特訓(xùn)06 相似三角形壓軸題（浙江中考真題與模擬）（解析版）

特訓(xùn)06相似三角形壓軸題（浙江中考真題與模擬）真題演練一、解答題1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．

(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)若，猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)1(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）由垂徑定理可得，結(jié)合可得，根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可得，通過證明可得；（2）證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得，再根據(jù)，，可證；（3）設(shè)，，可證，，通過證明，進(jìn)而可得，即，則．【解析】（1）解：直徑垂直弦，，，，，，由圓周角定理得，，在和中，，，；（2）證明：是的直徑，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；（3）解：，證明如下：如圖，連接，

，，直徑垂直弦，，，又，，，設(shè)，，則，

，，又，，，，，，，，，在和中，，

，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．2．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對(duì)稱，線段交邊于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點(diǎn)，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱和矩形的性質(zhì)，證明，即可解答；（2）過點(diǎn)作于，設(shè)，則，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；（3）①過點(diǎn)作于，連接，證明，可得，得到，即可解答；②連接，證明，進(jìn)而證明，進(jìn)而證明，可得，再證明，得到，再得到，最后根據(jù)①中結(jié)論，即可解答．【解析】（1）證明：四邊形為矩形，，，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對(duì)稱，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)設(shè)，則，，，四邊形為矩形，，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，，在中，，可得方程，解得（此時(shí)，故舍去0），；

（3）解：①證明：過點(diǎn)作于，連接，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，，，，，，，，即，，，；

②如圖，連接，由題意可得,點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，同理可得，由（1）知，，即，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，由①可得，解得，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合應(yīng)用，涉及軸對(duì)稱變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．模擬演練一、解答題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識(shí)的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．

證明：延長(zhǎng)至，使得，請(qǐng)你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)，，求的值．(2)如圖3，當(dāng)，與的邊垂直時(shí)，求的值．

【答案】證明：見解析；結(jié)論應(yīng)用：(1)；(2)1或或【分析】延長(zhǎng)至，使得，連接，證明，可得，而，則；（1）由，，可得，依題意：：，由結(jié)論可得，則（2）①，則，②，則，點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，③，，分別根據(jù)結(jié)論列出比例式，進(jìn)而即可求解．【解析】延長(zhǎng)至，使得，連接，

，，又平分，．，，，，，而，（1），，

，又，：：，平分，由結(jié)論(1)可得，．（2）①，則，：：，

，，．②，則，點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，：：

，，．③，，，設(shè)，則，，∵，∴，

，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的意義，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）已知，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點(diǎn)F,使，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．．

(1)如圖（1），當(dāng)，求的值．(2)如圖2，若，求m關(guān)于n的數(shù)量關(guān)系．(3)若旋轉(zhuǎn)至A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）如圖1，過作，交的延長(zhǎng)線于，先證明四邊形是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求出m、n的值，即可求解；（2）如圖2，連接，先后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證明、，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過作，交的延長(zhǎng)線于，

四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，故答案為：；（2）如圖2，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，即；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，存在兩種情況：①如圖3，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，，；②如圖4，連接，

同理得：，，，，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形相似是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）在正方形中，、分別是邊、上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)．

(1)判斷線段、的位置關(guān)系并說明理由．(2)連接交于點(diǎn)，連接，如圖②；①若點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②設(shè)正方形的面積為，四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)垂直，理由見解析(2)①；②【分析】（1）垂直．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出，可得結(jié)論；（2）①證明，可得，得到，，再根據(jù)（1）的結(jié)論可得；②設(shè)，則，可得，，，，根據(jù)，可得，，求出，，從而可得，即可求得的值．【解析】（1）線段、的位置關(guān)系：垂直．理由如下：∵四邊形是正方形，，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴線段、的位置關(guān)系：垂直．（2）解：①∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，即，∵，，∴，，∴，∴，即，∴，∴，由（1）知：，∴，∴線段的長(zhǎng)為；②設(shè)，則，∴，，∴，∴，由（1）知：，∴，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖1，菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)、是的中點(diǎn)，連結(jié)、．

(1)填空：________；________．(2)如圖2，將題中條件“”改成“”，其余條件均不變，連結(jié)，猜想、、這三條線段間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的猜想加以證明．(3)在（2）的條件下，連結(jié)．①若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)處時(shí)，求的面積；②在動(dòng)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)猜想：，證明見詳解(3)①②【分析】（1）由是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，可得沿翻折后可得到，可求，，進(jìn)而可求解；（2）過作，交的延長(zhǎng)線于，在中，可求，再證，即可得證；（3）連接交于，連接，可證、、、四點(diǎn)共圓，為圓心，在上，再證，可求，，從而可求，在中，，即可求解；②過作，交于，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，與交于，可得，當(dāng)取最大時(shí)，最大，所以當(dāng)與重合時(shí)，即，最大，即可求解.【解析】（1）解：四邊形是菱形，，，是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，沿翻折后可得到，，，，是的中點(diǎn)，，，．故答案：，．（2）結(jié)論：，證明：如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于，

