人教A版(選修)生活中的優(yōu)化問題舉例三課時

教學(xué)目標(biāo)：掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值和最小值的方法.會求一些實際問題〔一般指單峰函數(shù)〕的最大值和最小值.-------面積、容積最大〔最小〕問題教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法.用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最值的方法步驟教學(xué)難點：對最值的理解及與極值概念的區(qū)別與聯(lián)系.求一些實際問題的最大值與最小值〔三課時〕第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用人教版A數(shù)學(xué)選修2-2§1.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)知識回顧一、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在

某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。如何用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值？一般地，假設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么求f(x)的最值的步驟是：〔1〕求y=f(x)在[a，b]內(nèi)的極值(極大值與極小值)；〔2〕將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么這個極值一定是最值。復(fù)習(xí)鞏固知識背景：生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數(shù)學(xué)選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【1】想一想！看一看！

這是什么？？？海報！

如果你是制作海報的？海報的大小對你有什么影響？？？例：海報版面尺寸的設(shè)計

學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設(shè)計出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報四周的面積來？

例題

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。解法二：由解法(一)得例題2、在實際應(yīng)用題目中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點x0，則不需與端點比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結(jié)果符合問題的實際意義。解題說明練習(xí)1：將一段長為12cm的鐵絲圍成一個矩形，那么這個矩形面積的最大值為多少？解：結(jié)論：周長為定值的矩形中，正方形的面積最大。

練習(xí)練習(xí)2:某養(yǎng)雞場是一面靠墻,三面用鐵絲網(wǎng)圍成的矩形場地.如果鐵絲網(wǎng)長40m,問靠墻的一面多長時,圍成的場地面積最大?y′=-x+20令y′=0得,x=20當(dāng)0<x<20時,y′>0,當(dāng)20<x<40時,y′<0.∴x=20時,y最大=20×10=200.答:靠墻的一面長20m時,圍成的場地面積最大,為200m2.

練習(xí)練習(xí)3:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時,箱子容積最大?最大容積是多少?xh

練習(xí)xh解：設(shè)箱底邊長為x,箱子容積為由解得x1=0(舍),x2=40.當(dāng)x∈(0,40)時,V'(x)>0;當(dāng)x∈(40,60)時,V'(x)<0.∴函數(shù)V

(x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數(shù)V

(x)的最大值.答當(dāng)箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大,最大值為16000cm3練習(xí)4:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.那么外表積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答:罐高與底的直徑相等時,所用材料最省.由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問題的根本思路是：優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程。

小結(jié)解決生活中的優(yōu)化問題的根本步驟1、建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式；2、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點;3、確定最大（?。┲担?、作答。

小結(jié)要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則其高為（）

B.100C.20D.A.練習(xí)5:A課后練習(xí)作業(yè)P37習(xí)題1.4A組5第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數(shù)學(xué)選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【2】

問題

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?情景問題規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價格如下表所示，那么〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(２〕瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤：解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是例題當(dāng)半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越小，利潤越低．1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大例題思考！練習(xí)1:某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢為c=2500+200x+x2(元).(1)要使平均本錢最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?(2)假設(shè)產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?答:生產(chǎn)100件產(chǎn)品時,平均本錢最低為250元.練習(xí)練習(xí)2：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢為假設(shè)要使平均本錢最低，那么每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：設(shè)平均本錢為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，那么∴每天應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品

練習(xí)練習(xí)3：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢為:變題：假設(shè)受到設(shè)備的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，那么要使平均本錢最低，每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？解：設(shè)平均本錢為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，那么練習(xí)練習(xí)4：某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的本錢為變題：假設(shè)受到產(chǎn)能的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品，那么要使平均本錢最低，每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？∴函數(shù)在(0，1000)上是減函數(shù)故每天應(yīng)生產(chǎn)800件產(chǎn)品練習(xí)根本不等式法：“一正、二定、三相等、四最值〞；導(dǎo)數(shù)法：一定義域、二導(dǎo)數(shù)符號、三單調(diào)性、四最值〞。歸納練習(xí)5.某商品每件本錢9元,售價為30元,每星期賣出432件,如果降低價格,銷售量將會增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x≤30)的平方成正比,商品單價降低2元時,一星期將多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù);(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?練習(xí)解：(1)設(shè)商品降價x元,那么多賣出的商品件數(shù)為kx2,假設(shè)記商品一個星期的獲利為f(x),那么依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由條件,24=k×22,于是有k=6.∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].練習(xí)(2)根據(jù)(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘故x=12時,f(x)到達極大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴定價為30-12=18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大.練習(xí)【用料問題】練習(xí)6：(2021·湖南高考)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最小?

