5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（解析版）

5．2．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識點(diǎn)詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選?。R點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．【方法技巧與總結(jié)】（1）求值題型：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；②已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解．求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的順序很容易求解，但要注意開方時(shí)符號的選取．（2）化簡題型：化簡三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．（3）證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡．化簡、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式．證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1（右邊）．【題型歸納目錄】題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值題型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問題題型三：與關(guān)系的應(yīng)用題型四：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式【典型例題】題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知是第二象限角，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】任意角的三角函數(shù)∵，∴，，是第二象限角∴.故選：A例2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)知：，即，且，所以，而終邊在第二或四象限，所以.故選：C例3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．又，所以，．結(jié)合得，，所以．故選：B．變式1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，．故選：C．變式2．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B變式3．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，則，故選：D變式4．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）若為第三象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，.故選：D變式5．（2022·貴州·凱里一中高一期中）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，∴或，因?yàn)?，，所?由及得，∴，所以．故選：A【方法技巧與總結(jié)】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”進(jìn)行變形，如等．（2）平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號的選?。}型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問題例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C．例5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A例6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則＝（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【解析】因?yàn)樗怨蔬x：A變式6．（2022·四川·德陽五中高一階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于函數(shù)，令，解得，所以，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)在角的終邊上，所以，所以；故選：A變式7．（2022·云南德宏·高一期末）若，則（

）A． B．-3 C． D．3【答案】B【解析】由，故選：B變式8．（2022·遼寧·凌源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楣使蔬x:C.變式9．（2022·陜西漢中·高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得．故選：C.變式10．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．題型三：與關(guān)系的應(yīng)用例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則______．【答案】【解析】，解得.因?yàn)?，，所?所以，又，所以．故答案為：例8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，平方得，所以，所以．故答案為：?．（2022·上海南匯中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為_____．【答案】【解析】因，則，即，而，，于是有，所以.故答案為：變式11．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以，故答案為：變?2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則sinαcosα的值為_____．【答案】【解析】，兩邊平方得：，即，解得：.故答案為：變式13．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期中）已知，則_________．【答案】【解析】由題意得，所以，所以因?yàn)椋?，所以，又，解得，所?故答案為：變式14．（2022·浙江省桐廬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所?故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)求值中常見的變形公式（1），，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：；.（2）求或的值，要根據(jù)的范圍注意判斷它們的符號．題型四：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式例10．（2022·江蘇·高一）若0<α<，則＋的化簡結(jié)果是_________.【答案】2cos【解析】原式，∵，∴，∴，，∴原式.故答案為：.例11．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）化簡(1)(2)(3)【解析】（1）；（2）；（3）.例12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）解法一：∵，，∴，分子分母同時(shí)除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．變式15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：．【解析】．變式16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，，，求：(1)的值；(2)方程的兩根及此時(shí)的值．【解析】（1）.（2）由（1）得，所以，解得，所以方程的兩根為，又因?yàn)?，所以，此時(shí)；或，此時(shí)．變式17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：(1)；(2)．【解析】(1)cos40°﹣sin40°；(2)原式=.【方法技巧與總結(jié)】化簡要求（1）項(xiàng)數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）能求值的盡可能求值．題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例13．（2022·全國·高一）（1）化簡：tan（其中α為第二象限角）；（2）求證：1．【解析】（1）；（2）左邊右邊.例14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)；(2).【解析】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.例15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)(2)【解析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可．(1)左邊右邊.即證.(2)左邊右邊.即證：.變式18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【解析】證明：左邊＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右邊，則sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．變式19．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)＝；(2)【解析】（1）左邊==右邊.（2）左邊==右邊.變式20．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：＝.【解析】證明：∵右邊＝＝＝＝＝＝左邊，∴＝.變式21．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）（1）求證：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求證：2sin2α=sin2β+1.【解析】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cos2α）=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，則原等式得證.（2）因?yàn)閠an2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，從而2cos2α=cos2β，于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，則原等式得證.【方法技巧與總結(jié)】證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便．但是，不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”．化簡證明過程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得或，由，得，，所以，所以，所以．故選：B.3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選：D4．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，則可解得，所以.故選：A.5．（2022·江西九江·高一期末）化簡：（是第二、三象限角）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】．當(dāng)是第二、第三象限角時(shí)，原式．故選：C．6．（2022·河南·南陽中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤，又由，可得所以，故D錯(cuò)誤，聯(lián)立方程組，解得，故B正確，由，故C錯(cuò)誤.故選：B.7．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以是方程的兩個(gè)根，則，，∵，化簡得：或，∵，即，∴．則，，故選：A．8．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知中，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】，或，或，，故選：A．二、多選題9．（2022·廣西欽州·高一期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由…①，以及

，對等式①兩邊取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的兩個(gè)根，解得，，故A正確，B正確，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.10．（2022·海南鑫源高級中學(xué)高一期末）若，則正確的結(jié)論為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】依題意，，，所以，將代入得，，所以AC選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．（2022·福建·莆田一中高一開學(xué)考試）的值可能為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】ABCD【解析】由題得，當(dāng)在第一象限時(shí)，原式；當(dāng)在第二象限時(shí)，原式；當(dāng)在第三象限時(shí)，原式；當(dāng)在第四象限時(shí)，原式.故選：ABCD12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，解得，故A正確；又因?yàn)?，，所以，，，所以，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2022·河南信陽·高一期中）如果，且，那么的值是_________.【答案】【解析】由，得代入整理得：，或又，，，，則．故答案為：．14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如果，那么___________.【答案】1【解析】由，得．故答案為：1．15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以故答案為?6．（2022·全國·高一）若，則__．【答案】1【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案為?.四、解答題17．（2022·湖南·株洲市南方中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）已知，求的值（2）已知，當(dāng)時(shí)，求的值.