小學數(shù)學解題常用思維方法的應用

小學數(shù)學解題常用思維方法的應用摘要在平時的教學過程中，學生經(jīng)常因為找不到適合的解題思維方法而止步不前。針對這個問題，我對小學數(shù)學常見的解決問題題型進行歸納整理。結(jié)合小學生的思維特點，我覺得可以從直觀思維、對號入座思維、邏輯推理思維、轉(zhuǎn)化思維、找不變量思維、假設(shè)思維、逆推思維這些思維方法入手，幫助學生快速有效的解決相應問題。教學中，我通過各種題型滲透相應的思維方法，讓學生從中感悟、并選擇合適的思維方法解題。多次實踐后，不但提高了學生的解題速度及正確率，還增強了他們學習數(shù)學的信心。關(guān)鍵詞數(shù)學思維方法；直觀思維方法；對號入座思維方法；轉(zhuǎn)化思維方法1.研究背景與意義?數(shù)學教育研究者關(guān)于對數(shù)學思維方法的研究非常重視，這項研究是一個不斷發(fā)展的學科。在心理學方面，已經(jīng)研究出來并討論了有關(guān)數(shù)學思維以及因此產(chǎn)生的一些規(guī)律及方法。數(shù)學教育研究者的任何的活動都離不開思維，而數(shù)學思維方法的不斷學習應用，能促進學生智力水平的發(fā)展，也能體現(xiàn)智力水平。因為數(shù)學本身的特點，數(shù)學教育背負著“發(fā)展兒童的思維”的重任，現(xiàn)代教育觀點認為，數(shù)學教學其實就是指數(shù)學思維活動的教學。人類是解決問題的動物，解決問題是人類活動的特征。伯利亞強調(diào)，解決問題是數(shù)學學習的重心，而解決數(shù)學問題依靠的正是數(shù)學思維。數(shù)學思維本身不是數(shù)學的一個知識點，卻又隱藏在數(shù)學學習的每一個方面，就像植物的根莖能給植物的每一部分輸送生存所需要的養(yǎng)分。數(shù)學思維方法的概念及應用的界定我們所說的數(shù)學思維方法是針對數(shù)學所研究對象的本質(zhì)和規(guī)律的不直接的反映，并且運用常見的思維規(guī)律進行學習數(shù)學的過程。解決數(shù)學題的思維過程其實包括對問題的理解，選擇數(shù)學思維中合適的方法，使問題變得容易解決的這樣的過程的活動。數(shù)學之道，即數(shù)學思維。簡單講就是用數(shù)學的抽象模型（比如代數(shù)，量化等）來思考問題的思維模式舉個例子，一個不透明正方體能不能看到4個面，因為正方體的6個面兩兩平行一共有3組，而平行的兩個面你無法同時看到，因此用數(shù)學的方法你就知道了最多看到3個面，這就是最簡單的數(shù)學思維。想要讓學生善于運用數(shù)學思維解題，首先應該引導學生要重視對基礎(chǔ)知識的認識與應用，如數(shù)學概念的學習是運算的基礎(chǔ)，概念的準確理解是學好數(shù)學的前提；其次是對基本技能的認真學習，沒有可靠的基本功，應用數(shù)學思維方法解題就不能做到得心應手；再次是提高學生觀察能力，分析題意的能力，這是選擇適合思維方法來解題的關(guān)鍵。3.小學數(shù)學解題常用的數(shù)學思維方法及其講與練3.1直觀形象思維小學生的特點是以直觀形象思維為主，所以在平時課堂上對知識的傳授離不開直觀形象思維。如：學習數(shù)字時，老師就會把數(shù)字設(shè)計成卡通形象的圖案，如：1像樹枝細又長，2像小鴨水上漂，3像耳朵……。在解決數(shù)學問題時，直觀形象思維經(jīng)常能夠幫助我們將復雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀的數(shù)量關(guān)系，幫助我們理解題意，讓我們能迅速找到解決問題的切入點。下面我將運用直觀形象思維方法，采用圖表直觀的形式，圖形直觀的形式，圖像直觀的形式來解決的數(shù)學題型列舉如下：3.1.1圖表直觀在解決數(shù)學問題時，表格把條件和問題進行整理，夠能發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，找出突破口，順利解題?；蛘甙呀鉀Q此題可能的方案整齊有序的列舉在表格中，選擇最佳答案。如：用一定長度的籬笆圍地的方法，雞兔同籠類問題，租車問題，住賓館問題，這些都可以采用圖表直觀的方法進行解決。注意：列表的過程中要有序，注意不重復、不遺漏。例1：要用24分米長的繩子圍成一個長方形，一共能圍成幾種？