，四邊形是菱形，，四邊形是正方形，，，由（1）得：，，，

，，，，在中，，；，

，，在和中，（），，．（3）解：①如圖，連接交于，連接，

由（2）得：，，、、、四點(diǎn)共圓，為圓心，四邊形是正方形，，在上，，是的中點(diǎn)，，

，，，，，，，，，，，

由（2）得：，，，，在中，，，，，由（1）折疊得：，．②如圖，過作，交于，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的，與交于，

，，，當(dāng)取最大時(shí)，最大，如圖，當(dāng)與重合時(shí)，即，最大，

，，，，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，對(duì)稱和折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P在的直徑上，四邊形內(nèi)接于，且，，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，①試說明與的面積相等；②已知，設(shè)．記與的面積分別為，．設(shè)，求的最大值，并求此時(shí)x的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，最大值為1【分析】（1）由是直徑可得，再由得出，，最后可證得；（2）①由，，可得，從而得出，可得，從而可得，最后可得結(jié)果；②過點(diǎn)，分別作，于E，F(xiàn)，由可得，設(shè)面積為，得出，從而得出，最后可求得結(jié)果．【解析】（1）∵是直徑，∴，∵∴，∴，∴．（2）①∵，，∴，由（1）知：，∴，∴，∴．∴與的面積相等．②過點(diǎn)，分別作，于E，F(xiàn)，

∵，∴，∵，∴．設(shè)面積為，，由（2）有，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值1．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定及二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江麗水·校聯(lián)考二模）已知，內(nèi)接于，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，直徑經(jīng)過點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，連接，，，求的值．(3)如圖3，在（2）的條件下，和交于點(diǎn)，，若的面積為．（A）求證：________________（找到一對(duì)面積相等的三角形并證明）．（B）求線段________的長(zhǎng)（求出圖中某一線段長(zhǎng)度）．【答案】(1)見解析(2)2(3)，見解析；，見解析【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，由等弧所對(duì)的圓周角相等，可得，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由，，可得，則，，，，，由是直徑，可知，證明，則，進(jìn)而可得的值；（3），如圖3，連接，．證明，則；求圓的半徑；如圖3，連接，．設(shè)，則，，，證明，，則，由，，可得，解得，，設(shè)，則有，求解值即可．【解析】（1）證明：是直徑，是弦的中點(diǎn)，，，．（2）證明：，，，，，，，，，是直徑，，，，；（3），解：如圖3，連接，．

，，，，，，；求圓的半徑；解：如圖3，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則有，，．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的距離，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．7．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考三模）如圖1，在正方形中，E是對(duì)角線延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．①如圖2，若，求的值；②如圖3，與相交于點(diǎn)Q，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明即可；（2）①證明，再列出比例式即可求解；②由①可得，列出比例式，再設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，求出，作于M，根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可．【解析】（1）證明：在正方形中，∴，，∵線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∴∴．（2）解：①在正方形中，E是對(duì)角線延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，

