2022年貴州高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

2022年貴州高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.若z=—l+百i,則—()

ZZ-1

A.—1+B.—1-y/3iC.——+iD.-------——i

3333

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3設(shè)全集。={-2,—1,0,123},集合4={-1,2},3=何X2-4X+3=0}廁d(AIJB)=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體

A.8B.12C.16D.20

5.函數(shù)y=（3、-3-*）cosx在區(qū)間-方］的圖像大致為（）

X

A.—1B.----C.-D.1

22

7.在長方體ABC。-A旦中，已知月。與平面ABC。和平面8所成的角均為

30°，貝U()

A.AB=2ADB.4/3與平面ABtCtD所成的角為30°

C.AC=C4D.B.D與平面BB￡C所成的角為45°

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的"會圓術(shù)"，

如圖，是以。為圓心，》為半徑的圓弧，。是的四中點，〃在上，8,"會

CD2

圓術(shù)"給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+k當(dāng)04=2,ZAOB=60。時，

OA

s=（）

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，

體積分別為%和力.若"=2,則卜()

S乙7乙

A.y/5B.2V2C.VioD.更邁

x2y2

橢圓c：/+〉l…＞。）的左頂點為4,點匕。均在。上，且關(guān)于y軸對稱.若

直線”，加的斜率之積為;，則，的離心率為（）

A.正B.立C.1

D

2224

兀

11.設(shè)函數(shù)/（無）=sina)x-\~—在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則（0的取值范

3

圍是()

*「513、c[519)°f1381cf1319-

L36JL36J163」(66」

3111

12.已知。=—,〃=cos—,c=4sin—，則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)向量a,8的夾角的余弦值為g,且|a|=l,傳|=3,則(2a+b)b=.

14.若雙曲線V一_?=l(m>0)的漸近線與圓工2+/一4丁+3=0相切，則

m'

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為—.

AQ

16.已知△ABC中，點〃在邊BC上,ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得

AB

最小值時,BD-________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

2V

記S,,為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和.已知—+〃=2%+1.

(1)證明：｛4｝是等差數(shù)列；

(2)若%，%，4成等比數(shù)列，求S”的最小值.

18.(12分)

在四棱錐P-ABCD中，PDA.底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,OP=G.

(1)證明：BD±PA；

(2)求加與平面所成的角的正弦值.

19.(12分)

甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，

沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用I表示乙學(xué)校的總得分，求才的分布列與期望.

20.(12分)

設(shè)拋物線C.y2=2px(p>0)的焦點為廣，點￡)(p,0),過尸的直線交，于材，A'兩點.當(dāng)

直線切垂直于x軸時,\MF\=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線M。,ND與C的另一個交點分別為A.B,記直線MN,AB的傾斜角分別為

a，B.當(dāng)。-乃取得最大值時，求直線四的方程.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=^--\nx+x-a.

(I)若〃x"(),求a的取值范圍；

(2)證明：若/(X)有兩個零點芯,々，則環(huán)玉々<1?

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

'2+t

X—

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為6(t為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

y=4t

2+s

x---------

為6(s為參數(shù)).

.y=一&

(1)寫出q的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。3的極坐標(biāo)方程為

2cos。-sine=0,求G與G交點的直角坐標(biāo)，及C,與c2交點的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5:不等式選講］(10分)

已知a,6,c均為正數(shù)，且4+〃+4。2=3,證明：

(1)a+b+2c<3;

(2)若b=2c,則.

理科數(shù)學(xué)解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.若z=-l+&i,則()

ZZ—1

A.-1+V3iB.-l-73iC.一,+烏D.

33

~3--r1

【答案】C

【解析】

【分析】由共輾復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【詳解】z=-l-73i,zz=(-l+V3i)(-l-^i)=l+3=4.

z—1+1.

-----=--------=----1----1

zz-1333

故選：C

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這1。位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

洲85%

越80%*講座前

田75%?講座后

70%.............*-........

65%-……*-..............*

60%t-.......-*...................................

nY----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1_

12345678910

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于7()%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為“%；」5%>70%,所以A錯;

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對;

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確

率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B.

3.設(shè)全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={x|Y—4X+3=0}，則

d(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合區(qū)再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，8=[,2-4%+3=0}={1,3}，所以Au8={-1,1,2,3},

所以6(AuB)={-2,0}.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的

體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V=—x2x2=12.

故選：B.

