2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)編輯）17

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識(shí)點(diǎn)編輯）_030

單選題（共8個(gè)，分值共：）

22

-7一今=1（〃>0力>0）口UD

1、已知雙曲線b-,過(guò)其右焦點(diǎn)尸作漸近線的垂線，垂足為延長(zhǎng)EB交另一條漸近線于

點(diǎn)A已知°為原點(diǎn)，且3,則M尸1=（）

1la10。

A.4aB.3C.3D.3a

答案：C

解析：

I?,??tanZAOB=—

畫出圖象，結(jié)合漸近線方程得到忻@=/進(jìn)而得到3,結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系,

列出方程，求出力=2。，從而求出伊尸］

【本題詳解】

,bbb

y=±-xy=-xy=——x/、

漸近線為’.,如圖，過(guò)點(diǎn)F作FB垂直’。于點(diǎn)兒交.a于點(diǎn)人則人（。，°）到漸近線

則I。用=4。尸『-忸尸|2=〃\AB\=-a

由勾股定理得：3

tanZAOB=P^=-tanZBOF=-ZAOB=2f--ZBOF1=TI-2ZBOF

則卯3,又a,U)，所以

2b

..c/ncL2tanZBOF4

tanZ.AOB=-tan2Z.BOF=--------------------

l-tan2ZBOF3

,解得：b=2a,所以

\AF\^\AB\+\BF\=^a+2a=^a

A

所以正確答案為：C

2、命題，x>l,sinx<e*"的否定為（）

A.Vx<1,sinx<exB.Vx>1,sinx>ex

C.3x<1,sinx<exD.Bx>1,sinx>ex

答案：D

解析：

利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.

【本題詳解】

命題，x>l,s譏x<e工”為全稱命題，該命題的否定為勺x>1,sinx>ex".

所以正確答案為：D.

3、已知角a=5,則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：D

解析：

把弧度制化成角度制，再判斷其所在象限.

【本題詳解】

因?yàn)??5x57.30。=286.5°,所以a是第四象限角.

所以正確答案為：D.

4、如圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的2017年春運(yùn)期間十二個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變化幅

度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（）

2

12城市春運(yùn)往返機(jī)票平均價(jià)格

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

B.深圳和廈門的春運(yùn)期間往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所下降

C.平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門

D.平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

答案:C

解析：

從折線圖看漲幅，從條形圖看高低，逐項(xiàng)判定即可.

【本題詳解】

從折線圖看，深圳的漲幅最接近0%,從條形圖看，北京的平均價(jià)格最高，故A正確；

從折線圖看，深圳和廈門的漲幅均為負(fù)值，故B正確；

從折線圖看，平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京，故C錯(cuò)誤；

從條形圖看，平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州，故D正確.

所以正確答案為：C.

22

5、已知小尸2為橢圓京+標(biāo)=1(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)Fi作橢圓的弦AB,若△力F28的周長(zhǎng)為8,橢圓

的離心率6=|則橢圓的方程是()

A.^+―=1B.藝+%2=ic.—+y2=ID.x2+^=1

1612164J4

答案：D

解析：

根據(jù)橢圓定義求得a=2,結(jié)合橢圓離心率公式、橢圓中a,b,c的關(guān)系求得爐=1即可得出橢圓方程.

【本題詳解】

由橢圓的定義知M&l+IB&I+\AB\=4a=8,所以a=2,

又因?yàn)閑=￡=且，所以c=Vlb2=a2-c2=l,所以橢圓的方程為/+二=1.

a24

所以正確答案為：D

3

6、已知集合”={x[0<x<3},N={-2,-1,0,1,2},則MnN=()

A.0B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1)

答案：C

解析：

根據(jù)交集的定義即可求得答案.

【本題詳解】

因?yàn)镸={x[0<x<3},N=[-2,-1,0,1,2},所以MnN={1,2}.

所以正確答案為：C.

7、已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為()

A.4.士.iD.立

8244

答案：B

解析：

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為人利用已知條件可得出關(guān)于小，的等量關(guān)系式，即可得解.

【本題詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為八貝1]2什=山，解得;=：.

所以正確答案為：B.

8、已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={-3,-1,0,1,3},則4C8=()

A.{-3,1}B.(-1,0,3}C.{-1,3}D.{-3,0,1}

答案：C

解析：

求出集合力，再求anB即可.

【本題詳解】

由題意可得A={-1,3},則4CB={-1,3}.

所以正確答案為：C.