練習(xí)練習(xí)練習(xí)作業(yè)P37習(xí)題1.4A組6第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用吳川一中

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陳智敏高二【16、22】專用人教版A數(shù)學(xué)選修2-2§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【3】問題3、磁盤的最大存儲量問題(1)你知道計算機是如何存儲、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個圓環(huán)狀的磁盤存儲盡可能多的信息？例題Rr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲量越大？(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？例題解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，每比特所占用的磁道長度不得小于n，且最外面的磁道不存儲任何信息，所以磁道最多可達又由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可到達所以，磁道總存儲量〔1〕它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大.例題解：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)(2)為求f(r)的最大值，先計算例題解得例題練習(xí)1：甲?乙兩地相距400千米,一汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過100千米/時.該汽車每小時的運輸本錢t(元)關(guān)于速度x(千米/時)的函數(shù)關(guān)系式是(1)當(dāng)汽車以60千米/時的速度勻速行駛時,全程運輸本錢為多少元?(2)為使全程運輸本錢最少,汽車應(yīng)以多少速度行駛?并求出此時運輸本錢的最小值.練習(xí)[分析]根據(jù)全程運輸本錢=每小時運輸本錢×運輸總時間建立函數(shù)關(guān)系式,然后利用導(dǎo)數(shù)方法求最值.答:汽車以60千米/小時的速度勻速行駛時,全程運輸本錢為1500元.練習(xí)練習(xí) 練習(xí)3.某單位用2160萬元購得一塊空地,方案在該塊地上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房,經(jīng)測算,如果將樓房建為x(x≥10)層,那么每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用練習(xí)答:為了樓房每平方米的綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為15層.練習(xí)【汽油使用效率何時最高】我們知道，汽油的消耗量w(單位:L)與汽車的速度v(單位:km/h)之間有一定的關(guān)系，汽車的消耗量w是汽車速度v的函數(shù).根據(jù)實際生活，思考下面兩個問題：〔1〕是不是汽車的速度越快，汽油的消耗量越大?〔2〕當(dāng)汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是車速慢的時候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說汽油的使用效率越高〔即越省油〕。假設(shè)用G來表示每千米平均的汽油消耗量，那么這里的w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程如何計算每千米路程的汽油消耗量？例、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車行駛的平均速度v〔單位:km〕之間，有如圖的函數(shù)關(guān)系g=f(v)，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來解決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，這里w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程∵w=gt，s=vtP(v，g)的幾何意義是什么？如下圖，表示經(jīng)過原點與曲線上的點P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當(dāng)直線OP為曲線的切線時，即斜率k取最小值時，汽油使用效率最高例3、經(jīng)統(tǒng)計說明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y〔升〕關(guān)于行駛速度x〔千米/小時〕的函數(shù)解析式可以表示為：假設(shè)甲、乙兩地相距100千米?！睮〕當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油為升;〔II〕假設(shè)速度為x千米/小時，那么汽車從甲地到乙地需行駛小時，記耗油量為h(x)升，其解析式為:.(III)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？17.5

例3、經(jīng)統(tǒng)計說明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y〔升〕關(guān)于行駛速度x〔千米/小時〕的函數(shù)解析式可以表示為：假設(shè)甲、乙兩地相距100千米。(III)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：設(shè)當(dāng)汽車以xkm/h的速度行駛時，從甲地到乙地的耗油量為h(x)L，那么xy練習(xí)：如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),那么A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令