5,函數(shù)y=（3'-3-'）cosx在區(qū)間一會的圖象大致為（）

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

詳解】令〃x)=(3"-3-A)cosx,xe--,

則/(一力=(3-x-3)cos(r)=-(3，一3-v)cosx=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD;

又當(dāng)時，3「3T>0,cosx>0，所以,f(x)>(),排除C.

故選：A.

b

6.當(dāng)x=l時，函數(shù)f(x)=alnx+一取得最大值-2,則/'(2)=()

x

11

A.—1B.---C."

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知=-2,r(i)=o即可解得凡"再根據(jù)了'(X)即可解出.

【詳解】因為函數(shù)/(X)定義域為(o,+8),所以依題可知，/(1)=-2,r(l)=0,而

1。。

/'(%)=-----,所以。=-2,。-。=。，即。=-2,。=-2,所以--；+—,因

XXXX

此函數(shù)/(X)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，x=l時取最大值，滿足題意，即有

故選：B.

7.在長方體ABCO-ABCQ中，已知耳。與平面ABC。和平面A4MB所成的角均為

30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=C5,D.瓦。與平面所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)AB=a,=4A4,=c,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BQ與平面ABCD^

cb

成角為NBQB,耳。與平面所成角為NO4A,所以sin30,即

￡)(L)OjU

h=c,BQ=2c=-Jcr+b~+c~,解得a=V2c-

對于A,AB^a,AD=b,AB=41AD,A錯誤；

對于B,過8作BE_1的于七，易知BE1平面AB。。,所以AB與平面鉆6。所成

角為/BAE,因為tanN84E=￡=Y2,所以/BAEH30,B錯誤；

a2

22

對于c,AC=y]a+b=V3c,CBt7b=缶,AC^CB,,C窗吳;

生而

對于D,BQ與平面BBC。所成角為NQBC,sinZDB,C=--=-

B]D2c

0<ZDBtC<90,所以ZDB,C=45.D正確.

故選：D.

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，

如圖，A8是以。為圓心，。4為半徑的圓弧,C是的AB中點，。在AB上，，45.“會

2

圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=+詈CD.當(dāng)。4=2,ZAQB=60°

A11-3>/3R11-47309-3g

222

9-4也

~1-

【答案】B

【解析】

【分析】連接OC，分別求出4注0。,8,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

因為。是AB的中點，

所以。C_L4B,

又C0J_A8,所以三點共線，

即。D=Q4=QB=2,

又NAQB=60。，

所以AB=OA=O3=2,

則OC=百，故CD=2-后,

所以產(chǎn)?+空=2+（2一6）111^.

OA22

故選：B.

D

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和治，

體積分別為%和%,若夫2,則*()

J乙V乙

A.75B.272C.V10D.^2

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為4,乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得q=2弓,再結(jié)合圓心角之和可將、4分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩

圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為4,乙圓錐底面圓半徑為弓,

S甲—乃〃_4_

則丁--，

S乙兀以r2

所以4=2弓,

2萬的2冗q.

又ur=2兀,

則牛=i,

21

所以4=丁,弓=丁，

14石

2一

-t7X

乂3-93

以=---

吃

11逑

2

3-X

-9/3

故選：C.

22

10.橢圓C:—+=l（a>b>0）的左頂點為A,點P,Q均在。上，且關(guān)于.v軸對稱.若

直線AP,AQ的斜率之積為:，則C的離心率為（）

4

AV3R拒11

A.o.Cc._Dn.

2223

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)尸（石,工），則。（-x，x）,根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得+2=:，再根據(jù)

-%+Q4

將/用々表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】解：A（—a,0）,

設(shè)P（x，y），則Q（f,y）,

則"”=已也。x

—Xj+CI

故心---------=-T~^=\，

%。-X]+a-%+。4

22從（/百2）

吟+方=1,則W

b2^a2-%12)

所以〃j

-x.2+a24

所以橢圓c的離心率6=￡=、『^=3.

a\a22

故選：A.

11.設(shè)函數(shù)/（無）=sin［公r+］］在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則①的取值范

圍是（）

-513、「519）8-

A.—,—B.—,—C.—，-D.

L36；L36；（63」

（1111

I6,6.

【答案】C

【解析】

7T

【分析】由X的取值范圍得到+§的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，

解得即可.

【詳解】解：依題意可得。＞0,因xe（o,乃），所以。龍+5G,

要使函數(shù)在區(qū)間（0,〃）恰有三個極值點、兩個零點，又y=sinx,xe（q,3?）的圖象如下

所示：

故選：C.