圍成它們的面積各是多少？（長度取整分米數(shù)）分析：用24分米的繩子圍成一個長方形，那么也就是告訴我們它們的周長是24分米，那么長與寬的和就是24分米的一半，也就是24÷2=12（分米）。長／分米11109876寬／分米123456面積／平方分米112027323536表.2圖形直觀通過用畫線段圖或直觀圖的方法把數(shù)量關(guān)系表示出來，使題意形象具體更加直觀，方便較快找到解題的途徑，對解決數(shù)量關(guān)系復雜的題型能起到化難為易的目的。如：與分數(shù)、百分數(shù)相關(guān)的單位“1”問題，與年齡相關(guān)的倍數(shù)問題都可以采用。注意畫線段圖時，圖示比例要恰當。例2：小華兩天看完一本故事書，第一天看了40%，如果第一天多看38頁，那么第二天他需要再看全書的一半就可以把這本書看完。小華這兩天各看了多少頁？這道題中數(shù)量關(guān)系復雜，具體值和分數(shù)的對應關(guān)系不明顯。因此，我們需要借助線段圖進行分析。本題中用分數(shù)表示第一天及第二天看書的頁數(shù)與本書的關(guān)系，很明顯與單位“1”問題相關(guān)，遇到類似問題，就可以想到采用直觀形象思維方法中的的用線段圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，使得相應數(shù)據(jù)的對應關(guān)系一目了然，方便進行下一步分析，如圖3.1.2。第一天看全書的40%第二天看書的1－40%第二天看全書的50%第一天多看38頁第二天看全書的50%第一天多看38頁第二天看？頁第二天看？頁第一天多看？頁（圖3.1.2）解：第一天：38÷（1—40%—50%）×40%=38÷10%×40%=152（頁）第二天：38÷（1—40%—50%）×50%+38=38÷10%×50%+38=228（頁）答：第一天看了152頁，第二天看了228頁。3.1.3圖像直觀當在進行一些統(tǒng)計工作時，根據(jù)不同的統(tǒng)計要求需要選擇不同的統(tǒng)計方法，這是我們經(jīng)常會想到直觀形象的統(tǒng)計圖種類，如：（1）想要能夠看出每一項統(tǒng)計內(nèi)容的具體數(shù)據(jù)，可以選用條形統(tǒng)計圖；（2）想要看出數(shù)據(jù)的變化情況，選用折線統(tǒng)計圖；（3）想要看出每一個部分占總體的百分比，選扇形統(tǒng)計圖。例3:二年級（1）班同學的右眼視力情況調(diào)查，統(tǒng)計如下。5.04.95.35.24.75.24.85.15.35.24.85.04.55.14.95.14.75.04.85.15.05.15.14.95.05.15.25.14.65.05.04.84.95.14.95.14.65.14.75.1（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)完成下面的統(tǒng)計表3.1.3。左眼視力4.5～4.74.8～5.05.1～5.3人數(shù)61618觀察上面表中的數(shù)據(jù)，選擇并且制作合適的統(tǒng)計圖。（圖3.1.3）（3）視力在（5.1～5.3）的人數(shù)最多，（4.5～4.7）的人數(shù)最少。本題中的第（2）問就需要應用圖像直觀思維方法進行解決。3.2.對號入座思維方法在一年級上冊學習比較大小時，老師就是通過給小動物們分物品一課給學生們滲透了一一對應的思想。正是對應思想的滲透，讓我們在解決一些蘊含著運算關(guān)系式，公式等常見的數(shù)量關(guān)系式的問題，可運用對號入座的思維。例4：星期天媽媽帶領(lǐng)一家共4口人去游樂場游玩，買門票共花去了96元，每人花費門票多少元？此題讀完之后，很容易讓人想到與購物相關(guān)的公式：單價×數(shù)量=總價，通過解讀題中的數(shù)量名稱，可以寫出：單價×數(shù)量=總價，↓↓↓？4人96元就有列式：96÷4=24（元）答：每人花費門票24元。3.3邏輯推理思維方法當我們遇到的數(shù)學問題比較復雜，不能通過一步就進行解決時，我們要通過找到不同的問題突破口進行邏輯推理，使得原本復雜的問題解決起來條理更加清晰。這種邏輯推理的思維方法有兩種：（1）分析法：從問題入手，一步一步向前推理，找到首先要解決的問題，最終達到解決本問題的目的；（2）綜合法：從條件入手，進行逐步推理。