-[J(z+1)eJdj-+C]

=e*xC(x+De"—e，+C]

=c4-C).

則原方程的通解為siny=e,(xe,+C).

65.

由于A=sin2，.“=cos2i為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解.可知a=

0,6=2,即原方程有一對共枕復(fù)根n=2i.r,=2i.因此對應(yīng)的特征方程為

(r-2i)(r4-2i)=0,

即r*4-4=0,

從而可知相應(yīng)的微分方程為

y*+4y?=0.

由于》=sin2.?*=cos2]為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的特解,可知a=

0,6=2.即原方程有一對共施復(fù)根rB=2i,r,=2i?因此對應(yīng)的特征方程/

(r-2i)(r+2i)=0.

即/+4=0,

從而可知相應(yīng)的微分方程為

/+4>?0.

y"”=21)=(xlru-)'=Irtr+工?5=1+Irtr.

爐"，=⑶=”了=(1+lnx)z=

66.

211=(j|ar)'=Inr+工?5=1+lor.

9")=Ri，了=(1+lru-)z=

67.解法1等式兩邊對x求導(dǎo)，得

ey?y'=y+xy'?

解得

解法2等式兩邊求微分,得

d(/):d(xy),

c'dy=ydx+xdy,

解得立=上

dxe，一”

因2+2COS2T=2(1+cos2x)=4cos一?所以

x/2+2cos2rcLr=|/4codzcLr

oJo

=J2|COSJT|d.r

=2fcosxdx-2,.coSeTckr

十?

=2sinz-2sinx=2+2=4.

68.o+

因2+2cos2才=2(1+cos2x)=4cos2?r?所以

Jv/2+2cos2i(Lr=J/tcodidi

=J2|COST|di

=2j：cosxdx-2j,cosj-dj,

9?

=2siru--2sinx=2+2=4.

0f

69.

J

函數(shù)/(X)=Je-的定義域為(-8,+OO).且/(X)處處可導(dǎo);

因為f(x)=e~'—jeJ=e~J(1—1)，令//(x)=0

得駐點工=1.且工＜1時/(力＞0.Z＞1時/(工)V。

所以/(I)=e'=-為函數(shù)/(x)的最大值.

e

又lim/(x)=limxe'=-8,

lim/(x)=limxe4=lim工=lim-7=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值

J

函數(shù)/(J)=xe-的定義域為(—8,+8),且/(X)處處可導(dǎo);

因為『—e**—j-e*=5'(1—1)，令，(x)=0

得駐點工=1.且zV1時.，(工)>0,x>1時./(z)<0

所以/(I)=e'=1為函數(shù)/(x)的最大值.

e

又lim/(x)=limxe'=-8,

lim/(x)=limxe'=jim==lim-y=0.

于是f(x)定義域內(nèi)無最小值。

70.

y=6x2+6工-12=6(jf+x-2)=6(?r+2)(jr-1)?令y'=0?得=-2.

=1.

列表討論如F：

J,(—8?—2)一2(-2.1)1(1?+8)

f

y+0—0+

yzz

由表可知單調(diào)遞增區(qū)間是(-00-2］U(1+8］單調(diào)遞減區(qū)間是［-21］。

y=6x?+6x—12=6(x:+x-2)=6(J*+2)(*—1),令y'=0?得.門=—2,

??2~ryx

&=?為必+3次

f[e''+ln(1+z)]ctr=-1-JeI,d(2x)+Jln(1+>r)dx

=+*+川n(l+i)-J/公

=+xln(1+x)—Jtl-y----Jdx

=+zln(1+1)—>r+ln(1+x)+C.

J[e'+ln(l+x)]cLr=yend(2x)+jln(l+x)dx

=春e"+xln(1+x)-fr-y--dr

/J1+jr

=Je"+xln(14-x)——T-7—]ctr

LJ1+X

=+zln(1+jr)—x+ln(1+x)+C.

74.f(x)=3ax2+2bx,f(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯(lián)立解得

a=2,b=3.

用換元積分法.令”=tam?則

行1件1

-----------L1dz=----5----------sec2/dr

?Jftan/?sec/

=J:esc/?cot^dr

3女一2乃

=-CSC/

76.3

用換元積分法.令x=tan/■則

r/iffi

——■dx=——-------secJ/dz

h/-Z-?，1+/Jftanr/?sec/

=*CSC/?CO"也

Jf

孑=3畬-26

=-cscr

f3

令jry=u^xyz=，?則/(w)=/(Xttt.V).