12.已知。==cos—,c=4sin—，貝!J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.

a>c>b

【答案】A

【解析】

c1

【分析】由7=4tan：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù)

b4

1,

/(X)=COSX+-X2-1,XG(0,+OO)，利用導(dǎo)數(shù)可得人"，即可得解.

cl(兀、

【詳解】因為一=4lan-,因為當(dāng)0,—|,sinx<x<tanx

b4k2)

所以tan^〉!，即所以c>8;

44〃

12

iS/W=cosx+—x-1,xG(0,+oo),

/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

則/([J>/(°)=。,所以cos>0,

所以…，所以c>b>a,

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量a,〃的夾角的余弦值為:，且卜|=1,M=3,則(2。+。)為=.

【答案】11

【解析】

【分析】設(shè)a與的夾角為。，依題意可得cos6=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出a為,最

后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)a與b的夾角為。,因為“與的夾角的余弦值為g,即cos6=；,

又=1,"=3,所以ad=WJ4cose=lx3xg=l,

所以（2Q+〃）?/?=2〃?〃+/?=2。?/?+忖=2x1+3?=11.

故答案為:11.

2

14.若雙曲線V-二=1（m>0）的漸近線與圓產(chǎn)+/一4），+3=0相切，貝！|

m

m=.

【答案】"

3

【解析】

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半

徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

Y~X

【詳解】解：雙曲線V-W=l（根>0）的漸近線為y=±￡，即尤土沖=0,

不妨取x+my=0,0x2+y2-4y+3=o，即x2+（y-2『=1,所以圓心為（0,2），半

徑廠=1,

依題意圓心（0,2）到漸近線x+加y=0的距離d=產(chǎn),=1,

yl+m~

解得"2=］叵或相=-（舍去）.

33

故答案為：且.

3

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為______.

【答案】卷.

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有〃=C；=7（）個結(jié)果，這4個點在同一個平面

m126

的有利=6+6=12個，故所求概率「=—===二.

n7035

故答案為：—.

AC

16.已知ABC中，點。在邊8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)「取得最

AB

小值時，BD=.

【答案】73-1##-1+73

【解析】

Ar-

【分析】設(shè)CD=23。=2加>0,利用余弦定理表示出一二后，結(jié)合基本不等式即可得

AB-

解.

【詳解】設(shè)8=250=2m>0,

則在ZVlB。中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=w2+4+2//?,

在AACO中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4-4m,

AC2_4濟(jì)+4-4-_4(m2+4+2/〃)-12(1+加)__12

所以AB?m2+4+2mm2+4+2mm+l)+-^—

m+l

>4——.—12-------^4-273

2.(m+1)-^—

V)m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=—;即m=6-1時，等號成立，

加+1

AQ

所以當(dāng)—取最小值時,m=

AB

故答案為：V3-1.

HD

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

(一)必考題：共60分.

25

17.記S“為數(shù)列｛4｝的前”項和.已知一上+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛4,｝是等差數(shù)列；

(2)若4，%，%成等比數(shù)列，求S“的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)-78.

【解析】

【分析】(1)依題意可得25“+1=2〃可+〃，根據(jù)4=《:、。，作差即可得到

lSn-S?_vn>2

a?-Ei=1,從而得證；

(2)由(1)及等比中項的性質(zhì)求出生,即可得到｛凡｝的通項公式與前〃項和，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【小問1詳解】

25

解：因為一-+n=2a+l,gp2S?+?2=2na+n?,

nnlt

當(dāng)〃之2時，2sM+(〃-=2(〃-l)4i+(〃-1)②，

①—②得，25〃-2S〃_]——1)=2nan———(n-1),

即2an+2n-\=“一2（〃一1）。“_1+1,

即一=2（〃_1），所以。"一%_I=],〃之2且〃eN*,

所以｛4｝是以I為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由（1）可得知=4+3,%=4+6,%=4+8,

又。4,%,旬成等比數(shù)列，所以％2=。4/9，

即（4+6『=（4+3>（4+8），解得4=-12,

uui'icnuu、i。n（n-l）12251（25?62

所以a”一〃一13,所以Sn——12"H--------——nn——n—■—

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時（S“）mjn=-78.