多選題(共4個(gè)，分值共：)

9、已知點(diǎn)P是雙曲線E：的右支上一點(diǎn)，&,F?為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，APFiFz的面積為20,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為爭(zhēng).的周長(zhǎng)為當(dāng)

3

C.NFiP『2小于?D.△P&『2的內(nèi)切圓半徑為W

答案：ABC

解析：

由雙曲線方程可得雙曲線的C,運(yùn)用三角形的面積公式求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線的夾角公式可得4&PF2的

4

范圍，利用雙曲線的定義，可得AFiPB的周長(zhǎng)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,運(yùn)用三角形的面積公式和等積

法，即可計(jì)算r.

【本題詳解】

因?yàn)殡p曲線1,所以c=V16T9=5,

又因?yàn)镾AP&FZ=1.2clyp|=：?10?|詞=20,

所以|yp|=4,將其代入E總一<=1得三一1=1,即％所以選項(xiàng)A正確；

1691693

所以P的坐標(biāo)為詈,±4),由對(duì)稱性可知|P&I=J(y-5)2+42=y

，由雙曲線定義可知|PFJ=IPF2I+2a=￡+8=￡

所以APF1F2的周長(zhǎng)為：

|PFjJ+|PFz|+2c=曰+m+10=三，所以選項(xiàng)B正確；

可得kp&=1|>kpFz=y>

則ttm&PFz=宣愚=黑e(0,V3),

1+5X3S

則N&PF2<p,所以選項(xiàng)c正確；

因?yàn)锳PF1F2的周長(zhǎng)為箏所以SAP&FZ=/r號(hào)=20,

所以r=|,所以選項(xiàng)D不正確.

所以正確答案為：ABC.

10、已知拋物線C：y=；/，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于4(尤1，'1),8(>2/2)兩點(diǎn)，直線40,B。分別于直

線m：y=—2相交于M,N兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是()

A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)

B?乃力=1

C|瓦小|兩|的最小值為4

D.△AOB與△MON的面積之比為定值

答案：BCD

解析：

A選項(xiàng)，根據(jù)拋物線方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可；B選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理得到%、2=1；

C選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到|同|=%+1,|而|=丫2+1，進(jìn)而求出|幅H超|的最小值；D選項(xiàng)，利用三角

形面積公式及線段比值求出面積比為定值.

【本題詳解】

由題意知拋物線方程為M=4y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故A錯(cuò)誤；

顯然直線AB的斜率存在，設(shè)斜率為k,則直線A8的方程為、=/^+1,

5

聯(lián)立消去X得到y(tǒng)2-（2+4k2）y+1=0,

A=16kA+16k2>0,yi+丫2=2+4k2,為先=1，故B正確；

由拋物線性質(zhì)知|同|=乃+1,|FB|=y2+l,

則|而H而|=（乃+1）5+1）=為先+（%+為）+1=4+4k2>4,

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，|源H而|取得最小值為4,故C正確；

顯然〃。霖=瑞歌黑黑=就猊="=竽刊（定值）,故D正確.

所以正確答案為：BCD.

11、已知拋物線C：V=2px（p>0）與圓。：產(chǎn)+丫2=5交于4,B兩點(diǎn)，且|AB|=4,直線1過(guò)C的焦點(diǎn)F,

且與C交于M,N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若直線2的斜率為',則|MN|=8

3.|“用+2火尸|的最小值為3+2近

C.若以/WF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為（0,日），則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為|

D.若點(diǎn)G（2,2）,則AGFM周長(zhǎng)的最小值為4+遍

答案：BC

解析：

首先求出拋物線的解析式，設(shè)出MN坐標(biāo)聯(lián)立進(jìn)行求解當(dāng)巾=舊時(shí)，|MN|=16,進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；再根據(jù)

韋達(dá)定理和不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)B；畫出大致圖像過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M',交y軸于“I，

結(jié)合拋物線定義判斷選項(xiàng)C：過(guò)G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H,結(jié)合AGFM的周長(zhǎng)為|MG|+|MF|+|GF|=

\MG\+\MM\+V5>\GH\+V5=3+病進(jìn)而進(jìn)行判斷選項(xiàng)D即可.