這兩種方法常用在與公式相關(guān)的解決問題當中。3.3.1分析法：對于復合應用題的解法，通過對問題的分析，分析解決問題需要的條件，從而在題中尋找已知的有用的數(shù)學信息，通過一步步的邏輯推理達到最終解決問題的目的。這種方法就像是解開一個復雜的結(jié)，關(guān)鍵要找到線的一頭。下面通過例題去感悟這種方法。例5：某工程隊鋪一條長14.4千米的公路，原計劃30天完工，，實際提前6天就鋪完了這條公路，原計劃每天比實際每天少鋪路多少千米？原計劃每天比實際每天少鋪多少千米？原計劃每天比實際每天少鋪多少千米？計劃每天鋪多少千米？計劃每天鋪多少千米？實際每天鋪多少千米？－實際多少天完工？÷公路長14.4千米實際多少天完工？÷公路長14.4千米÷計劃30天完工÷計劃30天完工公路長14.4千米——-————-——－實際提前6天完成任務原計劃30天完工（圖3.3.1）解：實際用多少天完成了任務：30－6=24（天）實際每天鋪多少千米：14.4÷24=0.6（千米）計劃每天鋪多少千米：14.4÷30=0.48（千米）原計劃每天比實際每天少鋪多少千米：0.6－0.48=0.12（千米）答：原計劃每天比實際每天少鋪0.12千米。這類題都可以從問題入手進行分析，找到合適的解決問題的思維方法要通過多做題，多總結(jié)再加上多練習才能鞏固自己的認知。3.3.2綜合法從已知條件入手，逐步解決問題，直到求出結(jié)果。已知條件與公式聯(lián)系緊密的題型，可以采用這種方法。如下題：×例6：匯之源果汁廠有蘋果200噸，原來每天消耗2.5噸蘋果榨汁，生產(chǎn)20天后，剩下的每天只生產(chǎn)1.2噸。還可以生產(chǎn)多少天？×每天生產(chǎn)2.5噸已生產(chǎn)了每天生產(chǎn)2.5噸已生產(chǎn)了20天－存蘋果200噸已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸？－存蘋果200噸已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸？每天只生產(chǎn)1.2噸÷每天只生產(chǎn)1.2噸÷還剩下多少噸？還可以生產(chǎn)多少天？還可以生產(chǎn)多少天？（圖3.3.2）解：已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸：2.5×20=50（噸）還剩下多少噸：200－50=150（噸）還可以生產(chǎn)多少天：150÷1.2=125（天）綜合算式：（200－2.5×200）÷1.2=125（天）答：還可以生產(chǎn)125天。3.4轉(zhuǎn)化思維方法：3.4.1.轉(zhuǎn)化思維在陰影面積中的應用在面對一些較復雜的陰影面積問題時，可以運用轉(zhuǎn)化思維方法，把不能直接求出面積的圖形用割補或旋轉(zhuǎn)拼接的方法，轉(zhuǎn)化為可以用面積公式逐步解決的問題。例7：求陰影部分的面積（單位：厘米）圖a圖b（圖3.4.1）圖a：將陰影部分的面積拼湊后，陰影面積就可以轉(zhuǎn)化為求邊長為4厘米的正方形與半徑是4厘米的四分之一圓的面積的差。4×4=16（平方厘米）3.14×4×4÷4=12.56（平方厘米）陰影面積：16—12.56=3.44（平方厘米）圖b：陰影面積是一片葉子圖形，可以添加輔助線，使陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為二倍的四分之一圓的面積與等腰三角形的面積的差。通過觀察整理，其實就是半個圓的面積減去正方形的面積。你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思維很神奇。3.14×4×4÷2=25.12（平方厘米）4×4=16（平方厘米）25.12—16=9.12（平方厘米）3.4.2.轉(zhuǎn)化思維在簡便運算中的應用在解一些用簡便方法解決的計算題時，通常采用各種運算律或者運算性質(zhì)，將不能直接運用運算律簡便的算式轉(zhuǎn)化為具有運算律特點的形式進行簡便。例8：9.99×22.2+33.3×3.34=33.3×3×2.22+33.3×3.34……運用積不變的規(guī)律將數(shù)拆成使算式有共同乘數(shù)的形式，轉(zhuǎn)化為可以用乘法分配律的形式。