18.在四棱錐。一ABC。中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

p

(1)證明：BDA.PA；

(2)求PO與平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】(1)作小，4?于E,CVLAB于產(chǎn),利用勾股定理證明AP_L3￡>,根據(jù)線

面垂直的性質(zhì)可得99,BD,從而可得B。，平面PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得

證；

(2)以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：在四邊形ABCO中，作?！?.他于E,于/,

因為CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以尸=g,

故DE=日,BD=NDE、BE2=G,

所以AD'g=6,

所以AD_LBO,

因為PD_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以,

又PDcAD=D,

所以3。J_平面PA。,

又因24u平面PAD,

所以8D_LQ4；

【小問2詳解】

解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

BD=6,

則A(l,O,O),B(O,G,O),Pe，O,G),

則AP=(_l,0,@,BP=e，_66),QP=(0,0,@,

設(shè)平面的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=-x+y/3z=0

則有｛可取〃=(G1,1),

n-BP——yfiy+-$/3z-0

n-DP_y[5

貝(j

cosmDPHM=T

所以PO與平面所成角的正弦值為與.

19.甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中

獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】(1)0.6;

(2)分布列見解析，￡(X)=13.

【解析】

【分析】(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲

勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，

即可求出期望.

【小問1詳解】

設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為AB,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（?1JBC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x04x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為。/0,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.設(shè)拋物線C:y2=2PHp>0）的焦點為F點D（p,0）過F的直線交C于MN兩點當(dāng)

直線垂直于x軸時，|MF|=3.

（1）求C的方程；

⑵設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線MMAB的傾斜角分別為

a，B.當(dāng)。一，取得最大值時，求直線A8的方程.

【答案】（1）y2=4x;

（2）AB:x=&y+4.

【解析】

【分析】（1）由拋物線的定義可得|MF|=P+5,即可得解；

（2）設(shè)點的坐標(biāo)及直線MN-.x^my+\,由韋達(dá)定理及斜率公式可得kMN=2kAB,再由

差角的正切公式及基本不等式可得k.=~，設(shè)直線AB：x=&丫+〃，結(jié)合韋達(dá)定理可

解.

【小問1詳解】

拋物線的準(zhǔn)線為了=-稱，當(dāng)與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p,

此時陽=p+]=3，所以〃=2,

所以拋物線C的方程為V=4A-;

【小問2詳解】

/21(2\/2\/2\

直線MN:x=+1,

x=my+\

由］…可得戶4*4=。--4,

4

k=>1->2=卜r—一）'4-4

由斜率公式可得w一￡_或一乂+必，+M，

4444

直線MO:x=五二2-y+2，代入拋物線方程可得y2一巴士g.y-8=0,

yX

△>°，X%=-8,所以％=2y2，同理可得％=2y，

4_4_QMN

所以心B

%+M2（弘+為）2

又因為直線MM48的傾斜角分別為必，,

所以心"夕=殍=詈,

（兀、

若要使a-/?最大，則月￡0,不

\乙2

設(shè)=2kAB=2k>0，則

la。伍_0=網(wǎng)上螞巨

1+tanatan/3

1歷

當(dāng)且僅當(dāng)7=2火即后=在時，等號成立，

k2

所以當(dāng)￡一￡最大時，kAB^—，設(shè)直線AB:x=&>+”,

2

代入拋物線方程可得V—4及y-4〃=0,

△>°，%乂=-4"=4M%=-16，所以〃=4,

所以直線48:%=向，+4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進(jìn)行化簡，利用韋達(dá)定理得

出坐標(biāo)間的關(guān)系.

21.已知函數(shù)/(x)=《—lnx+x—a.

X

(1)若/(x)2。，求。的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點%,吃,則環(huán)入也<1.

【答案】(1)S,e+1]

(2)證明見的解析

【解析】

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；

(2)利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件,再利用導(dǎo)數(shù)即

可得證.

【小問1詳解】

/(X)的定義域為(0,+8),

令/(X)町得％=1

當(dāng)xe(0,1),/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(1,+co),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增/(%)>/(l)=e+l-a,

若/(x)20,貝ije+l—即“Me+1

所以〃的取值范圍為(f，e+l]

【小問2詳解】

由題知，/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設(shè)X\<1</

1

要證玉々<1，即證芭<一

X2

1(1A

因為王,一e(0,l),即證/&)〉/一

“2W

因為/(%)=/(%)，即證/(工2)>/—

、e—1

即證---lnx+x-xev-Inx——>0,XG（1,+OO）

所以0（x）>0（1）=e,而/<e

所以《一近>0,所以g'(x)>0

X

所以g(X)在(l,y)單調(diào)遞增

QX

即g(x)>g(D=0,所以—-xe*>0

x

1

令〃（尤）=X——,x>1

X

i+42.x—x--1—(X—1)"

h'(x)<0

x2X2尤2

所以〃（x）在（1,+0。）單調(diào)遞減

即/z(x)</z(l)=(