適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破練12圓錐曲線的方程與性質(zhì)

考點(diǎn)突破練12圓錐曲線的方程與性質(zhì)一、必備知識(shí)夯實(shí)練1.已知雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的焦距為45,A.y=±2x B.y=±5xC.y=±12x D.y=±52.(2023河北石家莊一模)被稱為“中國(guó)天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST),是目前世界上口徑最大、靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡(圖1).觀測(cè)時(shí)它可以通過(guò)4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化,此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分.某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個(gè)FAST模型,觀測(cè)時(shí)呈口徑為4米,高為1米的拋物面,則其軸截面所在的拋物線(圖2)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為()圖1圖2A.1 B.2 C.4 D.83.(2023四川成都三診)已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),且與雙曲線x22-y2=1具有相同的漸近線,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A.x28-y24=1C.x24-y22=4.(2023新高考Ⅰ,5)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1,A.233 B.2 C.3 D5.(2021全國(guó)甲,理5)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為()A.72 B.132 C.7 D6.(多選題)(2023山東棗莊二模)已知曲線C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,則()A.C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5B.C2的漸近線方程為x±2y=0C.C1與C2的離心率互為倒數(shù)D.C1與C2的焦點(diǎn)相同7.(2023河南濟(jì)洛平許第四次質(zhì)檢)已知P為拋物線Γ:y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),M(4,2),|PF|+|PM|的最小值為5.若直線l:y=x與拋物線Γ交于除原點(diǎn)O外另一點(diǎn)N,則△OMN外接圓的面積為()A.4π B.8π C.9π D.10π8.(2023全國(guó)乙,理13)已知點(diǎn)A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9.(2023河北張家口一模)已知點(diǎn)F(2,0)為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,-12二、關(guān)鍵能力提升練10.(2023湖南師大附中模擬)兩千多年前,古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線,他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐,得到的曲線稱為“超曲線”,即雙曲線的一支.已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形,平面α∥PQ,當(dāng)平面α過(guò)母線的中點(diǎn)位置時(shí)截圓錐側(cè)面所得曲線記為C,則曲線C所在雙曲線的離心率為()A.233 B.133 C.311.(多選題)(2023廣東茂名二模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x216+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P,Q都在C上,且POA.△PQF2周長(zhǎng)的最小值為14B.四邊形PF1QF2可能是矩形C.直線PB,QB的斜率之積為定值-9D.△PQF2的面積最大值為3712.(多選題)(2023廣東汕頭二模)已知曲線C:x2+y2cosα=1,α∈[0,π],則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C可能是圓,也可能是兩條直線B.曲線C可能是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí),則α越大,橢圓越圓D.當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí),它的離心率有最小值,且最小值為213.(多選題)(2023湖南邵陽(yáng)三模)已知雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì):從右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)F1,如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為A.雙曲線C的方程為x24B.若m⊥n,則|PF1||PF2|=12C.若射線n所在直線的斜率為k,則k∈(-3,D.當(dāng)n過(guò)點(diǎn)M(8,5)時(shí),光由F2→P→M所經(jīng)過(guò)的路程為1014.(2023江蘇南京模擬)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線,切點(diǎn)為T,且|PT|的最小值不小于32三、核心素養(yǎng)創(chuàng)新練15.(多選題)(2023廣東佛山二模)如圖,拋物線Γ1的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l1,焦準(zhǔn)距為4;拋物線Γ2的頂點(diǎn)為B,焦點(diǎn)也為F,準(zhǔn)線為l2,焦準(zhǔn)距為6.Γ1和Γ2交于P,Q兩點(diǎn),分別過(guò)P,Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直,垂足分別為M,N,S,T,過(guò)點(diǎn)F的直線與封閉曲線APBQ交于C,D兩點(diǎn),則()A.|AB|=5B.四邊形MNST的面積為100C.FS·FTD.|CD|的取值范圍為[5,25316.(2023湖北5月模擬預(yù)測(cè))在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不等的外離的球O1與球O2,半徑分別為r和R,且R=4r,使得它們與圓錐側(cè)面和截面相切,兩個(gè)球分別與截面相切于點(diǎn)F,E,在截口上任取一點(diǎn)A,又過(guò)點(diǎn)A作圓錐的母線,分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)B,C,則可知線段AE,AF的長(zhǎng)度之和為常數(shù).若圓錐軸截面為等邊三角形,則截口曲線的離心率是.