鮑=亞+”.更+〃.聞=堊+堊?y+嬰?丹

9xdxdudxdv3xdxdv

dw.du,

dev_dw.du?型.du=—■n+-r-?xz.

aydudydvSydudv

辿=d——u*?d一i/=-du-,?xy

77.dzdvdrdv

令jry=u9jryz=1/?則/<w)=/(x.u.v).

亞+亞.且+亞?亞=亞+亞?y+更?丹

dxdudxdv3xdxdudv

艇.包+跑.包=也?工+冬.R

dudydvdydudv

du*du3u?

上二?一=--?xy.

dvdzdv

設(shè)“二COST，則du=—sinjcLr?當(dāng)工=0時口=h當(dāng)工口費?時.u=0

_n：?原式=j“'du=_yI-J.

79.Ji4II4

設(shè)u=COM>■則du=-siorcLr.當(dāng)工=0時“=】,當(dāng)工=￡時,〃=0

：?原式=_(u*du=-y|(=}.

80.

ln(x+/I+J?)dr=xln(x+)—卜d(ln(i+\/l+x2))

=#(，+而7Tz?升息^"常？產(chǎn)

=xln(x+/+刀)―f■cLr

Jyrr7r

=xln(j++一)一H+-)Td(1+J)

=xln(x+f)—，1+i+C.

Jln(x++J?)d1r=xln(x+，1+a*，)—Jjrd(ln(x+，1+7))

=xln(x-b弋\+?)—fz?-------1./.?,?」\dx

Jx+yr+7l

=xln(x4-八+工')―f■■——-tLr

J4+?

=xin(j+yi4-x!)-yj(l+x*)-^d(l4-x*)

xln(x+7)—，1+犬+C.

1__2/

+4)T_14-/?,

由求導(dǎo)公式(1z)

(arctan，)’------------｝一*-?

+H

d'i_E-叫'

于是,1

dy2(arctanz)2(/-1)(/4-1).

81.F+?

1-------￡!_

由求導(dǎo)公式,得*=3321I+J”、，

-------1--------(1-tr,

(arctanr)

FT?

也=H-y=-2(1—n_2c_1M,?+1、

于是.d>2(arctan/X11】)“十】》.

+H

等式兩邊對,求導(dǎo)得

/(xf-1)?3>=1.即八『-1)=六

?5.T

令工=2.得/(7)

82.T2-

等式兩邊對丁求導(dǎo)得

/(j1-1)-3JJ=1,RP/"-1)=^7

令工=2.得/(7)

12,

83.

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

2y+5_y'=0,

特征方程為

2rz+5r=0?

于是

>=,Ci4-C,e￥

為齊次線性方程的通解.

而5/-2工一1中的；I=0為不一特征根.故可設(shè)

>?="r(Ar'+&+C)

為

2y+Sy*—5xl—2x—1

的一個特解，于是有

(>>)'=-3Ar‘+2Hr+C,(/)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar2+2Hr+C)=Sx12x-1.

即

15Arl+(12A+10B)x4-4B+5C-5xl-2x-1.

故

15A=5.12A+1OB=-2.4B+5c=-1.

于是

所以

2y"+5y'—5xs—2x—1

的一個特解,因此原方程的通解為

y=G+Ge/+—弩-+為任意席數(shù)).

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

Zy+5」=0.

特征方程為

2/+5,=0?

故

n=0,rt=-

于是

ss

1yci+C：eq

為齊次線性方程的通解.

而5d—2工一1中的a-0為單一特征根.故可設(shè)

y'7(Ar'+ftr+C)

為

Zy+5y'=5x*—2x—1

的一個特解,于是有、

(>>)'=3Ar，+2Hr+C?3)*=6Ar+28.

知

2(6Ar-F2B)+5(3Ar2+2Hr+C)=5xl-2x-1.

即

ISAr14-(1244-10B)J+4B+5C=5X2-2X-1.

故

15A=5.12A+10B=-2?48+5c=-1.

于是

A"f.B-

所以

?工'31’,7x