【本題詳解】

解：由題意得點(diǎn)（1,2）在拋物線C：y2=2px上,

6

所以2?=2p,解得p=2,所以C：y2=4x,則F（l,0）,

設(shè)直線/：x=my4-1,與*=4%聯(lián)立得y?—4my—4=0,

設(shè)7i）,N（》2，丫2），所以乃+丫2=4^1,yry2=-4,

122

所以|MN|=V1+rri\y1-y2\=V14-m-J（為+丫2=一4yly2=4（1+m）,

當(dāng)巾=舊時(shí)，|MN|=16,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

1+1__xi+X+2__m（y+y）+4_4m2+4

212則|M尸|+2\NF\=（|MF|+2|N尸I）?

|MF||NF|-x1+1x2+l-%1%2+5+工2+1-<ZiZ2^+rn（y1+y2）+3-47n2+4

島+息）=3+需+器23+2遮,

當(dāng)且僅當(dāng)|MF|=1+也|NF|=1+苧時(shí)等號(hào)成立,

故B項(xiàng)正確;

如圖，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,交y軸于“1，

取MF的中點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)。作y軸的垂線，

垂足為5，則M%〃OF,DDi是梯形OFMMi的中位線,

由拋物線的定義可得|MM/=\MM'\=\MF\-1,

所以微5|=處等=號(hào)二=1，

所以以為直徑的圓與y軸相切，

所以（0,當(dāng)）為圓與y軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為冬

又。為MF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為歷，

又點(diǎn)M在拋物線上，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為|,

7

故C項(xiàng)正確；

過(guò)G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為從

所以△GFM的周長(zhǎng)為|MG|+\MF\+\GF\=\MG\+\MM'\+V5>\GH\+遍=3+4，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）時(shí)取等號(hào)，

故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

所以正確答案為:BC.

12、在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓6：。+2）2+'2=廳和02：0-2）2+、2=以，其中n，為正常數(shù)，

滿足+「2<4或匕-上1>4,一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可以是（）

A.兩個(gè)橢圓B.兩個(gè)雙曲線

C.一個(gè)雙曲線和一條直線D.一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線

答案：BCD

解析：

兩圓圓心距GC2=4,當(dāng)n+Q<4,即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切;

當(dāng)兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，分別討論，得出結(jié)論.

【本題詳解】

解：根據(jù)題意圓G（-2,0）,半徑「1，圓C2（2,0）,半徑相，所以￡也2|=4,設(shè)圓P的半徑為r,

（1）當(dāng)「1+萬(wàn)<4,即兩圓外離時(shí)，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，

①均內(nèi)切時(shí)|PCi|=「一小，\PC2\=r-r2,此時(shí)|儼6|一儼。211=匕一11，

當(dāng)萬(wàn)豐萬(wàn)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是以Q,C2為焦點(diǎn)的雙曲線，

當(dāng)/=「2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q,C2的垂直平分線上.

②均外切時(shí)|PG|=r+ri，IPC2I=r+-2,此時(shí)|伊6|一|PQII=匕-r2\.

此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是與①相同.

③與一個(gè)內(nèi)切與一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓G內(nèi)切，與圓C2外切，

\PCi\=r-ri,\PC2\=r+r2,\\PCr\-\PC2\\=n+r2

與圓C2內(nèi)切，與圓G外切時(shí)，同理得，IIPC1I-IPC2II=T1+「2

此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以Ci，C2為焦點(diǎn)的雙曲線，與①中雙曲線不一樣.

（2）當(dāng)n+r2>4,兩圓相交，動(dòng)圓P可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，

④均內(nèi)切時(shí)軌跡和①相同.

⑤均外切時(shí)軌跡和①相同

⑥與一個(gè)內(nèi)切另一個(gè)外切時(shí)，不妨設(shè)與圓G內(nèi)切，與圓外切，

IPC11-r,IPC21—r+r2,|PCi|+1PC2\=ri+rz

此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以G,C2為焦點(diǎn)的橢圓.

與圓C2內(nèi)切，與圓Cl外切時(shí)，同理得|PG|+|PC2|=q+r2，

此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以J,C2為焦點(diǎn)的橢圓.

8

所以正確答案為：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，圓與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的定義的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)動(dòng)圓

圓心與已知圓的圓心距離IPC/,|PC2|的和與差與心+萬(wàn)，g-引間的關(guān)系，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義進(jìn)行分

析

填空題(共3個(gè)，分值共：)

13、已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(8)=0.2,如果A與B互斥，令m=P(AB)；如果A與B相互獨(dú)立，令《=

PQ4B),貝加—m=.

答案：0.4：

解析：

利用互斥事件的概念及獨(dú)立事件概率公式即得.

【本題詳解】

：A與B互斥，

m=P(AB)=0,

A與B相互獨(dú)立，

n=P(AB)=P(4)P(B)=(1-0.5)x(1-0.2)=0.4,

n—m=0.4.

故答案為：0.4.