考點(diǎn)突破練12圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.C解析由已知得,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,雙曲線的焦距2c=45,解得c=25,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,解得a=2,則b=c2-a2=20-4=4,故雙曲線2.A解析如圖,以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)、對(duì)稱軸為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則設(shè)拋物線的方程為x2=2py,p>0,由題可得拋物線上一點(diǎn)A(2,1),代入拋物線方程可得22=2p×1,所以p=2,即拋物線方程為x2=4y,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1.3.A解析由題意設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y2=λ,代入點(diǎn)(4,2),得162-4=λ,得λ=4,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x4.A解析由題意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,c=a2-b2在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=∴e2=ca∵e2=3e1,∴32=3×a2-15.A解析不妨設(shè)|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=72,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以離心率e=76.BC解析曲線C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1,則曲線C1是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,其中a12=5,b12=1,所以c12故曲線C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a1=25,故A錯(cuò)誤;曲線C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1,則曲線C2是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,其中a22=4,b22=1,所以c22C2的漸近線方程為y=±12x,即x±2y=0,故B正確e1·e2=255×52=1,所以C1與C2的離心率互為倒數(shù)C1的焦點(diǎn)在y軸上,C2的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)位置不同,故D錯(cuò)誤.故選BC.7.D解析依題意,拋物線Γ:y2=2px的焦點(diǎn)Fp2,0,準(zhǔn)線l':x=-p2,過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l'于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)M作MA'⊥l'于點(diǎn)A',交拋物線Γ于點(diǎn)P',連接P'F,如圖,則|PF|+|PM|=|PA|+|PM|≥|MA|≥|MA'|=|P'A'|+|P'M|=|P'F|+|P'M|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí),等號(hào)成立,所以|PF|+|PM|的最小值為4-(-p2)=5,解得p=2由y=x,y2=4x,得點(diǎn)N(4,4),因此|MN|=2,在△OMN中,由余弦定理得cos∠MON=(25)2+(4設(shè)△OMN外接圓半徑為R,由正弦定理得2R=|MN|sin∠MON=210所以△OMN外接圓的面積為πR2=10π.8.94解析因?yàn)辄c(diǎn)A(1,5)在拋物線C上,所以5=2p,所以p=52,所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-p2=-54,所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為9.32解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓的方程可得x12a2兩式相減可得(x1-x2又因?yàn)閤1+x2=2,y1+y2=-1,y1所以代入①可得2a2-12b2=0,化簡(jiǎn)得又因?yàn)閎2=a2-c2,所以a2=4a2-4c2,故離心率e=ca10.A解析如圖,設(shè)平面α∥PQ,平面α與圓錐側(cè)面的交線為曲線C,過(guò)點(diǎn)P且垂直于EF的母線與曲線C交于點(diǎn)M,則PM=MA.過(guò)點(diǎn)A且垂直于PQ的截面交曲線C于點(diǎn)E,F.設(shè)點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),PQ在平面α內(nèi)的射影所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知M為雙曲線的頂點(diǎn).