∴，，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，即，解得，（負(fù)值舍去），；②∵，∴，由①可知，，∴，設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)為m，則，∵，∴，解得，（負(fù)值舍去），作于M，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)判定定理進(jìn)行證明推理．8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求證：．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，，，若，，求的長(zhǎng)．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)、，，若，，求菱形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）菱形的邊長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)得出，，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得出，結(jié)合已知條件，即可證明；（2）證明，設(shè)，則．得出，則；（3）延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)．設(shè)，，則．證明，得出，由（）得，．得出，即可求解．【解析】（1）解：，．．．（2）在平行四邊形中，，．．．，．，設(shè)，則．．解得，（舍去）．．（3）延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)．，設(shè)，，則．在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，，，．，即．．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．．，由（）得，．，即，，．，即菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的角平分線兩邊，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對(duì)角線平分，，求證：和為疊似三角形．(2)[嘗試應(yīng)用]在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，，求四邊形的周長(zhǎng)．(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且．若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)23(3)【分析】（1）根據(jù)題目所給“疊似三角形”的定義，即可求證；（2）先證明，得出，則，且根據(jù)，，求出，，，即可求出四邊形的周長(zhǎng)為，（3）過C作的平行線交的延長(zhǎng)線于G，通過證明，得出，再證明，得出，，，根據(jù)，，得出，，最后根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：平分，，在中，，，，，，所以和為疊似三角形；（2）解：∵，，，．，，，，且，，，，四邊形的周長(zhǎng)為：．（3）解：如圖，過C作的平行線交的延長(zhǎng)線于G，，，∵，，，，，，，，為中點(diǎn)，，又，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例以及題目所給“疊似三角形”的定義．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線翻折得到，將沿所在的直線翻折得到，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結(jié)，分別交于點(diǎn)G、H，連結(jié)交于點(diǎn)M，若，①求_________度；②若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)或(3)①；②【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知而，由此可證得四邊形是矩形；而，所以四邊形是正方形；(2)利用翻折先求出，再對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論即可求得答案；(3)①利用利用等腰三角形求出，然后即可得解；②利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明求出，然后利用面積公式求解即可．【解析】（1）解：∵，且和分別是由和翻折得到∴，∴四邊形為矩形又∵，∴四邊形為正方形．（2）設(shè)，則，∴，而∵是等腰三角形∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴∴為或（3）①由(1)知∴∴故答案為：；②∵，∴∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴即，∴∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找相似三角形，對(duì)等腰三角形進(jìn)行正確的分類討論是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．11．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是菱形，其中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，作，交直線于點(diǎn)．(1)在線段上取一點(diǎn)，使，求證：；(2)圖中，．①點(diǎn)在線段上，求周長(zhǎng)的最大值和最小值；②記點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)不能落在的內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)①最小值為，最大值為；②或【分析】（1）根據(jù)證即可得證結(jié)論；（2）①先證明點(diǎn)在線段上時(shí)，是等邊三角形，確定周長(zhǎng)最大時(shí)和最小時(shí)點(diǎn)的位置，從而可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出周長(zhǎng)即可；②找出點(diǎn)落在上的位置，求出的長(zhǎng)，當(dāng)落在上時(shí)，求出的長(zhǎng)，從而確定的取值范圍即可．【解析】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：①如下圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，同（1）可得，，，是等邊三角形，同理可得，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，均是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，最短，如下圖，，，，又，，，，等邊三角形的周長(zhǎng)最小值為：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，過點(diǎn)作于，則，，，在中，，此時(shí)的周長(zhǎng)最大，最大值為：，的周長(zhǎng)最小值為，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，作于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，，，，在中，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，，∴，，∵，，，，，，，，，，，，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是證明三角形相似．12．（2023·浙江寧波·?？家荒＃?）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點(diǎn)重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①

如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)，，直接寫出的長(zhǎng)；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，則的值是否是定值？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①；②；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；②；（3）的值是定值，定值為，理由見解析【分析】（1）①連接，利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到；②連接利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①連接，利用正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②連接，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)即勾股定理即可得到；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解析】解：①連接，如圖，∵四邊形和四邊形和四邊形是正方形，∴，∴三點(diǎn)在一條直線上，∵，，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴，∴；②∵三點(diǎn)在一條直線上，，∴直線和直線所夾的銳角等于，故答案為：；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接，，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴和為等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，即直線與直線所夾的銳角等于，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；②如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵邊的中點(diǎn)為，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．（3）的值是定值，定值為3，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，如圖，∵四邊形為正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，，∴．由（2）①的結(jié)論可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的值是定值，定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)、．將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線相交于點(diǎn)P、Q．(1)四邊形的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；(2)①如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積；(3)在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)矩形，(2)①；②(3)存在點(diǎn)P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ．【分析】（1）根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”即可得出四邊形是矩形．當(dāng)時(shí)，可知，（2）①利用相似三角形的性質(zhì)，求得的比，求得；求得進(jìn)而得出答案；②根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．（3）構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得坐標(biāo)．【解析】（1）解：∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)、，∴，，所以四邊形是矩形；當(dāng)時(shí)，P與C重合，如圖所示：根據(jù)題意．故答案為：矩形；；（2）解：①圖2中，∵，，∴．∴，即，∴，．同理，∴，即，∴，．∴，②圖3，在和中，，∴．∴．設(shè)，在中，，解得．∴．（3）解：存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使．點(diǎn)P的坐標(biāo)是，．過點(diǎn)Q作于H，連接，則，∵，，∴．設(shè)，∵，∴，如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，，在中，，解得，（不符實(shí)際，舍去）．∴，∴．如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∴，．在中，，解得．∴，∴，綜上可知，存在點(diǎn)P，使，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷與性質(zhì)．14．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，圓O為的外接圓，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)D，，點(diǎn)F在上，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連結(jié)，求證：；(3)如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)分別交，于G，H兩點(diǎn)，若，，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形底邊上的三線合一得出，結(jié)合已知條件利用兩角對(duì)應(yīng)相等即可得出結(jié)論（2）連接，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等得出，從而得出，即可得出答案（3）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理得出，再利用得出，從而得出，繼而得出，即可得出答案【解析】（1）解：連接，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．（2）解：連接，∵，∴，∴，，∴∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：作于M，由（2）知，，∵平分，∴，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，設(shè)，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的外角性質(zhì)、含有30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，靈活添加輔助線是解題的關(guān)鍵15．（2023·浙江寧波·?？家荒?/p>