=33.3×6.66+33.3×3.34……運用乘法分配律的進行運算=33.3×（6.66+3.34）=33.3×10=333轉(zhuǎn)化思維方法還可用在幾人合作的工程問題中，單位“1”問題中。3.5找不變量思維方法當我們在解決有關(guān)公式的一些問題時，如果在題中存在一個不變的量，可以考慮列方程解，通常面對這樣的題型我們用的是找不變量的思維方法。3.5.1找不變量思維方法在行程問題中的應用例10.一艘輪船所帶的燃料最多可以用24小時，出發(fā)時是順水，速度是30千米／時，返回時的速度是24千米／時。這艘輪船最多駛出多遠就要返回？分析：本題中路程、時間、速度，這三者中，往返速度不同，路程卻是相同的，往返時間不同，但時間之和是24小時。找到這個不變量，可以列出的等式中只含有一個未知數(shù)，我們就可以列方程解決。解：設(shè)這艘輪船最多駛出X小時就要返回，則返回的時間是（32—X）小時，30X=24（24—X）30X=24×24—24X30X+24X=57654X=576X=32／3答：這艘輪船最多駛出32／3小時就要返回。3.5.2找不變量思維方法在濃度問題中的應用例11：實驗準備有甲、乙兩種鹽水，其中甲鹽水含鹽150克，含水150克；乙鹽水含鹽150克，含水350克。想要配成濃度為42%的鹽水500克，每種鹽水應取多少克？分析：本題可找到不變量可設(shè)取甲鹽水X克，則取乙水鹽（500-X）克，繼而根據(jù)“混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變”；列出方程解答即可。解：設(shè)取甲鹽水X克，則取乙水鹽（500-X）克。甲鹽水的濃度是：150÷（150+150）=50%，乙鹽水的濃度是：150÷（150+350）=30%由題意，得50%X+（500-）X×30%=500×42%50%X+150—30%X=21020%X=60X=300500-x=200答：取甲鹽水300克，乙鹽水200克。如上題例10是往返路程不變，例11是混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變，都可以列方程解決。像這樣用找不變量思維方法的題型還有：分配物品，分法不同結(jié)論不同的盈虧問題，雞兔同籠類問題等。3.6假設(shè)思維方法假設(shè)思維是針對題中數(shù)量關(guān)系復雜，直接根據(jù)題中原本條件不易解答，可用用假設(shè)思維解題?？上确治鲆阎獥l件，假設(shè)題目中個別的條件，分析題中的其它條件，能發(fā)現(xiàn)一些巧妙的解題方法，讓問題方便解決。常見的“雞兔同籠”類問題，運易碎品問題，答對題數(shù)與總得分的題型，都可以應用假設(shè)思維解題。例12：學期末到來了，班里為孩子們準備獎品，普通橡皮每塊0.5元，動物橡皮每塊0.7元，兩種橡皮共買了32塊，花了18.4元。班里買來普通橡皮、動物橡皮各幾塊？分析：這道題我們可以看成“雞兔同籠”類問題解決，可以把這里的普通橡皮單價看成雞腳數(shù)，動物橡皮的單價可以看成兔腳數(shù)，橡皮的總數(shù)可以看成雞和兔的總頭數(shù)，橡皮總價錢看成是雞與兔的總腳數(shù)。通過假設(shè)法，假設(shè)都是雞的話，利用公式：兔數(shù)=（總腳數(shù)—假設(shè)雞總腳數(shù)）÷雞兔腳數(shù)差，進行計算。列式如下：動物橡皮的塊數(shù)：（18.4-0.5×32）÷（0.7—0.5）……假設(shè)都是“雞”，（普通橡皮）=2.4÷0.2=12（塊）……計算出來的都是“兔”的只數(shù)（動物橡皮）普通橡皮塊數(shù)32—12=20（塊）答：班里準備普通橡皮20塊，動物橡皮6塊。3.7.逆推思維方法有些題型用順向思維很難解決，如果從問題的結(jié)果出發(fā)，從后往前逐步推理，問題就很容易得到解決。這種從條件或問題倒著往回尋求解法的解題思路就是逆推法。用本方法的題的特點：開始的數(shù)量都不知道，知道變化的過程，且能較快推算出結(jié)果的數(shù)量，需要求原來的各自的數(shù)量。例13：孫悟空給小猴子準備了一些桃子，小猴子第一天吃了這些桃子的一半多一個，第二天吃了剩下的一半多一個，第三天仍然吃掉了剩下的一半多一個，第四天小猴子癡吃掉了剩下的最后2個桃子。孫悟空給小猴子準備了多少個桃子？分析：從這道題中我們可以發(fā)現(xiàn)，桃子的總數(shù)不知道，是我們要求的。而每一次吃掉的都是之前剩