14>已知直線k：QX+(Q+3)y—1=0與(Q+3)x—y+2=0垂直，則a=.

答案：1

解析：

根據(jù)給定條件借助兩直線垂直列式計(jì)算作答.

【本題詳解】

因?yàn)樨癬L。，則有Q(Q+3)-(a+3)=0,解得Q=1或Q=-3,

所以a=1或a=—3.

故答案為：1或-3

15、設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+l)=2“x),且當(dāng)xe(0,1］時(shí)，/(x)=x2-X,則/Q的值為

答案：-2

解析：

根據(jù)/a+i)=2f(X),將/?轉(zhuǎn)化為/0)，然后代入己知的解析式可求得答案

【本題詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+l)=2/(x),且當(dāng)xe(0,1］時(shí)，fM=x2-x,

9

所以J?"(5)=2f?

=吒+1）

=嗚

=8X-2,

故答案為：—2

解答題（共6個(gè)，分值共：）

16、設(shè)橢圓卷+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸1，尸2,若點(diǎn)P在橢圓上，且PFJPFz.

（1）求的面積；

（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo).

答案：

（1）9

⑵p（%）或p（乎V）或p（T加p（TV）

解析：

（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求得IPF1IIPF2I=18,再用面積公式計(jì)算即可；

（2）由（1）可得y=±%代入橢圓方程可求P點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）

由題知a=5*=3,c=4,因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以IPFJ+|PFzl=10.

2

從而IPF/2+\PF2\+2\PF1\\PF2\=100,

222

又?：PF、1PF2,-.|PFJ+\PF2\=4c=64,

???IPF/IPF2I=18,從而又可殳=TIP&IIPF2I=9；

（2）

設(shè)P（x,y）,由SAF/FZ=：l&Fz|x|y|,得41yl=9=|y|=：=y=±京

將y=士工弋入橢圓方程解得x=±乎，

44

所以P（乎,今或P（斗，-》或P（-乎或P（-斗，-%

17、分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在y軸，短軸長(zhǎng)為2,離心岸為日?qǐng)F(tuán)

（2）短軸一端點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)FI（一2,0）,尸2（2,0）連線所構(gòu)成的三角形為等邊三角形.

10

答案:

解析：

(1)設(shè)出橢圓方程，根據(jù)短軸長(zhǎng)和離心率求出a=2,b=l,從而求出橢圓方程；(2)短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)相連

所得的線段長(zhǎng)即為a,從而求出b,得到橢圓方程.

(1)回

設(shè)橢圓方程為1+言=1(a>b>0),

a2b2v/

則2b=2,b=l,貝「=生更=回三=立，解得:a=2,

aaa2

則該橢圓的方程為t+/=l.

4

(2)團(tuán)

設(shè)橢圓方程為馬+1=1(a>b>0),

a2b2

由題得：c=2,a=2c=4,則〃=a2—c2=12,

則該橢圓的方程為1+(=1.

18、已知圓C與x軸相切于點(diǎn)丁(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方)，且|A8|=|.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓。：爐+戶=1相交于M,N兩點(diǎn).求證：黑為定值，并求出這個(gè)定值.

答案：

(1)(x-1)2+(y--)2=-.

7416

(2)證明見解析，!

解析：

(1)通過(guò)條件求出圓心及半徑即可；

(2)設(shè)出M(cosa,sina),再通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出公式，再化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

(1)

過(guò)C向y軸作垂線，垂足為P,則|CP|=1,18Pl=：|AB|=|,

圓C的半徑為|BC|="P2+BP?=故C(l,

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-1)2+(y_》2=2

416

(2)

由(1)可知A(0,1),B(0,2),

設(shè)M(cosa,sina),則=cos?。+(s譏a-1)=|—sina

11

\MB\2=cos2a+(sina-2)2=5-4sina.,.7^7==i,

11''|MB|25-4stna4

故揣為定帽.

19、設(shè)向量4=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).

(1)求忖+2可；

(2)若1=+尢〃eR,求4+〃的值；

(3)若同=益+譏BC=a-2b,CD=4a-2b,求證：A,C,。三點(diǎn)共線.

答案：

(1)1

(2)2

(3)證明見解析

解析：

(1)先求1+2另=(1,0),進(jìn)而求忖+2同；(2)列出方程組，求出｛)；］，進(jìn)而求出％+〃；(3)求出前=

2a-b,從而得到下=42-=2元，得到結(jié)果.

(1)

a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),\a+2b\=VTTo=1；

(2)

(4,-5)=