設(shè)OM=a,則可求得點(diǎn)E坐標(biāo)為(2a,a),代入方程x2a2-y2b2=11.ACD解析由PO=OQ,可知P,Q對(duì)于A,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PQ|+|PF2|+|PF1|=|PQ|+8,當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí),|PQ|有最小值6,所以△PQF2周長(zhǎng)的最小值為14,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閠an∠F1AO=cb=73,所以∠F則∠F1AF2<π2,故橢圓上不存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=π2,又四邊形PF1QF2是平行四邊形,所以四邊形PF1QF2不可能是矩形,故B對(duì)于C,由題意得B(4,0),設(shè)P(x,y),則Q(-x,-y),所以kPB·kQB=yx-4·-y(-對(duì)于D,因?yàn)椤鱌F2Q的面積S=12|OF2||yP-yQ|,所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí),|yP-yQ|取最大值6,所以S=12|OF2||yP-yQ|≤12×7×6=37故選ACD.12.ABD解析設(shè)m=cosα,-1≤m≤1,故曲線C的方程可表示為x2+my2=1(-1≤m≤1).對(duì)于A,當(dāng)m=0時(shí),曲線C的方程為x2=1,可得x=±1,此時(shí)曲線C為兩條直線,當(dāng)m=1時(shí),曲線C的方程為x2+y2=1,此時(shí)曲線C是一個(gè)圓,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)0<m<1時(shí),1m>1,曲線C的方程為x2+y21m=1,此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,對(duì)于C,當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí),離心率為e1=1-m=1-cosα,則α越大對(duì)于D,當(dāng)-1≤m<0時(shí),-1m≥1,曲線C的方程為x2-y2-1m=1,此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,此時(shí)離心率為e2=1-1m,由-1≤即它的離心率有最小值,且最小值為2,故D正確.故選ABD.13.AC解析對(duì)于A,由題意可知,a=2,因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線的方程為3x-y=0,所以b2=3,即b=23,所以雙曲線的方程為x24-對(duì)于B,由a=2,b=23,得c2=22+(23)2=16,解得c=4,在△PF1F2中,∠F1PF2=90°,由勾股定理及雙曲線的定義知,|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4a2+2|PF1||PF2|=4c2,即2|PF對(duì)于C,由題意可知,雙曲線的漸近線方程為y=±3x,由雙曲線的性質(zhì)可得射線n所在直線的斜率范圍為(-3,3),故C對(duì)于D,由題意可知,F1(-4,0),當(dāng)n過(guò)點(diǎn)M(8,5)時(shí),由雙曲線定義可得光由F2→P→M所經(jīng)過(guò)的路程為|F2P|+|PM|=|F1P|+|PM|-2a=|MF1|-4=[8-(-4)]2+(5故選AC.14.[35,22)解析∵|PT|=|P當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的右頂點(diǎn)的位置時(shí),|PF2|取最小值,且最小值為|PF2|=a-c,此時(shí)|PT|取最小值.∴(a-c∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),化為5c2+2ac-3a2≥0,即5e2+2e-3≥0,可得35≤e<1.①∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<12可得0<e<22.②由①②可得35≤e<2故橢圓離心率的取值范圍為[35,15.ACD解析設(shè)直線AB與直線l1,l2分別交于點(diǎn)G,H,由題可知|GA|=|AF|=2,|FB|=|BH|=3,所以|GH|=|MN|=10,|AB|=5,故A正確.如圖,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則F(2,0),l1:x=-2,所以拋物線Γ1的方程為y2=8x.連接PF,由拋物線的定義可知|PF|=|MP|,|PF|=|NP|,又|MN|=10,所以xP=3,代入y2=8x,可得yP=26,所以|MT|=|NS|=46,又|MN|=10,故四邊形MNST的面積為406,故B錯(cuò)誤.連接QF,因?yàn)閨QF|=|QT|=|QS|,所以∠QFT=∠QTF,∠QFS=∠QSF,所以∠TFS=∠QFT+∠QFS=∠QTF故FS·FT=0,故C當(dāng)C,D與A,B重合時(shí),|CD|最小,最小值為5,當(dāng)C,D不與A,B重合時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)D在封閉曲線APBQ的上部分,設(shè)C,D在直線l1,l2上的射影分別為C1,D1,當(dāng)點(diǎn)D在曲線BP,點(diǎn)C在曲線AQ上時(shí),|CD|=|CC1|+|DD1|,當(dāng)D與P重合,點(diǎn)C在曲線AQ上時(shí),因?yàn)镻(3,26),F(2,0),直線CD:y=26(x-2)與拋物線Γ1的方程為y2=8x聯(lián)立,可得3x2-13x+12=0,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=133,|CD|=x1+x2+4=253,所以|CD|∈[5,當(dāng)點(diǎn)D在曲線PA,點(diǎn)C在曲線AQ上時(shí),設(shè)CD:x=ty+2,與拋物線Γ1的方程為y2=8x聯(lián)立,可得y2-8ty-16=0,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),則y3+y4=8t,|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8,當(dāng)t=0,即CD⊥AB時(shí),等號(hào)成立,故此時(shí)|CD|∈[8,253當(dāng)點(diǎn)D在曲線PA,點(diǎn)C在曲線QB上時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,|CD|∈[5,253]綜上,|CD|∈[5,253],故D正